Необходимые и достаточные условия в теме четырехугольники.

Необходимые и достаточные условия в теме четырехугольники.

1. Уже на первых уроках геометрии в 8 классе можно сообщить учащимся, что для утверждений, которые мы называли в 7 классе признаками и свойствами, в математике используются термины «достаточное условие» и «необходимое условие».

Например, известное из 7 класса свойство вертикальных углов можно сформулировать следующим образом: «Для того, чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны».

Упражнение 1. Используя термины «необходимо» и «необходимое условие», сформулируйте теоремы о свойстве вертикальных углов, свойствах равнобедренного треугольника.

Возможный ответ: «Свойство является лишь необходимым условием; следовательно, теорему-свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так6

1. «Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы углы при его основании были равны».

2. «Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы его медиана одновременно являлась высотой».

Упражнение 8. Используя термин «достаточно», сформулируйте признак равенства треугольников и признак равнобедренного треугольника.

Существуют условия, которые одновременно являются и необходимыми, и достаточными. Тогда говорят:

«А является и необходимым и достаточным условием для В». Это означает, что верны два утверждения:

«Если В, то А», «Если А, то В».

1. Понятия «Необходимое условие», «Достаточное условие» очень удобно отрабатывать в процессе изучения темы «Четырехугольники» Эта тема содержит большое число утверждений, которые одновременно являются и необходимыми и достаточными.

Упражнение 3. Установите, какие утверждения являются верными, а какие-нет:

А) для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали делились точкой пересечения пополам;

Б) Для того, чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны:

В) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равны.

Ответ: а) верно

Рассмотрим подробнее утверждения в) и б). Конечно, равенство диагоналей четырехугольника не является достаточным условием для того, чтобы он был прямоугольником, так как и перпендикулярность диагоналей-лишь необходимое условие для того, чтобы четырехугольник был ромбом.

1. Аналогия, как способ мышления, часто применяется детьми как в жизни, так и на уроках математики. Однако учителю надо так подбирать упражнения, чтобы это был не единственный способ мышления учеников, и они не превращались в «автоматы», действующие по аналогии.

Упражнение 4. Проверьте, верно ли утверждение:

А) для того, чтобы четырехугольник был ромбом, достаточно, чтобы все его стороны были равны;

Б) для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы все его стороны были равны;

В) для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы диагонали были биссектрисами его углов.

Итак, если в 7 классе ученики прочно овладели понятиями 2признак» и «свойство», то в 8 классе целесообразно введение терминов «необходимо» и «достаточно». Тема четырехугольники имеет немало возможностей для введения этой темы.