Кратные интегралы

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

КАК ИЗВЕСТНО, ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРОЦЕССОМ СУММИРОВАНИЯ. ОДНАКО СУММИРОВАНИЕ МОЖЕТ ПРОИЗВОДИТСЯ НЕОДНОКРАТНО, ЧТО ПРИВОДИТ НАС К ПОНЯТИЮ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ. РАССМОТРЕНИЕ ЭТОГО ВОПРОСА НАЧНЕМ С РАССМОТРЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ .

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

РАССМОТРИМ НА ПЛОСКОСТИ НЕКОТОРУЮ ЗАМКНУТУЮ КРИВУЮ, УРАВНЕНИЕ КОТОРОЙ F(X, Y) = 0.

СОВОКУПНОСТЬ ВСЕХ ТОЧЕК, ЛЕЖАЩИХ ВНУТРИ КРИВОЙ И НА САМОЙ КРИВОЙ НАЗОВЕМ ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТЬЮ  . ЕСЛИ ВЫБРАТЬ ТОЧКИ ОБЛАСТИ БЕЗ УЧЕТА ТОЧЕК, ЛЕЖАЩИХ НА КРИВОЙ, ОБЛАСТЬ БУДЕТ НАЗЫВАЕТСЯ НЕЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТЬ  .

С ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ  - ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ КОНТУРОМ.

РАЗОБЬЕМ ОБЛАСТЬ  НА N ЧАСТИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ СЕТКОЙ ПРЯМЫХ, ОТСТОЯЩИХ ДРУГ ОТ ДРУГА ПО ОСИ Х НА РАССТОЯНИЕ , А ПО ОСИ У – НА . ВООБЩЕ ГОВОРЯ, ТАКОЙ ПОРЯДОК РАЗБИЕНИЯ НЕОБЯЗАТЕЛЕН, ВОЗМОЖНО РАЗБИЕНИЕ ОБЛАСТИ НА ЧАСТИЧНЫЕ УЧАСТКИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ И РАЗМЕРА.

ПОЛУЧАЕМ, ЧТО ПЛОЩАДЬ S ДЕЛИТСЯ НА ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ, ПЛОЩАДИ КОТОРЫХ РАВНЫ

В КАЖДОЙ ЧАСТИЧНОЙ ОБЛАСТИ ВОЗЬМЕМ ПРОИЗВОЛЬНУЮ ТОЧКУ И СОСТАВИМ ИНТЕГРАЛЬНУЮ СУММУ

ГДЕ F – ФУНКЦИЯ НЕПРЕРЫВНАЯ И ОДНОЗНАЧНАЯ ДЛЯ ВСЕХ ТОЧЕК ОБЛАСТИ  .

ЕСЛИ БЕСКОНЕЧНО УВЕЛИЧИВАТЬ КОЛИЧЕСТВО ЧАСТИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ  I, ТОГДА, ОЧЕВИДНО, ПЛОЩАДЬ КАЖДОГО ЧАСТИЧНОГО УЧАСТКА SI СТРЕМИТСЯ К НУЛЮ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ЕСЛИ ПРИ СТРЕМЛЕНИИ К НУЛЮ ШАГА РАЗБИЕНИЯ ОБЛАСТИ  ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ ИМЕЮТ КОНЕЧНЫЙ ПРЕДЕЛ, ТО ЭТОТ ПРЕДЕЛ НАЗЫВАЕТСЯ ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ОТ ФУНКЦИИ F ( X , Y ) ПО ОБЛАСТИ  .

УЧЕТОМ ТОГО, ЧТО ПОЛУЧАЕМ:

В ПРИВЕДЕННОЙ ВЫШЕ ЗАПИСИ ИМЕЮТСЯ ДВА ЗНАКА  , Т.К. СУММИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДИТСЯ ПО ДВУМ ПЕРЕМЕННЫМ Х И У.

Т.К. ДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО, ТАКЖЕ ПРОИЗВОЛЕН И ВЫБОР ТОЧЕК , ТО, СЧИТАЯ ВСЕ ПЛОЩАДИ ОДИНАКОВЫМИ, ПОЛУЧАЕМ ФОРМУЛУ:

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

СФОРМУЛИРУЕМ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

ТЕОРЕМА . ЕСЛИ ФУНКЦИЯ F ( X , Y ) НЕПРЕРЫВНА В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ  , ТО ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ СУЩЕСТВУЕТ .

ТЕОРЕМА

ЕСЛИ ФУНКЦИЯ F ( X , Y ) ОГРАНИЧЕНА В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ  И НЕПРЕРЫВНА В НЕЙ ВСЮДУ, КРОМЕ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА КУСОЧНО – ГЛАДКИХ ЛИНИЙ, ТО ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ СУЩЕСТВУЕТ .

СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА.

1)

2)

3) ЕСЛИ  =  1 +  2, ТО

4) ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ . ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ F ( X , Y ) РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЗНАЧЕНИЯ ЭТОЙ ФУНКЦИИ В НЕКОТОРОЙ ТОЧКЕ ОБЛАСТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НА ПЛОЩАДЬ ОБЛАСТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

5) ЕСЛИ F ( X , Y )  0 В ОБЛАСТИ  , ТО

6) ЕСЛИ F 1( X , Y )  F 2( X , Y ), ТО

7)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

ТЕОРЕМА

ЕСЛИ ФУНКЦИЯ F ( X , Y ) НЕПРЕРЫВНА В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ  , ОГРАНИЧЕННОЙ ЛИНИЯМИ Х = A , X = B , ( A B ), Y =  ( X ), Y =  ( X ), ГДЕ  И  - НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И

   , ТОГДА

ТЕОРЕМА.

ЕСЛИ ФУНКЦИЯ F(X, Y) НЕПРЕРЫВНА В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ  , ОГРАНИЧЕННОЙ ЛИНИЯМИ Y = C, Y = D (C  (Y), X =  (Y) (  (Y)   (Y)), ТО

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

РАСМОТРИМ ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ВИДА , ГДЕ ПЕРЕМЕННАЯ ИЗМЕНЯЕТСЯ В ПРЕДЕЛАХ ОТ A ДО B, А ПЕРЕМЕННАЯ – ОТ ДО

ПОЛОЖИМ

ТОГДА

;

;

; dy =

Т.К. ПРИ ПЕРВОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПЕРЕМЕННАЯ ПРИНИМАЕТСЯ ЗА ПОСТОЯННУЮ, ТО

ПОДСТАВЛЯЯ ЭТО ВЫРАЖЕНИЕ В ЗАПИСАННОЕ ВЫШЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ , ПОЛУЧАЕМ:

ВЫРАЖЕНИЕ НАЗЫВАЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ ЯКОБИ ИЛИ ЯКОБИАНОМ ФУНКЦИЙ И

( ЯКОБИ КАРЛ ГУСТАВ ЯКОБ – (1804-1851) – НЕМЕЦКИЙ МАТЕМАТИК )

ТОГДА

Т.К. ПРИ ПЕРВОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИВЕДЕННОЕ ВЫШЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ПРИНИМАЕТ ВИД ( ПРИ ПЕРВОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПОЛАГАЕМ ), ТО ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ПОРЯДКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ, ПОЛУЧАЕМ СООТНОШЕНИЕ:

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.

ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛОЙ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ:

ПРИ ЭТОМ ИЗВЕСТНО, ЧТО

В ЭТОМ СЛУЧАЕ ЯКОБИАН ИМЕЕТ ВИД:

ТОГДА

ЗДЕСЬ  - НОВАЯ ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ,