Математика. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Тренировка № 11. Задание + решение.
При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.
Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:
1) величина допустимых изменений буквенных величин;
2) область допустимых значений каждой из буквенных величин.
Первое из этих требований является обязательным при всех преобразованиях, имеющих целью упрощение выражения или приведение его к нужному виду. Если надо, например, дополнить квадратный трехчлен до полного квадрата, то, прибавив к нему число 9, необходимо такое же число и вычесть, т.е.:
Тождественные преобразования последнего выражения можно продолжить и привести исходное выражение к произведению двучленов:
Второе требование — неизменность областей допустимых значений — не всегда выполняется при обычно применяемых нами преобразованиях. Сократив, например, дробь на разность a - 1 и написав равенство , мы замечаем, что нарушено второе требование, которому должно удовлетворять тождественное преобразование: правая часть равенства имеет смысл при любых значениях , а левая только при условии, что a ≠ 1, т.е. произошло изменение области допустимых значений величины a. Следовательно, преобразование в данном случае не является тождественным.
Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.
Порядок выполнения действий:
1) действия с одночленами;
2) действия в скобках;
3) умножение или деление (в порядке появления);
4) сложение или вычитание (в порядке появления).
Обыкновенная дробь — число вида ; a — целое число, b — натуральное число. Две дроби равны, если a ∙ d = b ∙ c. Основное свойство дробей: , где c — любое отличное от нуля действительное число.
В пропорции a и d — крайние члены, b и c — средние члены.
Основное свойство пропорции: a ∙ d = b ∙ c (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов).
Модуль (абсолютное значение) действительного числа a обозначается символом . По определению модуль действительного числа a является неотрицательным числом:
При действиях с радикалами следует иметь в виду, что правила, по которым они выполняются, безоговорочно верны лишь для арифметических корней. По определению корень называется арифметическим лишь в том случае, если число a положительно или равно нулю, а также положительна или равна нулю и величина самого корня. Если этого не учитывать, то можно допустить ошибку. Например, равенство верно лишь при условии, что x ≥ 0. При x < 0 нужно писать так:
Аналогично равенство верно лишь в случае, если a ≥ b. При a < b оно неверно и нужно писать . Оба случая можно охватить такой записью: .
Пример 1.
Упростите выражение .
Решение.
Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .
Ответ: 9m7 .