Функция. Основные свойства функции. Обратная функция.

Инструкционная карта №3

Тақырыбы/ Тема: «Функция. Способы задания функции. График функции. Обратная функция.»

Мақсаты/ Цель:

1. Познакомить учащихся с понятием функции, ее способами задания функции, понятием графика функции и понятием обратной функции. Нахождением области определения функции.

2. При решении упражнений, развивать у учащихся умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обучить умению рационально находить правильное решение изучаемого вопроса.

3. Развивать самостоятельность и рациональность при решении упражнений, развивать логику мышления.

Теоретический материал:

Определение. Правило, или закономерность, при котором каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества Y, называется функцией. Обозначение: . Функция считается заданной, если указаны:

1. область определения ;

2. правило, или закономерность, между значениями х и у;

3. множество значений .

Графиком функции y = f(x)  называется множество всех точек плоскости Oxy , для каждой из которых x является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции.

Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x , находить соответствующее значение y.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x).

Графический способ: задается график функции.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

Пример 1

Рассмотрим функцию 

Рассмотрим теперь область определения. Извлечь квадратный корень из выражения (х - 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х - 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим  

Пример 2

Рациональная функция  определена при х - 2 ≠ 0, т. е. x ≠ 2. Поэтому область определения данной функции - множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).

Возвращаясь к примеру, можно записать: 

Пример 3

Найдем область определения дробно-рациональной функции:

Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1 и х = -3. Поэтому область определения данной функции 

Пример 4

Найти область определения функции у = х² +2х – 5

Если функция задана в виде многочлена, то ее значение можно вычислить при любом значении аргумента, следовательно, D (у) = R

Четность и нечетность функций.

• Функция f называется четной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = f(x).

• Функция f называется нечетной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Понятие об обратной функции

Пример

Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции  f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.

Практическая часть:

Контрольные вопросы:

1. Что такое числовая функция?

2. Какое множество соответствует области определения функции?

3. Назовите способы задания функции?

4. Дайте определение четной (нечетной) функции.

5. Всякой ли функции можно найти обратную функцию?