Исследовательская работа "Формула Пика"

Селенгинское районное управление образования

МБОУ Иройская СОШ

Районная научно исследовательская конференция школьников «Шаг в будущее»

Секция «Геометрия»

Одна формула за всех… формула Пика

Исполнитель Мэн Ваньтин, ученица 8 класса

Руководитель Чултумова И.Н., учитель математики

первой категории

2016 г

Введение ………………………………………………………………………….2

1. Экспериментальное доказательство, что формула Пика верна для фигур :

1) без узлов внутри и на сторонах……………………………………………….4

2) с узлами на сторонах…………………………………………………………..4

3) с узлами внутри………………………………………………………………...5

4) с узлами внутри и на сторонах ……………………………………………….5

2 Исследование для 4-угольников и для 5-угольников ………………………..6

3 Формула Пика. ………………………………………………………………….7

4.Заключение ………………………………………………………………………8

Список литературы ……………………………………………………………….9

Приложение ………………………………………………………………………10

Введение

Для исследовательской работы я выбрала тему: «Одна формула за всех… Формула Пика», экспериментальное доказательство формулы Пика, решение задач по формуле Пика. Этот материал представляет информационную ценность для учащихся, учителей и других людей, кому интересна и необходима математика в их жизни. Экспериментально ищем доказательство, что формула Пика верна для фигур: 1) без узлов внутри и на сторонах;  2) с узлами на сторонах; 3) с узлами внутри; 4) с узлами внутри и на сторонах. Повторяем исследование для 4-угольников и для 5-угольников. Объединяя результаты, придумываем формулу для n-угольника. Доказываем её аддитивность (сумма «площадей» двух многоугольников равна «площади» их объединения). Затем доказываем её справедливость последовательно для прямоугольника, прямоугольного треугольника, произвольного треугольника, произвольного многоугольника.

Доказана формула Пика в задачнике В.В. Прасолов.  В своей работе я попытаюсь более подробно изучить вопрос о формуле Пика, показать применение данной формулы на практике. Мы знаем, что в заданиях к ЕГЭ в первой части встречаются задачи на вычисление площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге. Чтобы вычислить площадь изображённой фигуры, необходимо сделать дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников и прямоугольников, провести высоту в треугольнике. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге. На уроке геометрии, при изучении темы «Площади», учитель показала формулу Пика. Эта формула меня заинтересовала, и я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Попробовала решать задания, используя данную формулу. Задачи решались очень быстро и легко.

Актуальность данного исследования состоит в том, что усвоение формулы может помочь школьникам, а особенно сдающим ЕГЭ, быстро и легко решать задачи на вычисление площади различных фигур на клетчатой бумаге.

Задачи на бумаге в клетку помогают, как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.

При решении задач на клетчатой бумаге нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

Также при решении таких задач возникает ощущение математических открытий на уровне, доступном каждому ученику .

Основная цель исследования: экспериментальное доказательство, что формула Пика верна для фигур 1) без узлов внутри и на сторонах,  2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах ,  обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, в расширении знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Для достижения поставленной цели мною были поставлены следующие задачи:

1) Подобрать и изучить необходимую литературу по данной теме. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

2) Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

3) Решить задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим методом.

4) Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

5) Сравнить и проанализировать результаты исследования

Объект исследования: формула Пика

Предмет исследования:  применение формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Методы исследования: эксперимент, сравнение, обобщение, анализ

1. Экспериментальное доказательство, что формула Пика верна для фигур:

1) без узлов внутри и на сторонах,  2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах.

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

1. без узлов внутри и на сторонах

Доказательство: Рассмотрим единичный квадрат. В самом деле, для него = 1,  В = 0, Г= 4 , и формула верна.

S = В + - 1 .

S=0+ 4/2- 1 =1

1. с узлами на сторонах

Доказательство: Рассмотрим произвольный невырожденный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначим через  и  длины сторон прямоугольника. Тогда находим: , В = ( а – 1)( в – 1 ), Г = 2 ( а + в). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что формула Пика верна.

S= 14 * 5 = 70

В =( a-1)(b-1) = (14-1)(5-1) = 52

Г = 2(a+b) = 2 * (14+5) = 2*19 = 38

S = 52 +38\ 2 – 1 = 62+19-1 = 70

Экспериментально:

В= 13*4 = 52

Г= 15*2+4*2 = 38

S= 52 + 38\2 – 1= 70

3) с узлами внутри Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Для доказательства заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Обозначив через  число целочисленных точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения .

B =

Г=

S =

Sпр = 8*5 =40

В = (a-1)(b-1)

Г= 2(a+b)

B = (8-1)(5-1)= 28

Г = 2( 8+5) = 2*13=26

Sпр = 28+26\2-1=28+13-1=40

Sтр = Sпр\2 = 40\2= 20

4) с узлами внутри и на сторонах Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник. Заметим, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадобится не более 3 таких треугольников). Отсюда можно получить корректность формулы Пика для любого треугольника.

Sпр = 9*8 = 7

В = (a-1)(b-1)

Г= 2(a+b)

В = (9-1)(8-1) = 56

Г= 2(9+8) = 34

Sпр= 56+34\2-1= 72

Sтр1 = 9+15\2-1=12,5

В=9; Г=15

Sтр2 = 6+15\2-1=12,5

В=6 ; Г= 15

Sтр3 = 6+14\2-1= 12

Sтр 1,2,3 = 12,5 +12,5+ 12 = 37

Sтр = 72- 37 = 35

2 Исследование для 4-угольников и для 5-угольников

Произвольный многоугольник. Для доказательства триангулируем его, т.е. разобьём на треугольники с вершинами в целочисленных точках. Для одного треугольника формулу Пика мы уже доказали. Дальше, можно доказать, что при добавлении к произвольному многоугольнику любого треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника

Проверим применимость этой формулы к пространственным фигурам.

Найти площадь полной поверхности  прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1.

К сожалению, подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить  площадь полной поверхности по формуле Пика невозможно. Это недостаток формулы. Она не имеет прямого аналога в пространстве.

 Эта замечательная формула не обобщается на большие размерности, даже на трехмерный случай.

3 Формула Пика.

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через В; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через Г.

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика:

• = В +Г/2 – 1

В частности, если известны значения В и Г для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за О(1), даже не зная координат его вершин. Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 г.

Формула Пика была доказана более 100 лет назад. Заметим, что формула Пика — это не только утверждение о площади многоугольника, но является результатом и чисто комбинаторного характера о триангуляциях многоугольника (т. е. разбиениях на треугольники).

4. Заключение

В  результате изучения различных источников из всех свойств можно выделить следующее: любой простой треугольник имеет площадь . Используя это свойство и следующую  теорему: пусть на границе многоугольника отмечено Г точек ( включая все вершины), внутри – ещё В точек, тогда существует разбиение  с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такого разбиения будет равно Г + 2В – 2, австрийский математик Пик Георг Александр вывел формулу S = В + - 1 .

 Основная цель исследования: экспериментальное доказательство, что формула Пика верна для фигур 1) без узлов внутри и на сторонах,  2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах, применение формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

    При выполнении работы были решены  задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.

     Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы:

1) Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2) Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

3) Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

Эта работа вызвала у учеников нашего класса интерес, и мы надеемся, что выводы, полученные в результате наших исследований, помогут выпускникам одиннадцатых классов при сдаче ЕГЭ по математике.

Список литературы

1. Атанасян Л. С., В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М.

2. Просвещение ,2010 .

2. Бореевич З. И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. — М.: Наука,

1972.

3. Вавилов В. В. Избранные лекции по геометрии. — Алматы: Дарын, 2000.

4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006..

5. Васильев Н. Б. Вокруг формулы Пика // Квант.—1974.—№12.

C. 39–43.

6. Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи всесоюзных математических олимпиад.—М.: Наука, 1988.

7. Гальперин Г. А., Толпыг о А.К. Московские математические олимпиады.—М.: Просвещение, 1986.

8. Гильберт Д., Кон - Фоссен С. Наглядная геометрия. — М.: Наука, 1981.

9. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

10 .Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011

Приложение

Посмотрим решение задач по формуле Пика. Посмотрим, как легко и быстро можно найти площадь, используя только данную формулу.

Задача 1: Проверить и решить некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см по формуле Пика

1. Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.4).

Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 8, Г = 6

S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

Ответ: 10 см².

1. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.5)

Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 6, Г = 6

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

Ответ: 8 см².

1. Найдите площадь треугольника АВС (рис.6)

Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 6, Г = 5

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

1. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (рис. 7)

Решение. По формуле Пика: S = В + - 1

В = 5, Г = 7

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

1. В. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 12, Г = 6

S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²)

Ответ: 14

В. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция . Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. Воспользуемся формулой Пика:

В = 12, Г = 17

S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)

Ответ: 19,5

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

1. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

1. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Вы сами убедились, рассматривая решение задач, что если использовать формулу Пика, можно быстро, а главное правильно найти площадь геометрических фигур.

8.Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.(Рис.1)

Рис.1Рис.2Рис.3

Решение 1. Так как диагональ квадрата со стороной 1 равна , то сторона AC треугольника ABC равна 5√2 , высота BH, проведенная к этой стороне, равна 3√2/2. Следовательно, площадь данного треугольника равна 7,5.(Рис.2)

Решение 2. Разобьем данный треугольник ABC на два треугольника ABD и BDC. Их общая сторона BD равна 3, а высоты, к ней проведенные, равны соответственно 1 и 4. Площадь треугольника ABD равна 1,5, а площадь треугольника BDC равна 6. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников и, следовательно, равна 7,5. (Рис.3). Ответ: 7,5.

9. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Рис.1 Рис.2

Решение 1. Разобьем данный четырехугольник на два треугольника ACB и ACD. Сторона AC у них общая и равна 2√2. Высоты BH и DH равны 3√2/2. Следовательно, площади этих треугольников равны 3. Значит, площадь четырехугольника равна 6. (Рис.2)

Решение 2. Площадь данного четырехугольника равна разности площадей треугольников ABD и CBD. В треугольнике ABD сторона BD равна 3√2 , высота AH равна 5√2/2. Следовательно, его площадь равна 7,5. В треугольнике CBD сторона BD равна 3√2, высота CH равна √2/2. Следовательно, его площадь равна 1,5. Таким образом, площадь данного четырехугольника равна 6. Ответ. 6.

10.. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/π.

Рис.1 Рис.2

Решение 1. Напомним, что площадь S кругового сектора вычисляется по формуле , где R – радиус круга, - градусная величина угла сектора. В нашем случае = 90^о. Радиус R равен √5. Подставляя данные значения в формулу площади сектора, получим S = 5π/4 . Откуда S/π=1,25.

Решение 2. Заметим, что данный сектор является одной четвертой частью круга и, следовательно, его площадь равна одной четвертой площади круга. Площадь круга равна π R², где R – радиус круга. В нашем случае R =√5 и, следовательно, площадь S сектора равна 5π/4 . Откуда S/π=1,25. Ответ. 1,25.

11. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

Рис.1. Рис.2.

Решение. Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов. Радиус R внешнего круга равен 2 , радиус r внутреннего круга равен 2. Следовательно, площадь S кольца равна 4 и, следовательно, . Ответ:4.