СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Исследование функции на монотонность и экстремумы

Категория: Алгебра
Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник (базовый уровень) Мордкович А.Г. 14-е изд., стер. - М.: 2013. - 400 с.
Тема: § 30. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Нажмите, чтобы узнать подробности

Просмотр содержимого документа
«Исследование функции на монотонность и экстремумы»

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

0. Если α 90°, то k у х 0 Если α = 0°, то k = 0. Касательная параллельна оси ОХ. Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина " width="640"

Если α k 0.

Если α 90°, то k

у

х

0

Если α = 0°, то k = 0.

Касательная параллельна оси ОХ.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Исследование функции на монотонность и экстремумы Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Исследование функции на монотонность и экстремумы

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример: Исследовать на монотонность функцию у=2х 3 +3х 2 – 1. Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких – убывает. Согласно теоремам 1 и 2, это связано со знаком производной. Найдем производную данной функции: Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример: Исследовать на монотонность функцию у=2х 3 +3х 2 – 1.

Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких – убывает. Согласно теоремам 1 и 2, это связано со знаком производной.

Найдем производную данной функции:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

f ! (х) + + х 0 -1 f (х) Если функция непрерывна не только на открытом промежутке, но и в его концевых точках (именно так обстоит дело для заданной функции), эти концевые точки включают в промежуток монотонности функции. Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

f ! (х)

+

+

х

0

-1

f (х)

Если функция непрерывна не только на открытом промежутке, но и в его концевых точках (именно так обстоит дело для заданной функции), эти концевые точки включают в промежуток монотонности функции.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Точки экстремума функции и их нахождение Рассмотрим график функции у=2х 3 +3х 2 –1 На графике две уникальные точки: (-1;0) и (0;-1). В этих точках: 1) происходит изменение характера монотонности функции; 2) касательная к графику функции параллельна оси Х (или совпадает с осью Х), т.е. производная функции в каждой из указанных точек равна нулю; 3) f(-1) – наибольшее значение функции, но не во всей области определения, а по сравнению со значениями функции из некоторой окрестности точки х = - 1. Также f (0) – наименьшее значение функции в окрестности точки х=0 у - 1 х 0 Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Точки экстремума функции и их нахождение

Рассмотрим график функции у=2х 3 +3х 2 –1

На графике две уникальные точки: (-1;0) и (0;-1).

В этих точках:

1) происходит изменение характера монотонности функции;

2) касательная к графику функции параллельна оси Х (или совпадает с осью Х), т.е. производная функции в каждой из указанных точек равна нулю;

3) f(-1) – наибольшее значение функции, но не во всей области определения, а по сравнению со значениями функции из некоторой окрестности точки х = - 1. Также f (0) – наименьшее значение функции в окрестности точки х=0

у

- 1

х

0

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

f (х 0 ) . Определение 2. Точку х=х 0 называют точкой максимума функции у = f (х) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х=х 0 ) выполняется неравенство f (х) (х 0 ) . Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина " width="640"

Определение 1 . Точку х=х 0 называют точкой минимума функции у = f (х) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х=х 0 ) выполняется неравенство

f (х) f (х 0 ) .

Определение 2. Точку х=х 0 называют точкой максимума функции у = f (х) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х=х 0 ) выполняется неравенство

f (х) (х 0 ) .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Значение максимума и минимума обозначаются : у max , y min соответственно. ВНИМАНИЕ!!! Только не путать с наибольшим (или наименьшим) значением функции во всей рассматриваемой области определения, эти значения в окрестности некоторой точки Х, являются наибольшими (или наименьшими). Точки минимума и максимума функции называют – точки экстремума (от латинского слова extremum – «крайний») Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Значение максимума и минимума обозначаются : у max , y min соответственно.

ВНИМАНИЕ!!!

Только не путать с наибольшим (или наименьшим) значением функции во всей рассматриваемой области определения, эти значения в окрестности некоторой точки Х, являются наибольшими (или наименьшими).

Точки минимума и максимума функции называют – точки экстремума

(от латинского слова extremum – «крайний»)

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Теорема 4 . Если функция у = f (х) имеет экстремум в точке х=х 0 , то этой точке производная либо равна нулю, либо не существует. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными , а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует – критическими . Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Теорема 4 . Если функция у = f (х) имеет экстремум в точке х=х 0 , то этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными , а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует – критическими .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Для запоминания!!! min max Экстремума нет Экстремума нет Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Для запоминания!!!

min

max

Экстремума нет

Экстремума нет

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример: Найти точки экстремума функции у=3х 4 – 16х 3 + 24х 2 – 11. Решение: найдем производную данной функции: у 1 =12х 3 – 48х 2 + 48х. Найдем стационарные точки: 12х 3 – 48х 2 + 48х=0 12х(х 2 – 4х + 4)=0 12х(х – 2) 2 =0 Производная обращается в нуль в точках х=0 и х=2 + - + х 0 2 Значит, х=0 – точка минимума. Ответ: у min = - 11 . Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример: Найти точки экстремума функции у=3х 4 – 16х 3 + 24х 2 – 11.

Решение: найдем производную данной функции: у 1 =12х 3 – 48х 2 + 48х.

Найдем стационарные точки:

12х 3 – 48х 2 + 48х=0

12х(х 2 – 4х + 4)=0

12х(х – 2) 2 =0

Производная обращается в нуль в точках х=0 и х=2

+

-

+

х

0

2

Значит, х=0 – точка минимума.

Ответ: у min = - 11 .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 8; 3). Определить количество целых точек, в которых производная функции отрицательна Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 8; 3). Определить количество целых точек, в которых производная функции отрицательна

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: 4 Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: 4

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 7; 5). Найти точку экстремума функции на отрезке [ -6 ; 4] Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 7; 5). Найти точку экстремума функции на отрезке [ -6 ; 4]

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: - 3 Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: - 3

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 3; 8). Найти количество точек максимума функции на отрезке [ - 2 ; 7 ] Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 3; 8). Найти количество точек максимума функции на отрезке [ - 2 ; 7 ]

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: 2 Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: 2

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 3; 8). Найти промежутки убывания функции. В ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 3; 8). Найти промежутки убывания функции. В ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: 16 Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: 16

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 11; 3). Найти промежутки возрастания функции. В ответе указать длину наибольшего из них Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 11; 3). Найти промежутки возрастания функции. В ответе указать длину наибольшего из них

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: 6 Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: 6

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример: Исследовать функцию на монотонность и экстремумы Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример: Исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.13. Определите промежутки монотонности функции Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.13. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.15. Определите промежутки монотонности функции Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.15. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.16. Определите промежутки монотонности функции Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.16. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.16. Определите промежутки монотонности функции Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.16. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 1. Определите промежутки монотонности функции Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 1. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 2. Определите промежутки монотонности функции Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 2. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 3. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 3. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 4. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 4. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 5 Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 5 Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 6. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 6. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 6. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 6. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 8. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 8. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 9. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 9. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 10. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 10. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 11. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 11. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 44.53. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 44.53. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.45. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.45. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.45. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 30.45. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: - 3 Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: - 3

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: 2 Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ: 2

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Общая схема исследования функции Найти область определения функции. Выяснить характер поведения функции в граничных точках области определения. Выяснить обладает ли функция особенностями: четность, нечетность, периодичность. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Выяснить, имеет ли кривая вертикальные и наклонные асимптоты. Найти интервалы возрастания и убывания функции. Исследовать функцию на экстремум. Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции. Найти точки перегиба. Построить график. Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Общая схема исследования функции

  • Найти область определения функции. Выяснить характер поведения функции в граничных точках области определения.
  • Выяснить обладает ли функция особенностями: четность, нечетность, периодичность.
  • Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
  • Выяснить, имеет ли кривая вертикальные и наклонные асимптоты.
  • Найти интервалы возрастания и убывания функции. Исследовать функцию на экстремум.
  • Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции. Найти точки перегиба.
  • Построить график.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 44.24. Определите промежутки монотонности функции Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 44.24. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 2. Определите промежутки монотонности функции Найдем стационарные точки, решив уравнение Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 2. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина


География 10 класс ФГОС

Электронная тетрадь по литературному...

Электронная тетрадь по английскому...

Русская литература 6 класс ФГОС

Электронная тетрадь окружающий мир 1...

Финансовая грамотность 10-11 классы ФГОС

Русская литература 10 класс ФГОС

Покорение космоса. К юбилею полёта Ю....
Скачать

© 2023, 231 1

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Развитие пространственных представлений школьников в обучении...
750 руб.  3000 руб.
Активизация основных видов деятельности учащихся на уроках математики...
1000 руб.  4000 руб.
Девиантное поведение: понятие, профилактика и коррекция
1500 руб.  6000 руб.
Профессиональная деформация и механизмы психологической защиты...
1000 руб.  4000 руб.
Методика преподавания русского как иностранного
1000 руб.  4000 руб.
Диалоговое (интерактивное) обучение учащихся: практический опыт...
1000 руб.  4000 руб.

Похожие файлы

0 Нет комментариев

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!

Полезное для учителя

Новости проекта
28.12.23

С наступающим Новым годом, уважаемые учителя! Поздравляем вас с праздником!

16.11.23

Лайфхак учителя №3! Что делать, если вы устали из урока в урок повторять одно и тоже

09.11.23

Лайфхак учителя №2! Как перестать бегать от ученика к ученику во время практической работы

Курсы для учителей!
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
Активизация основных видов деятельности учащихся на уроках математики...
1000 руб.
4000 руб.
Развитие пространственных представлений школьников в обучении...
750 руб.
3000 руб.
Азбука проведения педагогического совета
750 руб.
3000 руб.
Смотреть все курсы