Примеры применения производной к исследованию функций

Карабетова Марет Ереджибовна, учитель математики

Цель урока: Научить проводить исследование функций; строить их графики.

Форма: урок-беседа.

Методы: диалог, наглядные пособия и слайды.

Оборудование: ИКТ, таблицы.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Учитель: - Ребята! У вас было домашнее задание "Критические точки функции, максимумы и минимумы". Дайте определение критической точки функции.

Ученик: - Критической точкой называется внутренняя точка области определения, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.

Учитель: - Как найти критические точки?

Ученик: - 1

) Найти производную функции;

2) Решить уравнение: f '(x)=0. Корни этого уравнения являются критическими точками.

Учитель: - Найдите критические точки функций:

а) f(x)= 4 - 2x + 7x²

б) f(x)= 4x - x³/3

Ученик: -

а) 1) Найдем производную данной функции:

f '(x)= (4 - 2x + 7x²)' = -2+14x

2) Решим уравнение f '(x)=0 -2+14x =0 x=1/7

3) Так как уравнение f '(x)=0 имеет один корень, то данная функция имеет одну критическую точку х = 1/7.

Ученик: -

б) 1) Найдем производную данной функции: f '(x)= 4 - x²

2) Решим уравнение: f '(x)=0 4 - x² = 0 х = 2 или х = -2

3) Так как уравнение f '(x)=0 имеет два корня, то данная функция имеет две критические точки х₁ = 2 и х₂= -2 .

II. Устная работа.

Учитель: - Ребята! Повторим основные вопросы, которые нужны для изучения новой темы. Для этого рассмотрим таблицы с рисунками (приложение 1).

Укажите точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием. Как называются эти точки?

Ученик: - На рисунке а) - точка К-это точка максимума, на рисунке б) - точка М - это точка максимума.

Учитель: - Назовите точки минимума функции.

Ученик: - Точка К на рисунке в) и г) - точка минимума функции.

Учитель: - Какие точки могут быть точками экстремума функции?

Ученик: - Критические точки могут быть точками экстремума функции.

Учитель: - Какие необходимые условия вы знаете?

Ученик: - Существует теорема Ферма. Необходимое условие экстремума: Если точка х₀ является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ', то она равна нулю: f '(x)=0.

Учитель: - Найдите критические точки для функции:

а) f(x) = | х |

б) f(x) = 2х + | х |

Ученик: - Рассмотрим функцию f(x) = | х | (приложение 2). Эта функция не имеет производной в 0. Значит, 0- критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.

Ученик: - Рассмотрим функцию f(x) = 2х + | х | (приложение 3). По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстремума. В этой точке функция не имеет и производной.

В самом деле, если предположить, что функция f имеет в точке 0 производную, то f(х) - 2х также имеет производную в 0. Но f(х) - 2х = | х |, а функция | х | в точке 0 не дифференцируема, т.е. мы пришли к противоречию.

Значит, функция f в точке 0 производной не имеет.

Учитель: - Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремума нужно найти критические точки. Но из рассмотренных примеров видно, что для того чтобы данная критическая точка была точкой экстремума нужно еще какое-то дополнительное условие.

Какие достаточные условия существования экстремума в точке вы знаете?

Ученик: - Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х₀ , а f '(x)0 на интервале (а;х₀) и f '(x) ₀ ; в), то точка х₀ является точкой максимума функции f.

То есть если в точке х₀ производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума.

Ученик: - Признак минимума: Если функция f непрерывна в точке х₀ , а f '(x) ₀) и f '(x) 0 на интервале (х₀; в), то точка х₀ является точкой минимума функции f.

То есть если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ есть точка минимума.

Учитель: - А какой алгоритм нахождения точек экстремума функции вы знаете.

Ученик объясняет алгоритм исследования функции f на экстремум с помощью производной (приложение 4) и находит точки экстремума функции:

f (х)= x⁴-2х²

D (f) =IR и f непрерывна на всей числовой прямой, как целая рациональная функция.

2. f '(x) = 4x³ -4х = 4х (х+1)(х-1).

3. f '(x)=0 х= -1 V х=0 V х=1.

Рис.1 (знаки f ')

Так как f непрерывна в критических точках, то из рисунка 1 (приложение 5) видно, что -1 и 1 - точки минимума, а 0 - точка максимума функции f.

f_min = f (-1) = f (1) = -1, f_max = f (0) =0.

Учитель: - Ребята! Давайте вспомним алгоритм отыскания промежутков монотонности функции f.

Ученик вспоминает алгоритм отыскания промежутков монотонности функции f (приложение 6).

Учитель: - Найти промежутки возрастания и убывания функции f, заданной формулой

f (x)= x³-12х

Ученик:

- Решение:

1. Так как f(x) - многочлен, то D (f) =IR.

2. Функция f дифференцируема на всей числовой прямой и f '(x)= 3x² -12 = 3 (х+2) (х-2).

3. Критическими точками функции f могут быть только нули f '(x).

f '(x) =0 x = -2 V х=2.

D (f)\ {-2; 2}= (-; -2) U (-2 ; 2) U (2; +).

Рис.2 (знаки f ').

4. Посмотрев на рис.2 (приложение 7), записываем ответ:

f  возрастает на (-; -2) и на (2; + );

f убывает на (-2 ; 2).

Учитель: - Таким образом, мы с вами повторили алгоритм нахождения точек экстремума функции и алгоритм отыскания промежутков возрастания и убывания функции.

III. Объяснение нового материала.

Учитель: - Тема сегодняшнего урока: Примеры применения производной к исследованию функции.

На этом уроке мы должны научиться проводить исследование функций и строить их графики. Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции f и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.

Для полного исследования функции f и построения ее графика удобно пользоваться общей схемой исследования, которая состоит из следующих пунктов (приложение 8):

Найти области определения и значений данной функции f.

Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, то есть является ли функция f:

а) четной или нечетной;

б) периодической.

3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства функции f.

5. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

6. Найти точки экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

7. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек не входящих в область определения.

8. Построить график функции.

Эта схема имеет примерный характер.

Учитывая все сказанное, исследуем функцию: f(x)= 3x⁵-5х³+2 и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме:

D (f ') =IR, так как f (x) - многочлен.

Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (-x)= 3(-x)⁵-5(-x)³+2 = -3x ⁵+5х³+2= -( 3x⁵-5х³-2)  f(x)

Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат:

а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x⁵-5х³+2 = 0.

Методом подбора можно найти один из корней (x = 1). Другие корни могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства находить не будем.

б) с осью 0У: f(0)=2

Точка А (0; 2) - точка пересечения графика функции с осью 0У.

Отметили, что промежутки знакопостоянства не будем находить.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции

а ) f '(x)= 15x⁴ -15х² = 15х² (х²-1)

D (f ') =IR, поэтому критических точек которых f '(x)не существует, нет.

б) f '(x) = 0, если х²(х²-1)=0 x = -1 V x = 0 V x = 1.

в) Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

Рис.3 (знаки f ')

Из рисунка 3 (приложение 9) видно, что: f  возрастает на интервалах (-; -1) и (1; +);

f убывает на (-1 ; 0) и (0; 1).

Так как функция непрерывна в точках -1; 0; 1, то f   возрастает на (-; -1] и [1; +);

f  убывает на [-1; 0] и [0; 1].

6. Найдем точки экстремума функции и вычислим значения функции в этих точках. Рассматривая рисунок 3 знаков f ?видим, что:

x =-1 - точка max, f (-1) =4;

x = 1 - точка min, f (1) =0.

Полученные результаты занесем в таблицу (приложение 10) и построим график (приложение 11).

IV. Закрепление новой темы. Решение задач.

Учитель: - Исследуйте функцию и постройте ее график: f (x)= x⁴-2х²-3.

Ученик: - 1) D (f) =R.

2) f(-x)= (-x)⁴-2(-x)²-3 = x ⁴-2х²-3; f(-x)= f(x),

значит, функция f является четной. Исследование ее можно проводить на промежутке [0; ).

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, то есть решим уравнение x ⁴-2х²-3 = 0. Пусть х² =у, у²-2у-3= 0, у=3 или у=-1, то есть х²=3, х=3 или х=-3; х²=-1 не имеет решений. Получили две точки пересечения с осью абсцисс М(3; 0), К(-3; 0). График пересекает ось ординат в точке В (0; -3).

4) Найдем производную f '(x) = 4x ³-4х = 4х(х-1)(х+1).

5) Найдем критические точки функции:

а) f ''(x) =0, если 4х (х-1) (х+1)=0, x = 0 V x = -1 V x = 1.

б) f ' определена на всей D(f).

6) Определим знак производной на промежутках (-; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; ):

а) f '(2) = -32+8

б) f '(-1/2) = 4 * (-1/2)³ -4 * (-1/2)= -1/2 + 2 0;

в) f '(1/2) = 4 * (1/2)³ -4 * (1/2)= 1/2 - 2

г) f '(2) = 4 * 8 - 4 * 2 0.

Найдем значения функции в точках -1; 0; 1:

f (-1)=-4, f(0)=-3, f(1)=-4.

Полученные данные занесем в таблицу (приложение 12):

Построим график (приложение 13).

Учитель: - Найти число корней уравнения: 2x ³-3x ²-12х-11=0

Решение: Рассмотрим функцию f(x)= 2x ³-3x ²-12х-11=0.

Найдем область определения функции: D (f) = (-; )

Найдем ее производную: f '(x) = 6x ²-6х-12

Найдем критические точки функции:

f '(x) =0, если 6x ²-6х-12=0, x = -1 V x = 2.

Заполним таблицу (приложение 14):

5) а) На промежутке (-; -1] функция возрастает от -  до -4, поэтому на этом промежутке уравнение f (x)=0 корней не имеет.

б) На промежутке [-1; 2] уравнение так же не имеет корней, так как на этом промежутке функция убывает от -4 до -31.

в) На промежутке [2; ) функция возрастает от -31 до бесконечности, на этом промежутке уравнение f (x)=0 имеет один корень (по теореме о корне, то есть если функция возрастает (убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке, то уравнение f (x) = а имеет единственный корень в промежутке I). Итак, уравнение 2x ³-3x ²-12х-11=0 имеет один корень и этот корень принадлежит интервалу (2; ).

Учитель: - Сколько корней имеет уравнение: x ⁴/4 -x ³- x ²/2 +3х = 0

Ученик: - Решение: Рассмотрим функцию р(x) = x ⁴/4 -x ³- x ²/2 +3х:

1) Найдем область определения функции D(р) = (-; ).

2) Найдем производную р' (x) = x ³- 3x ² -x+3

3) Найдем критические точки и промежутки возрастания и убывания функции:

р' (x) = 0 x ³- 3x ² -х+3=0 x ²(х-3) -(х-3)=0 (х-3)( x ²-1) = 0 х=3, х₁=1, х₂=-1.

Рис. 4 (знаки р ')

Из рисунка 4 (приложение 15) видно, что: р(x) возрастает на интервалах [-1; 1] и [3; +);

р(x) убывает на (- ; -1] и [1; 3].

4) Найдем точки экстремума и экстремумы функции:

х=-1 min р _min= 1/4+1-1/2 -3=-9/4

x= 1 max р _max= 1/4 -1-1/2+3 =1 3/4 0,

х=3 min р _min= 81/4-27-9/2+9= -27/2

Строим эскиз графика (приложение 16).

Из рисунка видно, что многочлен имеет 4 корня, следовательно, уравнение имеет 4 решения.

V. Самостоятельная работа.

Вариант I.

Пример 1. Исследуйте функцию f(x)= x³-3х² и постройте ее график

Решение:

Область определения данной функции - множество действительных чисел: D (f) =R.

Данная функция непрерывна на множестве действительных чисел как многочлен.

Найдем критические точки функции: f '(x)=3х²-6х = 3х (х-2),

f '(x)=0, 3х (х-2)=0, х=0 или х=2.

Составляем таблицу (приложение 17):

Критические точки разбивают координатную прямую на три промежутка: (-; 0), (0; 2), (2; ).

Рис.5 (знаки f ')

На рисунке 5 (приложение 18) указаны знаки производной f '(x) на каждом из этих промежутков.

Найдем нули функции: x³-3х² = 0, x² (х-3) = 0, x = 0 или x = 3.

Найдем координаты еще одной точки графика: если x =-1, то f (-1) = (-1)³ - 3 * (-1)² = -4.

6) Строим график данной функции (приложение 19).

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение: x⁴ - 4x³ - 9 = 0.

Решение:

р (x) = x⁴ - 4x³ - 9

D(р) = (-; ).

р ' (x) = 4 x ³- 12x ² = 4 x ² (х-3) = 0, x_1,2 = 0; x₃ = 3

Рис.6 (знаки р ').

4) Из рисунка 6 (приложение 20) видно, что: р(x) убывает на интервале (- ; 3];

р (x) возрастает на [3; +).

5) x = 3 - min

а) р _min= р (3) = 3⁴ - 4 * 3³ - 9 = -36

б) в точке x = 0 график имеет точки перегиба (то есть меняет выпуклость), f (0) = -9.

6) Строим эскиз графика (приложение 21).

График пересекает ось 0Х в двух точках x₁ и x₂, следовательно, многочлен, а значит и данное уравнение имеет два корня.

Вариант II.

Пример 1. Исследуйте функцию y = 1/3x³- 3x² + 8x и постройте ее график.

Решение:

Область определения данной функции - множество действительных чисел: D (y) =R.

Данная функция непрерывна на множестве действительных чисел .

Найдем критические точки функции: y ' = x² - 6x + 8.

y ' = 0, x² - 6x + 8 = 0, x = 2 или x = 4.

4) Составляем таблицу (приложение 22):

y_max = y(2) = 20/3, y _min= y(4) = 16/3.

5) Найдем нули функции: 1/3x³- 3x² + 8x =0, x (1/3x²- 3x + 8) = 0, x = 0 или 1/3x²- 3x + 8 = 0.

x²- 9x + 24 = 0, D = 9²- 4 * 24

6) Построим график функции (приложение 23).

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение: x²- x³/3- 1= 0

Решение:

p (x) = -x³/3+ x²- 1.

D (p) = IR.

Исследуем функцию: p '(x) = -x²+ 2x = - x (x - 2) =0, x = 0 или x =2.

3) Найдем критические точки функции (приложение 24):

Рис.7 (знаки p')

x = 0 - min, p _min= p (0) = -1

x = 2 - max, p _max= p (2) = - 8/3 + 4 - 1 = -8/3 +3 = 1/3 0.

4) Строим эскиз графика (приложение 25).

График пересекает ось 0Х в трех точках x₁, x₂ и x₃, следовательно, многочлен, а значит и данное уравнение имеет три корня.

VI. Домашнее задание.

Выучить схему исследования функции.

Исследовать и построить график функции:

а) y = 3x⁴- 4x³ - 12x² + 10;

б) y = 

Спасибо, ребята. До свидания.

Приложение 1

Приложение 2

Функция f ( x ) = | х |

у

0

х

Приложение 3 Функция f ( x ) = 2х + | х |

у

х

0

Приложение 4 Алгоритм исследования функции f на экстремум с помощью производной :

• Найти D ( f ) и исследовать на непрерывность функцию f .
• Найти производную f ´ и представить ее в удобной форме.
• Найти критические точки функции f и на координатной прямой отметить промежутки знакопостоянства f ´.
• Посмотрев на рисунок знаков f ´, определить точки минимума и максимума функции и вычислить значения f в этих точках.

Приложение 4

Приложение 5

f ´( x ) = 4 x 3 -4х

+

+

-

-

0

1

-1

x

Приложение 5

Рис.1 (знаки f ´ )

Приложение 6

алгоритм отыскания промежутков монотонности функции f

• Найти D ( f ).
• Найти производную f ´ и представить ее в удобной форме.
• Найти критические точки функции f .
• Удалить из D ( f ) критические точки f и оставшуюся часть D ( f ) изобразить на координатной прямой . Взять по одной точке в каждом из полученных промежутков и установить знак производной в них (таков будет и знак f ´ на всем промежутке в силу замечания 2).
• Исследовать непрерывность f на концах промежутков из пункта 4 (если это нужно) и записать ответ, используя замечание1.

Приложение 6

Приложение 7

f ´( x ) = 3 x 2 -12

+

+

-

х

-2

2

Приложение 7

Рис. 2 (знаки f ´ )

Приложение 8

Общая схема исследования функции f :

• Найти область определения и значений данной функции f .
• Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, то есть является ли функция f :
• а) четной или нечетной;
• б) периодической.
• Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
• Найти промежутки знакопостоянства функции f .
• Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
• Найти точки экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.
• Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек не входящих в область определения.
• Построить график функции.

Приложение 8

Приложение 9

f ´( x ) = 15x 4 - 15 х 2

-

+

-

+

0

-1

1

x

Приложение 9

Рис. 3 (знаки f ´ )

Приложение 10

f ( x )= 3 x 5 -5х 3 +2

x

f ´( x )

(-∞; -1)

+

-1

f(x)

(-1; 0)

↑

0

-

0

4

(0; 1)

max

0

↓

-

1

0

↓

(1; ∞)

+

2

↑

min

Приложение 10

Приложение 11

График функции f ( x )= 3 x 5 -5х 3 +2

y

4

y= 3 x 5 -5х 3 +2

2

Приложение 11

-1

0

x

1

Приложение 12

f ( x )= x 4 - 2 х 2 -3

x

f ´( x )

(-∞; -1)

-

-1

f(x)

↓

0

(-1; 0)

+

0

-4

min

0

(0; 1)

↑

-

1

-3

max

0

↓

(1; ∞)

+

-4

↑

min

Приложение 12

Приложение 13

График функции f ( x )= x 4 - 2 х 2 -3

y

0

x

2

-1

-2

1

-3

Приложение 13

-4

Приложение 14

f ( x )= 2x 3 - 3 х 2 -1 2 x-11

x

(-∞; -1)

f ´( x )

+

-1

f(x)

( -1 ; 2 )

0

↑

-

-4

2

max

0

↓

( 2 ; ∞)

+

-31

↑

min

Приложение 14

Приложение 15

p ´( x ) = х 3 -3 х 2 - х +3

-

+

+

-

1

3

-1

x

Приложение 15

Рис. 4 (знаки p ´ )

Приложение 16

График функции р( x )= x 4 /4- x 3 -x 2 /2+3х

y

y=x 4 /4- x 3 - x 2 /2+3х

-2

-1

0

3

1

x

Приложение 16

Приложение 17

f ( x )= x 3 - 3 х 2

x

(-∞; 0 )

f ´( x )

+

0

f(x)

( 0 ; 2 )

0

↑

-

0

2

max

0

↓

( 2 ; ∞)

+

-4

↑

min

Приложение 17

Приложение 18

f ´( x ) = 3x 2 - 6 х

+

+

-

х

0

2

Приложение 18

Рис. 5 (знаки f ´ )

Приложение 19

График функции f ( x )= x 3 -3х 2

у

у= x 3 -3х 2

-1

2

3

0

Х

Приложение 19

-4

Приложение 20

p ´( x ) = 4 x 3 - 12x 2

+

-

-

х

0

3

Приложение 20

Рис. 6 (знаки p ´ )

Приложение 21

График функции р ( x ) = x 4 – 4 x 3 – 9

y

X 1

X 2

0

3

X

Приложение 21

P min

Приложение 22

y = 1/3x 3 - 3 х 2 +8x

x

(-∞; 2 )

f ´( x )

+

2

f(x)

( 2 ; 4 )

0

↑

-

20/3

4

max

0

↓

( 4 ; ∞)

+

16/3

↑

min

Приложение 2

Приложение 23

График функции y = 1/3 x 3 -3 x 2 +8 x

y

y = 1/3 x 3 - 3 x 2 + 8 x

20/3

16/3

Приложение 23

2

4

0

x

Приложение 24

p ´( x ) = -x 2 +2x

-

-

+

х

0

2

Приложение 24

Рис. 7 (знаки p ´ )

Приложение 25

График функции p ( x ) = -x 3 /3+x 2 -1

y

y= -x 3 /3+x 2 -1

Приложение 25

x

0

2

-1