Множество всех действительных чисел можно представить, как объединение трех множеств: множество положительных чисел, множество отрицательных чисел и множество состоящее из одного числа - число нуль. Для того чтобы указать, что число аположительно, пользуются записью а > 0, для указания отрицательного числа используют другую запиь a < 0 .
Сумма и произведение положительных чисел также являются положительными числами. Если число а отрицательно, то число -аположительно (и наоборот). Для любого положительного числа а найдется такое положительное рациональное число r, что r < а. Эти факты и лежат в основе теории неравенств.
По определению неравенство а > b (или, что то же самое, b < a) имеет место в том и только в том случае, если а - b > 0, т. е. если число а - b положительно.
Рассмотрим, в частности, неравенство а < 0. Что означает это неравенство? Согласно приведенному выше определению оно означает, что 0 - а > 0, т. е. -а > 0 или, иначе, что число -а положительно. Но это имеет место в том и только в том случае, если число а отрицательно. Итак, неравенство а < 0 означает, что число а отрицательно.
Часто используется также запись аb (или, что то же самое, bа).
Запись аb, по определению, означает, что либо а > b, либо а = b. Если рассматривать запись аb как неопределенное высказывание, то в обозначениях математической логики можно записать
(a b) [(a > b) V (a = b)]
Основные свойства и правила действий над неравенствами.
Буквы a, b, с обозначают действительные числа, а n означает натуральное число.
1) Если а > b и b > с, то a > с (транзитивность).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как по условию а > b и b > c, то числа а - b и b - с положительны, и, следовательно, число а — с = (а - b) + (b - с), как сумма положительных чисел, также является положительным. Это означает, по определению, что а > с.
2) Если а > b, то при любом с имеет место неравенство а + с > b + c.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как а > b, то число а - b положительно. Следовательно, число (а + с) - (b + с) = a + c - b - c = а - b также является положительным, т. е.
a + с > b + с.
3) Если a + b > c, то a > b - c , т. е. любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
Доказательство вытекает из свойства 2) достаточно к обеим частям неравенства а + b > с прибавить число - b.
4) Если а > b и с > d, то а + с > b + d, т. е. при сложении двух неравенств одного и того же смысла получается неравенство того же смысла.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
В силу определения неравенства достаточно показать, что разность
(а + с} - (b + c) положительна. Эту разность можно записать следующим образом:
(a + c) - (b + d) = {а - b) + (с - d).
Так как по условию числа а - b и с - d положительны, то (a + с) - (b + d) также есть число положительное.
Следствие. Из правил 2) и 4) вытекает следующее Правило вычитания неравенств: если а > b, с > d, то a - d > b - с (для доказательства достаточно к обеим частям неравенства а + с > b + d прибавить число - c - d).
5) Если а > b, то при с > 0 имеем ас > bc, а при с < 0 имеем ас < bc.
Иначе говоря, при умножении обеих частей неравенства ни положительное число знак неравенства сохраняется (т. е. получается неравенство, того же смысла), а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (т. е. получается неравенство противоположного смысла.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если а > b, то а - b есть число положительное. Следовательно, знак разности ас—bс = с(а — b) совпадает со знаком числа с: если с — положительное число, то и разность ас — bc положительна и потому ас > bс, а если с < 0, то эта разность отрицательна и потому bc — ас положительно, т. е. bc > ас.
6) Если а > b > 0 и с > d > 0, то ас > bd, т. е. если все члены двух неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном умножении этих неравенств получается неравенство того же смысла.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Имеем ас - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b{c - d). Так как с > 0, b > 0, a - b > 0, с - d > 0, то ас - bd > 0, т. е. ас > bd.
Замечание. Из доказательства видно, что условие d > 0 в формулировке свойства 6) несущественно: для справедливости этого свойства достаточно, чтобы были выполнены условия a > b > 0, с > d, с > 0. Если же (при выполнении неравенств a > b, с > d) числа а, b, с не будут все положительными, то неравенство ас > bd может не выполняться. Например, при а = 2, b =1, c = -2, d = -3 имеем a > b, с > d, но неравенство ас > bd (т. е. -4 > -3) не выполнено. Таким образом, требование положительности чисел а, b, с в формулировке свойства 6) существенно.
7) Если a ≥ b > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
ИмеемЧислитель дроби, стоящей в правой части, положителен (см. свойства 5), 6)), знаменатель также положителен. Следовательно,. Этим свойство 7) доказано.
Замечание. Отметим важный частный случай правила 7), получающийся при а = b = 1: если с > d > 0, то. Таким образом, если члены неравенства положительны, то при переходе к обратным величинам получаем неравенство противоположного смысла. Предлагаем читателям проверить, что это правило сохраняется и в7) Если ab > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).
Д о к а з а т е л ь с т в о. то.
Мы доказали выше несколько свойств неравенств, записанных с помощью знака > (больше). Однако все эти свойства можно было бы формулировать с помощью знака < (меньше), так как неравенство b < а означает, по определению, то же самое, что и неравенство а > b. Кроме того, как это нетрудно проверить, доказанные выше свойства сохраняются и для нестрогих неравенств. Например, свойство 1) для нестрогих неравенств будет иметь следующий вид: если аb и bс, то ас.
Разумеется, сказанным выше не ограничиваются общие свойства неравенств. Существует еще целый ряд неравенств общего вида, связанных с рассмотрением степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций. Общий подход для написания такого рода неравенств заключается в следующем. Если некоторая функция у = f(х) монотонно возрастает на отрезке [а, b], то при x1 > x2 (где x1 и x2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x1) > f(x2). Аналогично, если функция y = f{x)монотонно убывает на отрезке [а, b], то при х1 > х2 (где х1 и х2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x1) < f(x2). Разумеется, сказанное не отличается от определения монотонности, но для запоминания и написания неравенств этот прием очень удобен.
Так, например, для любого натурального n функция у = хn является монотонно возрастающей на луче [0, ∞ ). Поэтому мы можем сформулировать следующее общее свойство неравенств:
8)Если а > b > 0, то an > bn (где n - натуральное число).
Далее, функция y = x2n+1 является (при любом натуральном n) возрастающей на всей числовой прямой. Иначе говоря, справедливо следующее свойство: a2n+1 >b2n+1 , тогда когда a > b .
9) Если а > b, то(где n — натуральное число).
Отметим один частный случай этого свойства, часто применяемый при доказательстве неравенств (он получается при n = 1) : если а > b, то а3 > b3.
Наконец, заметим, что если некоторая функция является возрастающей, то и обратная ей функция является возрастающей. Поэтому функция
нa луче [0,) , а функциявозрастает на всей числовой прямой. Это позволяет сформулировать следующие свойства неравенств:
10)Если а > b > 0, то(где n - натуральное число).
11)Если а > b, то(где n — натуралъ ное число).
Следствие. Неравенство а2 > b2 имеет место в том и только в том случае, если |а| > |b|.
В самом деле, если а2 > b2 то мы можем написать a2 > b2 > 0, и потому, в силу свойства 10), имеем>т. е. |а| > |b|. Обратно, если |а| > |b|, т. е.>, то мы можем написать> 0, и потому, в силу свойства 8),
имеем ()2 > (}2, a2 > b2.
Еще раз подчеркнем, что рассуждения о монотонности функций, с помощью которых мы написали здесь свойства 8) — 11), не являются доказательствами этих свойств. Наоборот, лишь после того, как свойство 8) будет доказано, мы можем говорить о монотонности функции у = хn на луче [0, +) (и аналогично для свойства 9)). О доказательстве свойств 8) — 11) мы будем говорить при рассмотрении свойств степенной функции.