Примеры применения производной к исследованию функции.

Дата проведения:

Тема урока: Примеры применения производной к исследованию функции.

Цели урока: 1) Закрепить знания нахождения промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов функции с помощью производной;

2) Способствовать выработке навыка построения графика функции исследованием с помощью производной.

Задачи урока:

Учебная: Повторить:

1) Признаки возрастания и убывания функции;

2) Определение критических точек, точек экстремума;

3) Признаки максимума и минимума

4) Теорему о монотонности функции.

Развивающая: Учить осуществлять исследовательскую деятельность.

Воспитательная: Формировать навыки умственного труда.

Тип урока: Урок комплексного применения ЗУН учащихся.

Оборудование и источники информации: Учебник, рисунки.

Ход урока.

1. Орг.момент

Приветствие, сообщение темы урока и цели.

2. Актуализация ЗУН.

Повторение:

1) Признаки возрастания и убывания функции:

Если   в каждой точке интервала     , то функция f возрастает на   .

Если   в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

2) Определение критических точек:

Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами.

3) Признаки максимума и минимума:

Если функция f непрерывна в точке х₀ , а   на интервале (а;х₀) и   на интервале (х₀;в), то х₀ является точкой максимума функции f.

Если функция f непрерывна в точке х₀ , а   на интервале (а;х₀) и   на интервале (х₀;в), то х₀ является точкой минимума функции f.

3. Работа с учебником.

При построении графика функции с помощью производной полезно придерживаться такого плана:

1) Найти область определения функции.

2) Выяснить, является ли функция четной или нечетной, периодической.

3) Определить точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.

4) Найти критические точки функции.

5) Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.

6) Используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой.

Иногда для большей точности находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать.

Если функция четная, то ее график симметричен относительно оси Оy, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения и так далее.

4. Устная работа.

Назовите по следующим данным промежутки возрастания, убывания и точки максимума и минимума.

1.

5.Новая тема

Учитывая все сказанное, исследуем функцию: f(x)= 3x⁵-5х³+2 и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме:

D (f ') =IR, так как f (x) - многочлен.

Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (-x)= 3(-x)⁵-5(-x)³+2 = -3x ⁵+5х³+2= -( 3x⁵-5х³-2)   f(x)

Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат:

а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x⁵-5х³+2 = 0.

Методом подбора можно найти один из корней (x = 1). Другие корни могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знака постоянства находить не будем.

б) с осью 0У: f(0)=2

Точка А (0; 2) - точка пересечения графика функции с осью 0У.

Отметили, что промежутки знака постоянства не будем находить.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции

а ) f '(x)= 15x⁴ -15х² = 15х² (х²-1)

D (f ') =IR, поэтому критических точек которых f '(x)не существует, нет.

б) f '(x) = 0, если х²(х²-1)=0 x = -1 V x = 0 V x = 1.

в) Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

Из рисунка видно, что: f  возрастает на интервалах (- ; -1) и (1; + );

f убывает на (-1 ; 0) и (0; 1).

Так как функция непрерывна в точках -1; 0; 1, то f   возрастает на (- ; -1] и [1; + );

f  убывает на [-1; 0] и [0; 1].

6. Найдем точки экстремума функции и вычислим значения функции в этих точках. Рассматривая рисунок знаков f ?видим, что:

x =-1 - точка max, f (-1) =4;

x = 1 - точка min, f (1) =0.

6. Закрепление. Выполнение упр №296

7. Подведение итога.

-по какому плану необходимо исследовать функцию?

-как определить к промежутки возр.и убыв.функции?

Дом/задание №296(г)