Рефератно- исследовательская работа. Площадь многоугольника. Формула Пика.

Площадь многоугольника. Формула Пика. Рефератно- исследовательская работа

Актуальность работы

• Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования На данном этапе, школьное образование рассчитана на одиннадцатилетнее обучение. Все обучающиеся в конце одиннадцатого класса сдают ЕГЭ. Этот экзамен покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда представляет рациональные способы решения каких- либо задач.
• Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой- то задачей. В сборниках по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ мне встретились задания на нахождение площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток. Меня это очень заинтересовало. Решение этой задачи потребовалось немало времени, дополнительных построений и знаний формул площадей прямоугольников и прямоугольных треугольников. Так возник вопрос, а можно ли находить площади таких многоугольников другими способами?
• Так появилась моя исследовательская работа» Площадь многоугольников». Задачи связанные с бумагой в клеточку разнообразны. Такие задачи считаются занимательными( в курсе геометрии не изучаются) и немногие авторы посвятили этой теме свои работы.

Цели и задачи

• Цель:Исследование методов нахождения площади многоугольников.
• Задачи:
• Изучить литературу по данной теме, определить наиболее интересные методы нахождения площадей многоугольника.
• Проанализировать полученные результаты.
• Провести практическую работу по нахождению площади многоугольника различными методами.

Предмет исследования.Гипотеза. Метод исследования

• Гипотеза. Можно предположить, что существуют различные методы нахождения площадей многоугольников, построенных на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.
• Предмет исследования:
• Процесс вычисления площадей многоугольников различными методами.
• Метод исследования: из учение литературы по выбранной теме, графическое моделирование, анализ и классификация полученных результатов.

Практическая значимость. Практическое применение результатов

• Практическая значимость. Задачи на клетчатой бумаге помогают, как можно раньше формировать геометрические представления в разнообразном материале.
• Метод разбиения сложной фигуры на простые, применение формул нахождения площадей некоторых фигур и формула Пика позволяют в каждом конкретном случае решать задачу рационально, а также проверить полученный результат.
• Практическое применение результатов. В качестве практического исследования мы решили одну и туже геометрическую задачу всеми четырьмя методами. Это задача на вычисление площади параллелограмма.

Метод непосредственного применения формул.

• В школьном курсе геометрии изучаются формулы нахождения площади многоугольников: квадрата, прямоугольника, произвольного треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба. Если заданный многоугольник является одним из данных многоугольников, то нахождение площади сводится к вычислению длин нужных элементов фигуры по клеткам ( высоты, основание, диагоналей и т.д.) и выполнение расчетов по готовым формулам.

Вычисление площади параллелограмма по формуле

•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
• 14
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
• h
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
• 8
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
• а
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
• =
• а
• *
• h
• =
• 1
• 4
• *
• 8
• =
• 1
• 1
• 2
•  
•  
•  
•  

h

14

8

а

s

=

а

*

h

=

1

4

*

8

=

1

1

2

Метод сложения площадей

• Данный многоугольник разбивается с помощью вертикальных и горизонтальных отрезков так, чтобы вся фигура была разбита на прямоугольники и прямоугольные треугольники. Сумма всех площадей фигур, полученных в результате такого разбиения равна площади данного многоугольника.

Вычисление площади параллелограмма методом сложения площадей

S3

8

4

10

S1

=4*

8/2

=16

Sоб

S2

10

=

S2=

8

4

S1+

10*

S

8

S2+

S3=

S1

=80

16+

80+

S3=

4* 8

16=

112

/2=1

6

Метод вычитание площадей

• Вокруг данного многоугольника строится четырёхугольник так, чтобы его стороны содержали максимальное количество вершин многоугольника и были либо горизонтальны, либо вертикальны. В этом случае площадь описанного прямоугольника и площади фигур. являющимися дополнениями данной фигуры до прямоугольника. Как правило эти фигуры будут прямоугольником и прямоугольными треугольниками. Далее из площади построенного прямоугольника вычитаются сумма площадей всех дополнительно построенных фигур и получается площадь первоначальной фигуры.

Вычисление площади параллелограмма методом вычитания площадей

4

S2

10

8

Sпр=

(4+14+

Sпар=

4)*

8

Sпр-

10

=144

2S1=

144 -2*

16=

8

S1=S2

112

S1

=4*8/

2=16

4

Формула Пика

• Площадь многоугольника , вершины которого расположены в узлах клеток, можно вычислить более простым способом. Есть формула, связывающая его площадь с количеством узлов лежащих внутри и на границе многоугольника. Это формула Пика. S= A +В/2 -1 , где А- число узлов внутри многоугольника, В- число узлов на границе. Чтобы вычислить площадь многоугольника по формуле Пика, чертёж должен быть чётким и очень внимательно его рассматривать, чтобы определить лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на её границу.

Исторические сведения о формуле Пика.

• Автор формулы – Георг Алесандр Пик ( годы жизни 10 августа 1859- 13 июля 1942), австрийский математик. Георг был одаренным ребенком. Его обучал отец, который возглавлял частный институт. В 16 лет закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1880 защитил докторскую диссертацию « О классе абелевых интегралов» под руководством Лео Кёнигсбергера. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика-Неванлинны, лемма Шварца-Пика. Но больше всего он известен своей теоремой, которая появилась в 1899 году.

Вычисление площади параллелограмма по формуле Пика

8

10

А=

67

S=8

В=

*10

=80

28

S=

А+В

/2-

1=

67+

28/

2-

1=

80

В- число точек на грани, А- число точек внутри многоугольника

А=67, В=28 , S=А+В/2-1=67+28/2-1=80

Заключение.Выводы.

• Заключение.
• В своей исследовательской работе я хотел доказать, что нахождение площади многоугольника может стать интересным и познавательным занятием.
• Выводы.
• - Существуют различные методы нахождения площади многоугольника.
• - Клетчатая бумага может выполнять функцию инструмента , который служит для вычисления площади многоугольника.
• - С помощью формулы Пика можно найти площадь любого многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.
• - Полученные результаты можно использовать для подготовки выпускников к сдаче ЕГЭ и ОГЭ и олимпиадных заданий.

Список литературы

• В.Н.Ганьшин Простейшие измерения на местности, 3-е издание, переработанное и дополненное; М.Недра.1983.
• В.А. Смирнов, И.М. Смирнов Геометрия на клетчатой бумаге. М. МЦМО .2009.
• В.В.Вавилов, А.В.Устинов Задачи на клетчатой бумаге. М. Школа им. А.Н. Колмогорова. 2006
• А.В.Семенов, И.Р.Высоцкий, И.В. Ященко Сборник заданий по ЕГЭ и ОГЭ.М. « Интеллект - центр» 2015-2016
• М.Гарднер Математические чудеса и тайны .М. Наука.
• Список интернет- ресурсов:
• 1.http:// hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/ сайт « Математика, которая мне нравится».
• 2. http:// kwant.ras.ru/1970/12/vokrugformuly- pika/htm журнал “ Квант» статья Н.Б.Васильева « Вокруг формулы Пика»

Приложение

• Площадь треугольника
• Треугольник –  это многоугольник, имеющий три вершины и три стороны, которые последовательно эти вершины соединяют.
•  
• a – сторона треугольника
• h – высота треугольника
• A, B, C – вершины треугольника
• S=1/2 ah

Приложение

• Площадь четырехугольника
• Четырехугольник –  это многоугольник, имеющий четыре вершины и четыре стороны, которые последовательно эти вершины соединяют.
• d 1 , d 2  – диагонали четырехугольника
• α – угол между диагоналями четырехугольника
• A, B, C, D – вершины четырехугольника
•   Площадь четырехугольника (S) равна половине произведения его диагоналей (d 1 ,d 2 ) на синус угла (α) между ними:

•   S=1/2d1d2sinα

Приложение

•   Площадь параллелограмма
• Параллелограмм –  это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
• a – сторона параллелограмма
• h – высота, проведенная к стороне а
• A, B, C, D – вершины параллелограмма
•  
•  
• Площадь параллелограмма (S) равна произведению его стороны (a) на высоту, проведенную к этой стороне (h):
•  
• S= ah

Приложение .Площадь парпллелограмма

Приложение

• Площадь ромба
• Ромб –  это параллелограмм, у которого все стороны равны.
•                              d 1 , d 2  – диагонали ромба
•                             A, B, C, D – вершины ромба
•  
•  
•  
•  
•  
• Площадь ромба (S) равна половине произведения его диагоналей (d 1 , d 2 ):
• S=1/2 d 1 d 2   

Приложение . Площадь ромба.

Приложение. Площадь прямоугольника.

• Площадь прямоугольника
• Прямоугольник –  это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
• a, b – стороны прямоугольника
• A, B, C, D – вершины прямоугольника
•  
•  
•  
• Площадь прямоугольника (S) равна произведению его сторон (a, b):
• S=ab

Приложение. Площадь прямоугольника.

Приложение. Площадь квадрата.

• Площадь квадрата
• Квадрат –  это параллелограмм ,  у которого все углы и все стороны равны.

а – сторона квадрата

• A, B, C, D – вершины квадрата
• Площадь квадрата (S) равна квадрату его стороны (а)

Приложение. Площадь квадрата

Приложение. Площадь многоугольника.

• Площадь многоугольника
• Многоугольник –  это геометрическая фигура, которая ограничена замкнутой ломаной линией.
• Правильный многоугольник  – это выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны.
•   S=а*а n/4tq360/2n
•  
• a – сторона правильного многоугольника
• A, B, C, D, E, F – вершины многоугольника

Приложение. Площадь трапеции

• Площадь трапеции
• Трапеция –  это четырехугольник, у которого параллельна только одна пара противоположных сторон.
• a, b – основания трапеции
• h – высота трапеции
• A, B, C, D – вершины трапеции
•  
•  
• Площадь трапеции (S) равна половине произведения суммы его оснований (a, b) на высоту трапеции (h):
• S=(a+b)/2*h

Приложение . Площадь трапеции.

Вычисление площади многоугольника методом сложения.

Вычисление площади многоугольника по формуле Пика.