Кратные и криволинейные интегралы

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Область интегрирования определенного интеграла – отрезок [a,b] оси ОХ.

Обобщим понятие интеграла на случай, когда областью интегрирования является

1) кривая линия, заданная на плоскости или в пространстве Г (рис.1), в частности это может быть отрезок оси (рис.2) (криволинейный интеграл),

2) некоторая часть плоскости D (рис.3) (двойной интеграл),

3) некоторая часть поверхности Q (рис.4) (поверхностный интеграл),

4) пространственное тело R (рис.5) (тройной интеграл).

Рис.1 Рис.2

Рис.3 Рис.4

Рис.5

Фигура. Диаметр. Мера.

Опр. Фигурой будем называть либо кривую линию, заданную на плоскости или в пространстве (Г) (рис.1), либо некоторую плоскую область (D) (рис.3), либо некоторую поверхность (Q) (рис.4), либо пространственное тело (R) (рис.5).

Опр. Максимальное из всех возможных расстояний между точками фигуры называют диаметром фигуры.

Эллипс – большая ось,

круг или окружность – диаметр,

квадрат – диагональ.

Опр. Мерой фигуры будем называть:

1) в случае кривой – ее длину,

2) в случае плоской области – ее площадь,

3) в случае поверхности – ее площадь,

4) в случае пространственного тела – его объем.

Плотность массы

Рассмотрим материальную фигуру, т.е. фигуру, обладающую некоторой массой.

Обычное физическое определение плотности – количество массы в единице объема.

Однако в случае линейного стержня (рис.1,2) удобно говорить о линейной плотности – колличество массы в единице длины:

,

если стержень кривой

.

В случае пластины (рис.3,4) удобно ввести поверхностную плотность – количество массы в единице площади.

Если область плоская

,

если изогнутая пластина

.

Для объемного тела (рис.5)

.

Плотность – функция точки ρ = ρ(Р) : ρ(х), ρ(х,у), ρ(х,у,z).

Задаче о массе фигуры

Пусть в некоторой системе координат задана любая из фигур: (Г), (D),(Q),(R).

Фигура предполагается материальной, причем в точках фигуры известна функция плотности распределения масс ρ = ρ(Р). Требуется найти массу фигуры.

Очевидно, что если бы плотность была постоянна во всех точках фигуры, то масса фигуры была бы равна произведению плотности на меру фигуры. В случае переменной плотности будем разбивать фигуру на достаточно малые элементарные части и предполагать, что на каждой элементарной части плотность постоянна. Будем находить массы элементарных частей, суммировать их и переходить к пределу, устремляя к нулю диаметр элементарной части.

Рассмотрим случай, когда фигура – отрезок (рис.6) (). Для массы стержня :

Рассмотрим кривую линию (Г) (рис.7):

.

Рис.7

Рассмотрим плоскую область (D) (рис.8):

.

Рис.8

Рассмотрим изогнутую поверхность (Q) (рис.9):

.

Рис.9

Рассмотрим объем (R) (рис.10):

.

Рис.10

Понятие интеграла по фигуре. Его механический смысл.

Опр. Пусть на каждой из фигур: (Г), (D),(Q),(R) задана некоторая функция f(x,y,z) или f(x,y). Суммы вида :

1) для (Г),

2) для (D),

3) для (Q),

4) для (R)

называют интегральными суммами заданной функции по соответствующей фигуре.

Опр. Определенным интегралом по фигуре от заданной на ней функции f(P) называется предел n-й интегральной суммы, когда стремится к нулю наибольший из диаметров частей, на которые дробится фигура при составлении интегральных сумм.

Приняты следующие обозначения и названия этих интегралов:

1) - криволинейный интеграл;

2) - двойной интеграл по области D;

3) - поверхностный интеграл по поверхности Q;

4) - тройной интеграл по телу R.

Механический смысл интеграла по фигуре

Если подинтегральная функция есть плотность распределения масс, то интеграл по этой фигуре численно равен ее массе.

Геометрический смысл интеграла по фигуре

Если подинтегральная функция равна 1 во всех точках фигуры, то интеграл по фигуре численно равен мере этой фигуры:

1) - длине дуги Г,

2) - площади плоской области D,

3) - площади поверхности Q,

4) - объему тела R.

Условие существования интегралов по фигуре

Из определения интеграла по фигуре следует, что необходимым условием существования любого интеграла является ограниченность подынтегральной функции во всех точках фигуры.

Достаточное условие интегрируемости – непрерывность подынтегральной функции во всех точках фигуры.

Свойства интеграла по фигуре

1) Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций.

2) Константа выносится за знак интеграла.

3) Область интегрирования можно разбить на непересекающиеся части.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Согласно определению криволинейный интеграл

.

Получим вычислительные формулы при различных способах задания кривой Г.

1) Пусть кривая Г задана в прямоугольной системе координат

у = g(х), , функции и непрерывны на промежутке .

.

.

2) Если кривая Г задана в прямоугольной системе координат

х = g(у), , функции и непрерывны на промежутке .

.

.

При вычислении криволинейных интегралов необходимо все подынтегральное выражение представить в виде дифференциала функции одной переменной. В результате мы приходим в вычислению обычного определенного интеграла.

Задача 1. Вычислить по отрезку прямой, соединяющей две точки А(1;4) и В(2;5).

Найдем уравнение линии (Γ): .

; .

Задача 2. Вычислить по дуге параболы , заключенной между точками О(0;0) и В(1;√2).

В данном случае удобнее свести исходный интеграл к интегралу по переменной у.

; ;

=

Вычисление двойного интеграла

Двойной интеграл можно вычислить, сведя его к повторному интегралу.

Двойной интеграл сводится к повторному только для стандартной области D.

Опр. Область D называется стандартной в направлении оси ОУ, если любая прямая,

параллельная оси ОУ и имеющая с областью D общие точки, пересекает границу

области D не более, чем в двух точках.

Рис.11

M – точка входа .

N – точка выхода

Аналогично вводится понятие области D, стандартной в направлении оси ОХ

Рис.12

Вычислительную формулу получим, исходя из физического смысла интеграла.

Пусть требуется найти массу пластины D, где D – область стандартная в направлении оси ОУ. Плотность в точках области D меняется по закону , функция интегрируема в области D, т.е. существует предел интегральных сумм и он не зависит от способа разбиения обл. D на элементарные части.

Разобьем область D на элементарные части простейшим образом прямыми, параллельными осям координат (рис.13). Будем предполагать, что на каждой элементарной площадке плотность распределения постоянна и равна значению .

Рис.13

Тогда масса элементарной площадки

.

Для получения массы всей фигуры D просуммируем сначала массы элементарных площадок, расположенных вдоль оси ОУ между т. входа и т. Выхода. В результате получим определенный интеграл

- интеграл вычисляется при фиксированном х.

Затем просуммируем массы всех вертикальных столбцов от прямой х = а до прямой х = в, т.е.

.

Мы пришли к правилу: Чтобы вычислить двойной интеграл надо проинтегрировать по у при произвольном, но фиксированном х, а затем полученный результат проинтегрировать по х в пределах его наибольшего изменения.

Замечание1. Если область D – стандартная в направлении оси ОХ, то

Замечание 2. В случае области D более сложного вида ее разбивают на стандартные области и далее пользуются свойством аддитивности.

Задача 1. Записать двойной интеграл по указанной области D в виде повторного и установить пределы интегрирования

D: и .

Чтобы найти границы области, решим систему:

Задача 2. Изменить порядок интегрирования в интегралах

Построим соответствующую область интегрирования. Для этого запишем ее границы из пределов заданного интеграла.

Найдем точки их пересечения:

Пример 3. Вычислить. по области

5