Тема урока: Исследование функции с помощью производной: интервалы монотонности, экстремумы, выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Тема урока: Исследование функции с помощью производной: интервалы монотонности, экстремумы, выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Конспект урока

Алгоритм

Мы знаем, как по знаку производной найти интервалы монотонного возрастания или убывания функции, знаем, каким образом определить точки максимума и точки минимума функции. Пусть теперь есть задача исследовать функцию на экстремумы и на монотонность с помощью производной.
Алгоритм таков:

1. Найти  .

2. Выделить интервалы знакопостоянства  . Они определят интервалы монотонности  .

3. Найти критические точки (внутренние точки ОДЗ, в которых   или не существует).

4. Выделить из критических точек и концов отрезка точки экстремума и исследовать их.

Исследование функции на монотонность и экстремум

2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум: Критические точки функции:

, ,

Определим знак производной в каждом интервале монотонности:

, точка max, так как производная изменила знак с "+" на "−",

, точка min, так как производная изменила знак с "−" на "+".

Вычислим сам экстремум функции в этих точках:

3. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость кривой и перегиб:

Критические точки: , , ,

Определим знак II производной в интервале кривизны:

, значит, кривая выпуклая на промежутке,

, значит, кривая вогнутая на промежутке;

Вычислим ординату точки перегиба:

4. Найдём дополнительные точки графика:

По результатам исследования строим график функции:

Пример 2. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график: .

Решение: 1. Область определения функции ,

точка разрыва, чтобы определить её характер, найдём правосторонний и левосторонний пределы функции в этой точке:

Значит, точка разрыва рода,прямая вертикальная асимптота графика функции. Найдём наклонную асимптоту графика: где угловой коэффициент прямой найдём по формуле

Так как существует, то есть и наклонная асимптота. Вычисляем коэффициент b:

Значит, наклонная асимптота графика имеет уравнение .

2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:

, учтем правило дифференцирования

Критические точки функции:

, , , , х=2,

Домашнее задание:

Определить вид функции: y=x⁴ -2x² +2.

y=x⁴ -2x² +2, D(y)=R.

Y=x⁴ -2x²+2

1) Область определения функции:

D(y)=(-∞; +∞)

2) Область значений функции:

Е(у)=(-∞; +∞)

3) Четность или нечетность функции:

у(-х)=(-х)⁴ - 2(-х)²+2=х⁴-2х²+2

Так как у(-х)=у(х), то функция является четной. График функции симметричен относительно оси ОУ.

4) Точки пересечения графика с осями:

ОХ:     у=0

          х⁴-2х²+2=0

          Пусть х²=t

          t²-2t+2=0

          D=4-8=-4

График не пересекает ось ОХ.

ОУ:     х=0

          у=0⁴-2*0²+2=2

5) Промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума:

у' = 4x³ -4x=4x(x²-1)=4x(x-1)(x+1)

4x(x-1)(x+1)=0

x=0     x=1     x=-1

   -              +              -                 +

-------- -1 --------- 0 ----------- 1 --------------

При х∈(-∞; -1]U[0; 1] функция убывает.

При х∈[-1; 0]U[1; +∞) функция возрастает.

х=-1 - точка минимума.

Уmin=(-1)⁴ - 2(-1)²+2=1-2+2=1

x=0 - точка максимума.

Уmax=0⁴-2*0²+2=2

x=1 - точка минимума. 

Уmin=1⁴-2*1²+2=1-2+2=1

6) Точки для построения графика:

х| -2 | -1 | 0 | 1 | 2  

y| 10|  1 | 2 | 1 | 10