Использование свойств и графиков для решения уравнений

Тема: Использование свойств и графиков функций при решении уравнений

Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств основано на следующих теоретических фактах:

1. Строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз.

2. Если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их, либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет не более одного решения.

3. Если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней.

Пример

Решите уравнение: x³=2−x

Решение.

Рассмотрим функции f(x)=x³ и g(x)=2−x.

Функция f(x) возрастает на всей области определения, а функция g(x) убывает на области определения. Следовательно, данное уравнение имеет не

более одного корня.

Подбором находим, что x=1. Проверкой убеждаемся, что x=1 действительно корень уравнения.

Проверка: 1³=2-1; 1=1.

Ответ: 1.

Использование четности функции

Функция f (x) называется четной, если для любого x∈D выполняется равенство: f(−x)=f(x).

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями:

·Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.

·Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.

·Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.

·Если функция f четна (нечетна), то и функция 1f четна (нечетна).

Пример

Может ли при каком-нибудь значении а уравнение: 2x⁸−3ax⁶+4x⁴−ax²=5 иметь 5 корней?

Решение.

Обозначим f(x)=2x⁸−3ax⁶+4x⁴−ax²=5, где f(x) – четная функция. Если х₀ – корень данного уравнения, то (-х₀) – тоже корень. Значение х=0 не является корнем уравнения. Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Использование области определения функции

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции. Для нахождения функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.). Иногда знание позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел.

Использование ограниченности функции. При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Если существует такое число С, что для любого x∈D выполняется неравенство f(x)⩽C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D.

Если существует такое число с, что для любого выполняется неравенство f(x) ≥с, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D.

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y=f(x) при лежит в полосе с⩽f(x)⩽C.