Конспект урока +презентация "Векторы"

Векторы 8 класс

Историческая справка

• Термин вектор (от лат. Vector – “ несущий “) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем.

Что такое вектор ?

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением : например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами .

Геометрическое понятие вектора

• Наиболее наглядно величину и направление одновременно можно задать с помощью направленного отрезка – вектора . Направление вектора указывается стрелкой. Точка A называется началом вектора, а точка B – концом .
• Векторы обозначаются латинскими буквами a , b , c , …, а также AB , CD , … (на первом месте ставится начало вектора).

В

Конец вектора

a

C

c

А

b

Начало вектора

D

Нулевой вектор

• Любую точку плоскости можно считать вектором. Такой вектор называется нулевым.
• Начало нулевого вектора совпадает с его концом.
• Нулевой вектор обозначается 0 или СС .

М

MM - нулевой вектор

С

CC - нулевой вектор

Длина вектора

• Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Длина вектора обозначается | а | или | АВ | .
• Длина нулевого вектора считается равной нулю.

A

B

|AB| = 6 |CD| = 5

|a| = 5 |NN| = 0

(каждая клетка на рисунке имеет сторону, равную единице измерения отрезков)

C

a

D

N

Коллинеарные векторы

• Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
• Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

O

b

CD, KF, O, a, b – коллинеарные

O, a – коллинеарные

O, NP – коллинеарные

NP, m – не коллинеарные

N

D

a

K

P

F

C

m

Направление векторов

a

• Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными.

• Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными .

• Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

C

D

b

F

K

a ↑↑CD b ↑↑KF

Направление векторов

a

• Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными.

• Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными .

• Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

C

D

b

F

K

a ↑↑CD b ↑↑KF

a ↑↓b a ↑↓ KF

Направление векторов

a

• Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными.

• Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными .

• Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

C

D

b

F

K

M

a ↑↑CD b ↑↑KF

a ↑↓b a ↑↓ KF

MM ↑↑a MM ↑↑b

Равенство векторов

• Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.
• Равенство векторов обозначается : a = b
• Все нулевые векторы равны друг другу.

C

a

a   b

a = b



│ a │=│b │

b

M

CC = MM

Откладывание вектора от данной точки

• От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один.

N

В

а

М

А

M  p

p II AB

MN = AB

MN ' = AB

MN = a

N '

p

Задача

• Какие из векторов, изображенных на рисунке:

• коллинеарны;
• сонаправлены;
• противоположно направлены;
• имеют равные длины?

Отложите эти векторы от одной точки .

d

c

a

b

Задача

• На рисунке изображена равнобедренная трапеция KLMN.

а) Укажите сонаправленные , противоположно направленные , равные вектора .

б) Укажите векторы , длины которых равны . Равны ли при этом сами векторы?

L

M

K

N

Задачи

• Даны вектор BC и точка D(1;-2). Отложите от точки D вектор, равный вектору BC.
• Как должен быть расположен ненулевой вектор a относительно прямой k , чтобы нашлись лежащие на этой прямой векторы , равные a ? Сколько таких векторов найдется ? Отметьте на чертеже три из них .
• Векторы AB и DC равны . Докажите , что если точки A, B, C и D не лежат на одной прямой , то четырехугольник ABCD ― параллелограмм .

Задачи

• На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Укажите векторы , длины которых равны . Равны ли при этом сами векторы?

• В ромбе ABCD l AC l = 12см , l BD l = 16см . От вершины A отложен вектор AE, равный вектору BD. Найдите длину вектора EC.

• Отметьте две точки A и B. Найдите такую точку X, что: а) AX = XB; б ) AX = BX; в ) XA = XB.

B

C

A

D