Элективный курс "Модуль"

Элективный курс «Модуль»

Общие методические рекомендации

В объем данного курса входят те знания, умения и навыки, обязательное приобретение которых предусмотрено требованиями программы общеобразовательной школы. Однако предполагается, что учащиеся должны научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования. Следует отметить, что требования к знаниям и умениям ни в коем случае не должны быть завышены. Чрезмерность требований порождает перегрузку и ведет к угасанию интереса. Одна из целей преподавания данного курса ориентационная – помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности, поэтому интерес и склонность учащегося к занятиям на курсах должны всемерно подкрепляться и развиваться.

В методической литературе «модулю» уделяется немало внимания, однако наблюдения показывают, что задания с модулем вызывают у учащихся затруднения, и они допускают ошибки. Одна из причин таких ошибок кроется, на наш взгляд, в непонимании учащимися определения модуля числа:

При работе над определением модуля числа учитель должен обратить внимание учащихся на то, что число X может быть как отрицательное, так и положительное. Для построения всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе. Целесообразно познакомить учащихся с определением четной и нечетной функции.

В каждой теме курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний и способов деятельности, что способствует эффективному освоению предлагаемого курса. На уроках можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса. Эта форма работы развивает точную, лаконичную речь, способность работать в скором темпе, быстро собираться с мыслями и принимать решения.

Можно рекомендовать комментированные упражнения, когда один из учеников объясняет вслух ход выполнения задания. Эта форма помогает учителю «опережать» возможные ошибки. При этом нет механического списывания с доски, а имеет место процесс повторения. Сильному ученику комментирование не мешает, среднему – придает уверенность, а слабому – помогает. Ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе, к быстрой ориентации в материале.

Поурочные домашние задания являются обязательными для всех. Активным учащимся можно давать задания из дополнительной части или предложить творческие задания. Проверка заданий для самостоятельного решения осуществляется на занятии путем узнавания способа действия и называния ответа. Данный курс содержит дидактический материал, как для учителя, так и для учащихся, а также приводятся возможные варианты организации деятельности учащихся.

Проверочные работы рассчитаны на часть урока, целиком проверочная или самостоятельная работа может быть предложена для домашнего решения. Задания выбираются по усмотрению учителя, в зависимости от состава слушателей курса и их подготовленности.

Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания в соответствии со своими познавательными приоритетами и возможностями, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих заданий.

Дидактический материал для учителя содержит методические рекомендации к каждому занятию. Программа курса позволяет организовать повторение и закрепление понятия модуля, решение заданий, содержащих модуль «блоками» и на занятиях в старших классах, подбирая упражнения, соответствующие возрасту и уровню подготовки учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

– точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

– применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;

– преобразовывать выражения, содержащие модуль;

– решать уравнения и неравенства, содержащие модуль;

– строить графики элементарных функций, содержащих модуль.

Для успешного анализа и самоанализа необходимо определить критерии оценки деятельности учащихся, они должны быть известны и родителям.

Возможные критерии оценок.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующие.

Оценка «отлично» – учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно, творчески. Как правило, для получения высокой оценки учащийся должен показать не только знание теории и владение набором стандартных методов, но и известную сообразительность, математическую культуру.

Оценка «хорошо» – учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно» – учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.

Пояснительная записка

Предлагаемый курс по теме «Модуль» основан на авторской программе В. Н. Студенецкой, Л.С.Сагателовой. Данный элективный курс направлен на расширение знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Стоит отметить, что навыки в решении уравнений, неравенств, содержащих модуль, и построение графиков элементарных функций, содержащих модуль, совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения. Материал данного курса содержит «нестандартные» методы, которые позволяют более эффективно решать широкий класс заданий, содержащих модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках математики в 8–9 классах, так и на факультативных и дополнительных занятиях. Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения.

Цели курса:

– помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как: а) преобразование выражений, содержащих модуль; б) решение уравнений и неравенств, содержащих модуль; в) построение графиков элементарных функций, содержащих модуль;

– создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;

– помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

Задачи курса:

– научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль;

– научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль;

– научить строить графики, содержащие модуль;

– помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

– помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 34 часа, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар, творческие задания. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от простых до конкурсных и олимпиадных. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Программа может быть эффективно использована в 8–9 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

В состав учебно-методического комплекта входят:

1. Учебное пособие для школьников, включающее задачи, задания и упражнения для закрепления знаний и отработки практических навыков, творческие задания.

2. Методическое пособие для учителя с рекомендациями по проведению занятий, решению задач, организации промежуточного и итогового контроля знаний учащихся.

3. Приложения, содержащие дополнительную информацию по данному курсу.

Содержание программы

Модуль: общие сведения. Преобразование выражений, содержащих модуль

История происхождения модуля. Модуль. Общие сведения: определение, свойства модуля, геометрический смысл модуля. Преобразование выражений, содержащих модуль.

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль

Решение уравнений, содержащих модуль. Решение уравнений вида:

.

Решение неравенств, содержащих модуль. Решение неравенств вида:

.

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль в модуле. Метод замены переменной. Решение систем уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Графики функций, содержащих модуль

Построение графиков функций, содержащих модуль. Построение графиков функций вида: у = _; у = _; и уравнений _; |у| = |f (х)|.

Построение графиков уравнений вида: |у| = f(х) и |у| = |f(х)|.

Модуль в заданиях единого государственного экзамена

Решение заданий единого государственного экзамена, содержащих модуль.

Приложение.

1. Карточки-задания для самостоятельной работы.

2. Тест-задание.

3. Трансцедентные уравнения, содержащие модуль.

4. Геометрическая интерпретация уравнений вида |х – а| – |х – b| = с.

5. Задания для подготовки к тестированию по математике (уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля).

6. Карточки-задания для построения графиков функций, содержащих модули.

7. Графики квадратичных функций, содержащих модули.

8. Неравенства с двумя переменными, содержащими модуль, на координатной плоскости.

Учебно-тематический план

№	Наименование тем курса	Всего часов	Форма контроля
1	История происхождения модуля. Модуль. Общие сведения: определение, свойства, геометрический смысл модуля.	1
2	Преобразование выражений, содержащих модуль	1
3	Решение уравнений, содержащих модуль	4	С. р.
4	Решение неравенств, содержащих модуль	6
5	Метод введения новой переменной	2
6	Решение систем уравнений, содержащих модуль	2
7	Решение систем неравенств, содержащих модуль	2
8	Графики функций, содержащих модуль	4
9	Метод вершин	1
10	Построение графиков вида |у| = f (х) и |у| =| f (х)|.	2
11	Решение уравнений графическим способом	2
12	Решение неравенств графическим способом	2
13	Проверочная работа	1	Пр. р.
14	Модуль в заданиях единого государственного экзамена	3
15	Итоговое занятие «Математический бой»	1
	Всего	34

Модуль: общие сведения

Модуль: общие сведения.
Определение, свойства, геометрический смысл модуля.
Преобразование выражений, содержащих модуль

Ц е л и: повторить и уточнить знания учащихся; рассмотреть свойства модуля; способствовать выработке навыков в упрощении выражений, содержащих модуль.

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Вначале решение упражнений должно сопровождаться объяснением, опирающимся на определение модуля и его геометрический смысл. Однако в дальнейшем необходимо добиться автоматизма в решении упражнений типа |7| = 7; |–3| = 3; .

На первом же уроке нужно предложить учащимся записать в тетрадях:

1) |a| =

2) Изобразить на числовой оси точки а и –а и еще раз обсудить геометрический смысл модуля:

Лекция.

О п р е д е л е н и е. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательное, и число противоположное а, если а отрицательное.

Часто строчку (2) объединяют со строчкой (1) или со строчкой (3).

Чаще всего применяют запись:

|a| =

П р и м е р ы. |5| = 5; ; |–8| = 8;

, так как .

Отметим некоторые свойства модуля.

1) |–a| = |a|

2) |a·в| = |a|·|в|

Докажем это свойство, рассмотрев все случаи:

а) если а = 0, в = 0, или в ≠ 0, или а ≠ 0, но в = 0, то очевидно |a·в| = |a|·|в| = 0;

б) если а 0 и в 0, тогда а = |a|; в = |в| и ав 0.

Значит, |a·в| = ав = |a|·|в|;

в) если а в а = |a|; –в = |в| и ав 0.

Значит, |a·в| = ав = (–а)·(–в) = |a|·|в|;

г) если а 0 и в а = |a|; –в = |в| и ав

Значит, |a·в| = –ав = а·(–в) = |a|·|в| и свойство (2) доказано.

3) , где в ≠ 0.

4) |a + в| = |a| + |в| тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.

5) |a| + |в| = а + в тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.

6) |a – в| = |a| + |в| тогда и только тогда, когда ав ≤ 0.

7) Для а₁, а₂ … а_п справедливо

|a₁ + а₂ + … + а_п| ≤ |a₁| + |а₂| + … + |а_п|.

8) .

9) |a|² = а².

10) |a| – |в| ≥ 0 тогда и только тогда, когда а² – в² ≥ 0.

Г е о м е т р и ч е с к о е т о л к о в а н и е: каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного числа.

Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Это расстояние или длина отрезка рассматривается всегда как величина неотрицательная. Таким образом, геометрическая интерпретация модуля действительного числа а будет рассматриваться от начала отсчета до точки, изображающей число.

Решение упражнений.

№ 1. Упростить выражение .

Р е ш е н и е.

Дробь определена для любых значений а.

При а ≥ 0 .

При а .

Возможно другое решение.

Учитывая свойство |a|² = а² , имеем:

= |a| – 2.

О т в е т: а – 2 при а ≥ 0,

–(а + 2) при а

№ 2. Упростить выражение .

Р е ш е н и е.

Дробь определена при а ≠1. Нули подмодульных выражений: 0; 1. Данные точки делят числовую ось на интервалы (–∞; 0); [0; 1); [1; +∞).

Упростим дробь на каждом из интервалов:

(I) а ;

0 ≤ а .

а 1: .

О т в е т: при а

1 – а при 0 ≤ а

а – 1 при а 1.

Самостоятельное решение упражнений с комментариями.

Р е ш и т ь с а м о с т о я т е л ь н о.

1.

О т в е т: при т  (–∞; –2)  (–2; 0)  [3; +∞);

– при т  (0; 3).

2. № 18 а.

Решение примера.

Доказать, что данное выражение – целое число .

Р е ш е н и е.

= =

= .

Самостоятельное решение со взаимопроверкой по вариантам.

I в а р и а н т – № 18 (б).

II в а р и а н т – № 18 (в).

Домашнее задание. № 6, 8, 9. 19 (а–в).

Примечание: * Здесь и далее: см. Дидактический материал для учащихся.

Решение уравнений, содержащих модуль

Цели: закрепить изученный материал; познакомить учащихся с решением некоторых типов уравнений, содержащих модуль; упражнять в решении уравнений.

Фронтальный опрос.

1. Дайте определение модуля числа.

2. Дайте геометрическое истолкование модуля.

3. Может ли быть отрицательным значение суммы 2 + |x| ?

4. Может ли равняться нулю значение разности 2|x| – |x| ?

5. Как сравниваются два отрицательных числа?

Устная работа (полезные упражнения).

Раскрыть модуль:

1) |π – 3|; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) при а ≥ 3

4) ; 9) при в

5) ; 10) при т

Лекция.

Рассмотрим примеры решения уравнений, содержащих абсолютные величины.

1. Уравнения вида , где а ≥ 0. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений: f(x) = a и f(x) = –a.

Записывается это так:

f(x) = a

f(x) = –a

Пример 1. .

По определению модуля имеем совокупность уравнений

х – 8 = 5,

х – 8 = –5. Откуда х = 13, х = 3.

О т в е т: 3; 13.

Некоторые уравнения и неравенства с модулем решаются проще с помощью геометрических соображений.

|a – в| – это расстояние между а и в.

Решим предыдущее уравнение .

О т в е т: 3; 13.

Пример 2.

Рассмотрим уравнение .

Решить самостоятельно.  О т в е т: –0,5; 3,5.

Решение на основе геометрической интерпритации. (Рассматривать вместе с учителем.) На расстоянии 4 от точки 3 лежат две точки –1 и 7, а 2х есть одна из них. Следовательно, 2х = –1, или 2х = 7, х = –0,5. х = 3,5. О т в е т: –0,5; 3,5.

2. Уравнение вида f(|x|) = a. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух систем:

Пример 3.

Решите уравнение х² – |х| – 6 = 0. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1) 2)

Решим первую систему уравнений:

 х = 3.

Решим вторую систему уравнений:

 х = –3.

О т в е т: –3; 3.

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Если учащиеся знакомы с понятием четной и нечетной функции, можно предложить следующее решение.

Функция у = х² – |x| – 6 четна, поэтому решим уравнение

х² – |x| – 6 = 0 при х  0.

Тогда |x| = х и уравнение примет вид х² – x – 6 = 0, х = –2; х = 3, однако условию х  0 удовлетворяет лишь х = 3. Согласно определению четной функции имеем еще один корень х = –3.

О т в е т: –3; 3.

З а д а н и е. Решить самостоятельно:

х² + 3|x| = 10.

О т в е т: –2; 2.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Пример 4.

Решить уравнение |3х –10| = х – 2.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

О т в е т: 3; 4.

Пример 5.

Решить уравнение |2х – 3| = 3 – 2х.

Р е ш е н и е.

|2х – 3| = –(2х – 3).

Воспользуемся следующим фактом: |f(x)| = –f(x), если f(x)  0. Тогда данное уравнение равносильно неравенству

2х – 3  0, .

О т в е т: (–∞; ].

З а д а н и е. Решить самостоятельно:

|4 – 5х| = 5х – 4.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|.

Данное уравнение равносильно совокупности

Пример 6.

Решить уравнение |x –2| = |3 – х|.

Р е ш е н и е.

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

х – 2 = 3 – х (1) и х – 2 = –3 + х (2)

2х = 5 –2 = –3 – неверно

х = 2,5 уравнение не имеет решений.

О т в е т: 2,5.

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Можно решить данное уравнение, учитывая следующее свойство:

|a| = |в|  а² – в² = 0.

|x –2| = |3 – х|  (x –2)² – (3 – х)² = 0,

(х – 2 – 3 + х) (х – 2 + 3 – х) = 0,

(2х – 5) = 0,

х = 2,5.

О т в е т: 2,5.

Но проще других решение на числовой прямой, учитывая, что расстояния равны.

З а к р е п л е н и е.

З а д а н и е. решить самостоятельно:

|4x – 1| = |2х + 3|.

5. Решение уравнений вида |f₁(x)| + |f₂(x)| + … + |f_п(x)| = g(x).

Р е ш е н и е.

Для каждой из этих функций находят область определения, ее нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции f_i(x) (i = 1, 2 … п) на промежутки, в каждом из которых каждая их функций f_i(x) сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее решению.

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Можно предложить учащимся записать следующий алгоритм.

Пусть дано уравнение F(x) = 0, такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций |f₁(x)|, |f₂(x)|, … |f_п(x)|.

1. Решают каждое из уравнений f₁(x) = 0, f₂(x) =0, … f_п(x) = 0.

2. Вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков.

3. На каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков модуля и равносильное исходному уравнению на этом промежутке.

4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается.

5. Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.

6. Все корни уравнения F(x) = 0 получают, объединяя все корни, найденные на всех промежутках.

Пример 7.

2|x – 2| – 3|х + 4| = 1

Р е ш е н и е.

Для освобождения от знаков модуля разобьем числовую прямую на три промежутка.

Решение данного уравнения сводится к решению трех систем:

1. х = –15.

2. х = –1,8.

3. .

О т в е т: –15; –1,8.

З а д а н и е. Решить самостоятельно (двумя способами):

|x² – x| + |x – 2| = x² – 2.

О т в е т: [2; ∞).

Домашнее задание. Проработать теоретический материал, решить № 20 (а; б), 21 (а; б), 23 (12), 24 (г), 26 (б).

Решение неравенств, содержащих модуль

Цели: познакомить учащихся с решением некоторых типов неравенств, содержащих модуль; закрепить изученный материал в ходе решения упражнений.

Тест-задание (Приложение 2).

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Опираясь на повторенный материал, рассмотреть решение неравенства |х| ≤ а, где а 0.

б) |х| ≥ а, где а 0. Этому неравенству удовлетворяют точки двух лучей х ≥ а и х ≤ –а.

В тетрадях учащиеся оформляют запись, являющуюся справочным материалом по этой теме.

Последовательно продолжать отработку рассмотренного материала, лишь при полном усвоении перейти к решению более сложных упражнений, оставляя отработку более простых уравнений и неравенств для устного решения.

Объяснение нового материала.

1. Решение неравенств вида |f(x)| ≤ a и |f(x)| ≤ |g(x)|.

Напомним, что если а в, а 0, в 0, то а² в² верно и обратное утверждение, если а² в² , а 0, в 0, то а в.

Из этих свойств следует, что неравенства

|f(x)| ≤ a (а ≥ 0; при а

|f(x)| ≤ |g(x)| – можно заменить равносильными им неравенствами f ²(x) – а² ≤ 0 и f ²(x) – g²(x) ≤ 0.

Аналогичные рассуждения верны и для неравенств

|f(x)| ≥ a , где а ≥ 0, и |f(x)| ≥ |g(x)|.

Заметим, что неравенство |f(x)| ≥ a , где а х их области определения функции f.

Н а п р и м е р 1.

|х² – 5х| ≤ 6.

Данное неравенство равносильно неравенству

(х² – 5х – 6)(х² – 5х + 6) ≤ 0.

Решаем методом интервалов.

О т в е т: –1 ≤ х ≤ 2; 3 ≤ х ≤ 6.

З а д а н и е. решить самостоятельно: |х² + х –3| ≤ |2х² + х –2|.

О т в е т: (–∞; –1]  ; ∞).

2. Решение неравенства вида |f(x)| ≤ g(x) и |f(x)| ≥ g(x).

I с п о с о б II с п о с о б

Неравенство равносильно системе неравенств |f(x)| ≤ g(x) 

и или

Аналогичные рассуждения верны и для неравенства |f(x)| ≥ g(x).

Неравенство |f(x)| ≥ g(x) выполняется для всех х из области определения функции f, при которых g(x)

Если же g(x) ≥ 0, то f(x) ≥ g(x)  f ²(x) – g²(x) ≥ 0.

Итак, при решении неравенства |f(x)| ≥ g(x) необходимо рассматривать два условия.

Пример 2.

|х² – х|  х + 2 

Решением неравенства (1) является .

Решением исходного неравенства является промежуток

.

О т в е т: .

З а д а н и е. Решить самостоятельно:

|5х – 6|  х + 1.

или

О т в е т: .

Если под знаком модуля стоит более сложная функция, чем квадратный трехчлен, и так называемое «раскрытие» модуля сопряжено с техническими трудностями, тогда удобно пользоваться равносильными неравенствами.

Пусть на некотором множестве Х определены функции f(x) и g(x). Тогда на этом множестве справедливы следующие соотношения.

(1) |f(x)| g(x)   – g(x) f(x) g(x).

(2) |f(x)|  g(x)  .

(3) |f(x)|  |g(x)|  f ²(x)  g²(x)  (f(x) – g(x)) (f(x) + g(x))  0

Пример 6.

Решить неравенство |х² – 2х|  х – 1

Р е ш е н и е.

|х² – 2х|  х – 1  

(1) решением первого является отрезок

х 

(2) решением второго – объединение двух лучей

х  .

Находим пересечение множеств.

О т в е т:

З а д а н и е. Самостоятельно решить неравенство 2|х² – 1|  х + 1.

Р е ш е н и е.

2|х² – 1|  х + 1  

(1) х  (–∞; –1)  .

(2) х  .

Объединяя полученные множества решений неравенств, находим решение совокупности.

О т в е т: х  (–∞; –1)   .

3. Решение неравенств, содержащих несколько модулей.

f₁(x) + f₂(x) + … f_п(x)  а ( ;  ; )

и f₁(x) + f₂(x) + … f_п(x)  g(x) ( ;  ; )

Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были либо положительными, либо отрицательными. Тогда на каждом из таких промежутков неравенство можно записать без знака модуля. Данный метод называется методом интервалов.

З а д а н и е. Решить неравенство |х – 4| + |х + 1|  7.

Р е ш е н и е.

Нули подмодульных выражений делят числовую ось на три промежутка х  –1; –1  х  4; х  4.

получаем совокупность трех систем неравенств



х  (–2; –1)  –1; 4)  4; 5)  х  (–2; 5).

О т в е т: (–2; 5).

З а д а н и е. Самостоятельно решить неравенство |х – 1| + |х – 2| х + 3.

Р е ш е н и е.

Перепишем неравенство в виде:

|х – 1|  х + 3– |х – 2| 

  

  

О т в е т: х  (–∞; 0)  (6; +∞).

Решение неравенств.

1. Р е ш и т е н е р а в е н с т в о

Р е ш е н и е.

Рассмотрим функцию f(x) =

Найдем нули функции:

|х² – 3| = 1, откуда х₁ = 2; х₂ = –2; х₃ = ; х₄ = – .

Далее находим точки разрыва:

|2х² – х| – 1  0, х , х  1.

Нанесем на числовую прямую точки разрыва и нули функции, которые разобьют ее на семь промежутков, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак.

О т в е т: (–1; –2  – ;   (1;   (2; +∞).

2. Р е ш и т е с а м о с т о я т е л ь н о .

О т в е т: (–∞; 1].

Домашнее задание. № 34 (а; г); 36 (б; в); 38 (3); 40 (4); 41 (2).

Решение уравнений и неравенств,
содержащих модуль

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль в модуле. Решение систем уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Цели: продолжить решение задач по изучаемой теме; рассмотреть решение более сложных упражнений; проверить усвоение учащимися изученного материала.

Решение упражнений.

Пример 1.

Решить уравнение ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Решение.

По определению абсолютной величины, имеем:

Решим первое уравнение.

(1) ||| x |–2| –1| = 4 

|x| – 2 = 5; |x| = 7; х = 7.

Решим второе уравнение.

(2) |||x| –2| –1| = 0. Тогда ||x| –2| = 1. Откуда |x| –2 = 1 или |x| = 3 и |x| = 1, откуда х = 3; х = 1.

О т в е т: 1; 3; 7.

Пример 2.

Решить неравенство ||x³ + x – 3| – 5|  x³ – x + 8.

Воспользуемся соотношением (1):

||x³ + x – 3| – 5|  x³ – x + 8 

 – x³ + x – 8  |x³ + x – 3| – 5  x³ – x + 8 

 – x³ + x – 3 |x³ + x – 3|  x³ – x + 13 

 

  

 x  . 

О т в е т:  .

Метод введения новой переменной.

Пример 3.

Решить уравнение:

1) |2 – |x + 1| = 3.

Р е ш е н и е.

Пусть |x + 1| = y, тогда |2 – y| = 3 



Вернемся к замене:

(1) |x + 1| = –1 – нет решений.

(2) |x + 1| = 5 

О т в е т: –6; 4.

З а д а н и е. Решить самостоятельно:

(х² – 5х + 6)² – 5|х² – 5х + 6| + 6 = 0.

О т в е т: 1; 4; .

Решение систем, содержащих модуль.

Пример 4.

Решить систему

Р е ш е н и е.

1. Аналитическое решение.

Сложив уравнения, получим

2|х – 1| = 4, |х – 1| = 2  х = 3, х = –1.

При х = 3, имеем 2 + |у – 2| = 3  у = 1, у = 3.

При х = –1, имеем 2 + |у – 2| = 3  у = 1, у = 3.

О т в е т: (3; 1); (3; 3); (–1; 1); (–1; 3).

Можно дать графическое решение.

О т в е т: (3; 1); (3; 3); (–1; 1); (–1; 3).

Пример 5.

Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е.

(1) |х² + 5х|  6   

 –6 x

(2) |х + 1|  2. Имеем

–2  х + 1  2;

–3  х  1.

Находим решение заданной системы:

 –3  х  1

О т в е т: –3; 1.

Проверка усвоенного материала.

Самостоятельная работа по индивидуальным карточкам (Приложение 1).

Домашнее задание. № 28 (в; д), 44, 33 (б).

Графики функций, содержащих модуль

Демонстрация приемов построения графиков на характерных примерах и выполнение упражнений.

Построение графиков функций,
содержащих модуль

Построение графиков функций вида у = f(|x|); у = |f(x)|; у = |f(|x|)|; у = |f₁(x)| + |f₂(x)| + … + |f_n(x)|.

Цели: научить учащихся строить графики, содержащие модуль; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений.

* Когда в «стандартные» функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы, включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения графиков элементарных функций, а также твердо знать и понимать определение модуля числа.

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Для построения всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.

Целесообразно рассматривать построение графиков в следующей последовательности:

у = f(|x|); у = |f(x)|; у = |f(|x|)|; у = |f(x)| + |g (x)| + …; |у| = f(x); |у| = |f(x)|.

Построение графиков следует осуществлять двумя способами:

1) на основании определения модуля;

2) на основании правил (алгоритмов) геометрического преобразования графиков функций.

Построение графика функции у = f(|x|).

у = f(|x|) =

Следовательно, график функции у = f(|x|) состоит из двух графиков: у = f(x) – в правой полуплоскости, у = f(–x) – в левой полуплоскости.

Исходя из этого, можно сформулировать правило (алгоритм).

График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x) следующим образом: при х  0 график сохраняется, а при х ОУ.

Пример.

Построить график функции у = 2 |x| – 2.

П о с т р о е н и е.

1-й с п о с о б.

у = 2 |x| – 2 

2-й с п о с о б.

а) Строим график функции у = 2x – 2 для х 0.

б) Достраиваем его левую часть для х  0, симметрично построенной относительно оси ОУ.

З а д а н и е. Построить график функции:

у = |x| – 6 (8 класс);

у = х² – |x| – 6 (9 класс).

График функции у = |f(x)|.

|f(x)| =

Отсюда вытекает алгоритм построения графиков функции у = |f(x)|.

а) Строим график функции f(x).

б) Часть графика у = f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.

Пример.

Построить график функции у = |х – 2|.

1. П о с т р о е н и е.

а) Строим график функции у = х – 2.

б) График нижней полуплоскости отображаем вверх симметрично относительно оси ОХ.

2. у = |х – 2| 

З а д а н и е. Самостоятельно построить график функции:

y = |x – 6| (для 8 класса);

y = |x² – x – 6| (для 9 класса).

Построение графика функции у = |f(|x|)|.

П р а в и л о (алгоритм) п о с т р о е н и я.

Чтобы построить график функции у = |f(|x|)|, надо сначала построить график функции у = f(x) при х 0, затем при х ОУ, а затем на интервалах, где f(|x|) f(|x|) относительно оси ОХ.

Пример.

Построить график функции у = |1 – |х||.

П о с т р о е н и е.

1. у = |1 – |х||  

2. 1) Строим график функции у = 1 – х.

2) График функции у = 1 – |х|, получаем из графика функции у = 1 – х отражением симметрично (при х  0) относительно оси ОУ.

3) График функции у = |1 – |х||, получаем из графика функции у = 1 – |х| отображением симметрично оси ОХ нижней части графика.

З а д а н и е. Самостоятельно построить график функции:

y = ||x| – 6| (для 8 класса);

y = |x² – |x| – 6| (для 9 класса).

Построение графиков вида у = |f₁(x)| + |f₂(x)| + … + |f_n(x)|.

При построении графиков функций такого рода наиболее распространенным является метод, при котором знак модуля раскрывается на основании самого определения модуля.

Как правило, область допустимых значений данной функции разбивают на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве функцию записывают без знака модуля и строят график. Объединение множества решений, найденных на всех частях области допустимых значений функции, составляет множество всех точек графика заданной функции.

Пример.

Построить график функции у = |х – 1| + |х – 3|.

Р е ш е н и е. Точки х = 1 и х = 3 разбивают числовую ось на три промежутка, для каждого запишем функцию: 1) при х  1 имеем у = 4 – 2х; 2) при 1  х  3 имеем у = 2; 3) при х  3 имеем у = 2х – 4.

З а д а н и е. Самостоятельно построить график функции:

у = |х + 2| + |х – 1| – |х – 3|.

Метод вершин

Графиком непрерывной кусочно-линейной функции является ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями.

Пример 1.

Построить график функции у = |х| – |х – 1|.

А л г о р и т м п о с т р о е н и я:

1) Найдем нули каждого подмодульного выражения х = 0 и х = 1.

2) Составим таблицу, в которой кроме 0 и 1 записываем по одному целому справа и слева от этих значений.

х	–1	0	1	2
у	–1	–1	1	1

3) Наносим эти точки на координатную плоскость и соединяем последовательно (при построении графика допущена ошибка – отсутствует точка (0;-1))

Точки перелома и есть вершины ломаной.

Пример 2.

Построить график функции у = 3х + 1 – |х + 1| + 2|х|.

Действуем по алгоритму.

х	–2	–1	0	1
у	–2	0	0	4

Наносим точки на координатную плоскость и соединяем соседние точки отрезками.

Можно показать школьникам еще один метод построения графиков кусочно-линейных функций. График будет строиться путем сложения ординат графиков функций у = |х + 1| и у = |х – 2|, соответствующих одним и тем же абсциссам.

З а д а н и е. Самостоятельно построить график функции:

у = |х + 1| – |х – 2|.

Домашнее задание. № 48 (15 – любых); 51 (2 – любых).

Построение графиков вида: |у| = f(x) и |у| = |f(x)|.
Решение уравнений и неравенств графическим способом

Цели: научить учащихся строить графики вида |у| = f(x) и |у| = |f(x)|; рассмотреть графический способ решения уравнений и неравенств, содержащих модуль; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений.

Самостоятельная работа по карточкам (Приложение 7).

Объяснение нового материала.

Построение графиков вида |у| = f(x).

Учитывая, что в формуле |у| = f(x), f(x)  0, и на основании определения модуля |у| =

Перепишем формулу |у| = f(x) в виде у =  f(x), где f(x)  0.

Исходя из этого, сформулируем правило-алгоритм.

Для построения графиков вида |у| = f(x) достаточно построить график функции у = f(x) для тех х из области определения, при которых f(x)  0, и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.

Таким образом, график зависимости |у| = f(x) состоит из графиков двух функций: у = f(x) и у = –f(x).

Построить график функции |у| = 1 – х.

Р е ш е н и е.

1-й способ.

|у| = 1 – х 

2-й способ.

1) Строим график функции у = 1 – х.

2) Отражаем ту часть графика, которая находится выше оси абсцисс симметрично относительно оси абсцисс.

З а д а н и е. Самостоятельно решить:

1) |у| = 1;

2) |у| = х – 1;

3) |у| = 2х + 3 (для 8 классов);

4) |у| = х² – 5х + 6 (для 9 классов).

Построение графиков вида |у| = |f(x)|.

Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполняем построение сначала графика у = |f(x)|, а затем множество точек, координаты которых удовлетворяют условию |у| = |f(x)|.

П о р я д о к п о с т р о е н и я.

1. Строим график функции у = f(x).

2. Часть графика f(x) ОХ.

3. Полученный график симметрично отражаем относительно оси ОХ.

Пример.

Построить график уравнения |у| = |1 – х|.

Р е ш е н и е.

1-й способ.

|у| = |1 – х| 

2-й способ. 1. Строим график функции у = 1 – х. 2. График у = |1 – х| получаем из графика у = 1 – х, симметрично отобразив ту часть, лежащую под осью ОХ, относительно оси ОХ. 3. График |у| = |1 – х| получаем из графика у = |1 – х|, отобразив последний симметрично относительно оси ОХ.

З а д а н и е. Самостоятельно решить:

1) |у| = |х|;

2) |у – 1| = |х + 2|;

3) |у| = |х – 3| (для 8 классов);

4) |у| = |х² – х – 6| (для 9 классов);

5) |у| = 1 – |х|.

Решение уравнений и неравенств графическим способом.

Решите уравнение |х – 1| + 2х –5 = 0.

Р е ш е н и е. Решим уравнение графически. Представим уравнение в виде: |х – 1| = 5 – 2х. Строим два графика у = |х – 1| и у = –2х + 5. Графики функций пересекаются в точке х = 2. х = 2 – корень исходного уравнения. О т в е т: 2. З а д а н и е. Самостоятельно решить: |5 – |x|| = 3. Решить неравенство 3|x| – 2  2 – x Р е ш е н и е. Строим график функции у = 3|х| – 2 и у = 2 – х. Решением данного неравенства является промежуток (–2; 1). О т в е т: (–2; 1).

Решение уравнений.

1. Решить уравнение |х + 6| = |х –2| разными способами.

(Четыре ученика работают у доски.)

1) Используя стандартный алгоритм:

|х + 6| = |х –2| 

О т в е т: –2.

2) Решаем, опираясь на геометрические соображения.

|х + 6| = |х –2|

На равном расстоянии от точки –6 и 2 лежит единственная точка х = –2.

О т в е т: –2.

3) Возведением в квадрат.

|х + 6| = |х –2|;

(х + 6)² = (х – 2)²;

(х + 6)² – (х – 2)² = 0;

(х + 6 – х + 2) (х + 6 + х – 2) = 0;

8 (2х + 4) = 0,

х = –2.

О т в е т: –2.

4) Графическое решение. Построим графики (I) у = |х + 6| (II) у = |х –2| О т в е т: –2.

2. Решить уравнение |х + 1| – |х| + 3|х – 1| – 2|х – 2| – х – 2 = 0.

Для этого построим график функции:

у = |х + 1| – |х| + 3|х – 1| – 2|х – 2| – х – 2 = 0.

Строим, используя метод вершин.

Заполним таблицу:

х	–2	–1	0	1	2	3
у	0	–2	–2	–4	0	0

Решаем уравнение: у = 0.

О т в е т: х = –2; х  2.

Домашнее задание. 1) № 60 (2; 4; 7; 8); 2) подготовиться к проверочной работе.

Проверочная работа

Цель: выяснить степень усвоения учащимися программы курсов.

В а р и а н т I

1. Постройте график функции у = |2х – 1| – 3х.

2. Решите уравнение:

а) |3х + 5| = 6;

б) |х + 1| = 3(2 – х);

в) |2х + 1| + |х + 3| = 4.

3. Решите неравенства:

а) |1 – 2х|  3; в) |х – 1|  |x|.

б) |х² – 2х|  х;

В а р и а н т II

1. Постройте график функции у = .

2. Решите уравнение:

а) |х| = –х – 2;

б) х² + |х| – 2 = 0;

в) |х² – 4| + |х – 2| = 2.

3. Решите неравенства:

а) |х² – 2х – 3|  4;

б) х|3х – 1|  3;

в) |х + 1| – 3|х – 2|  x + 4.

Домашнее задание. Выполнить творческие задания из Приложения 9 на альбомных листах.

Приложение 1

Карточки-задания для самостоятельной работы

Уравнения и неравенства с модулем

Вариант I

1. |5x + 3| = 1.

2. |2x + 5| + |2x – 3| = 8.

3. |x² + 2x| – |2 – x| = |x² – x|.

4. 1 ≤ |3x – 2| ≤ 2.

5. x² – 2|x| – 8 ≥ 0.

6. |(3x + 1) (x – 3)^–1|

Вариант II

1. |2x – 3| = 5.

2. |x – 3| = |x| – 3.

3. 2|x + 6| – |x| + |x – 6| = 18.

4. |x² +4x + 3| x + 2.

5. 2x² – |x| – 1 ≥ 0.

6. |(x² – 5x + 4) (x² – 4)^–1| ≤ 1.

Ответы

Вариант I 1. х = , х = . 2. –2,5 ≤ х ≤ 1,5. 3. х = . 4. 0 ≤ х ≤ , 1 ≤ х ≤ . 5. х ≥ 4, х ≤ –4. 6. х Вариант II 1. х = 4, х = –1. 2. х ≥ 3. 3. х = –12, 0 ≤ х ≤ 6. 4. х х х 0. 5. х ≥ 1, х ≤ –1. 6. х ≥ 2,5, 0 ≤ х ≤ 1,6.

Тест-задание

Решите уравнения и неравенства

А. 1) |х|² – 4 = 0. О т в е т:

2) |х|² – 4

3) |х|² – 4 0. О т в е т:

Б. 1) |х|² – 3|х| ≥ 0. О т в е т:

2) |х|² – 3|х| 0. О т в е т:

3) |х|² – 3|х| ≤ 0. О т в е т:

4) |х|² – 3|х|

В. 1) х² – 2х + |х| = 0. О т в е т:

2) х² – 2х + |х|

3) х² – 2х + |х| 0. О т в е т:

Г. 1) |х² – 2х| + х = 0. О т в е т:

2) |х² – 2х| + х

3) |х² – 2х| + х 0. О т в е т:

Д. 1) х² + = 0. О т в е т:

2) х² +

3) х² + 0. О т в е т:

Е. 1) = 5. О т в е т:

2) = 5. О т в е т:

3) = 5. О т в е т:

4) = 5. О т в е т:

Ж. 1) (|х| – 2)² = 0. О т в е т:

2) (|х| + 2)² = 0. О т в е т:

3) (|х| – 2)² = 1. О т в е т:

4) (|х| + 2)² = 3. О т в е т:

Задания для подготовки к тестированию
по математике

Уравнения и неравенства, содержащие переменную
под знаком модуля

№	Задания	Варианты ответов
1	2	3
1	Корни уравнения |x|·(x + 3) = –2	1) ; – 2; –1. 2) . 3) –1; –2. 4) ; –1; –2. 5) .
2	Корни уравнения х2 + |x – 1| = 2	1) ; . 2) ; ; 3) ; ; 4) ; ; 5) 0,5; –1,5.
3	Уравнение |x + 4| + |x – 10| = а имеет только два корня, если	1) а 14; 2) 0 ≤ а ≤ 14; 3) а = 10; 4) а = 6; 5) а = 14.
4	Уравнение |x – 10| + |x + 2| = а имеет бесконечно много корней, если	1) 0 а ≤ 10; 2) а 12; 3) а = 12; 4) а = 10; 5) а 0.
5	Сумма корней уравнения |x + 1| = 2|x – 2| равна	1) 4; 2) 5; 3) –2; 4) 6; 5) 7.
6	Произведение корней уравнения х2 – 12 = |x| равно	1) –16; 2) 144; 3) –12; 4) –9; 5) –144.
7	Сумма корней уравнения равна	1) 7; 2) 8; 3) 4) ; 5) 1.
8	Сумма корней уравнения |2x2 – 3x + 4| = |3x – 2| + 2x2 + + 2 на отрезке [–5; 5] равна	1) 11; 2) 6; 3) 4; 4) 0; 5) 3.

1	2	3
9	Число целых корней уравнения |2x2 – 3x + 4| = |3x – 2| + 2x2 + 2 на отрезке [–5; 5] равно	1) 11; 2) 6; 3) 4; 4) 0; 5) 3.
10	Сумма целых корней уравнения |x + 3| + |x – 2| = = а равна –3, если	1) а а ≤ 6; 3) а = 1; 4) а = 5; 5) а 6.
11	Решение неравенства |3 – 2x| 2 имеет вид	1) х  (–∞; 0,5)  (2,5; +∞); 2) х  (2,5; +∞); 3) х  (0,5; 2,5); 4) х  (–∞; –0,5); 5) х  (2; +∞).
12	Решение неравенства имеет вид	1) –1 х х 3) х х х
13	Сумма целых решений неравенства |х2 + 5x|	1) –10; 2) –15; 3) –20; 4) 10; 5) –5.
14	Площадь фигуры, заданной неравенством |х – 1| + |у| ≤ 10 равна	1) 100; 2) 200; 3) 400; 4) 250; 5) 150.
15	Число целых решений неравенства |х2 – 3x|	1) 6; 2) 5; 3) 7; 4) 9; 5) 0.
16	Площадь фигуры, заданной неравенством |х – 1| + |у – 1| ≤ 8	1) 64; 2) 128; 3) 32; 4) 16; 5) 256.

Геометрическая интерпретация уравнений вида

|x – a| + |x – в| = c и |x – a| – |x – в| = c

Уравнения |x – a| + |x – в| = c и |x – a| – |x – в| = c имеют простую геометрическую интерпретацию.

Рассмотрим уравнение |x – 2| + |x + 3| = 7.

Решить это уравнение – значит найти все такие точки на числовой оси ОХ, для каждой из которых сумма расстояний до точек с координатами (2) и (–3) равна 7.

Внутри отрезка [–3; 2] таких точек нет, так как длина отрезка |2 – (–3)| = 5

Легко видеть, что эти точки (–4) и (3). Следовательно, х = –4, х = 3 – корни уравнения.

В уравнении |x – 2| + |x + 3| = 5 длина отрезка [–3; 2] равна 5. Поэтому любое значение х из этого отрезка будет решением уравнения |x – 2| + |x + 3| = 5.

В уравнении |x – 2| + |x + 3| = 4 длина отрезка [–3; 2] больше 4, поэтому уравнение решения не имеет.

Вообще, если в уравнении |x – a| + |x – в| = c , |а – в| c, то решение надо искать вне отрезка [а; в], а если |а – в| = c , то отрезок [а; в] будет решением уравнения; если |а – в| c , то уравнение решений иметь не будет.

Решим уравнение |x – 5| – |x – 2| = 3.

Чтобы решить его, нужно на числовой оси ОХ найти все такие точки, для каждой из которых разность расстояний от нее до точки с координатой (5) и расстояние от нее до точки с координатой (2) равнялось 3.

Длина отрезка |5 – 2| = 3, поэтому любая точка (х) левее точки (2) будет решением уравнения, т. е. х  (–∞; 2].

Решением уравнения |x – 2| – |x – 5| = 3 будет любая точка (х) правее точки (5) вместе с этой точкой, т. е. х  [5; +∞).

Вообще, если |а – в| = c, то при а в, х  [в; +∞), при а в, х  (–∞; в]. Если |а – в| c, то решение лежит внутри отрезка [а; в]. Если |а – в| c, то решений нет.

Карточки-задания на построение графиков,
содержащих модуль

Постройте графики функций.

у = –|x| у = –|x + 1| у = ||x + 1| – 1|

Постройте графики функций.

у = –|x –1| у = 1 – |x + 1| у = |1 +|x + 1||

Постройте графики функций.

ГРАФИКИ КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
МОДУЛИ

1. График функции у = |f(x)| получается из графика у = f(x) следующим образом: часть графика у = f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отражается симметрично относительно оси ОХ.

2. График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x) следующим образом: при х ≥ 0 график у = f(x) сохраняется, а при х ОУ.

Рассмотрим следующие примеры.

Построить графики функций:

а) у = х² – |х| – 6; д) у = х |х – 1| – 6;

б) у = |х² – х – 6|; е) у = х² + 2х – ;

в) у = |х² – |х| – 6|; ж) .

г) у = |х² – |х| – 6| – 1;

Р е ш е н и е.

а) Краткий план построения: .

Построение графика функции у = х² – х – 6 мы подробно разобрали выше, поэтому воспользуемся результатами.

1) Строим график функции у = х² – х – 6 (I).

2) График у = х² – |х| – 6 (II) получаем из графика у = х² – х – 6 отражением симметрично оси ОУ части графика при х ≥ 0.

б) у = |х² – х – 6|.

Краткий план построения .

1) Строим график функции у = х² – х – 6 (I).

2) график функции у = |х² – х – 6| (II) получаем из графика у = х² – х – 6 (I) отражением симметрично относительно оси ОХ части графика, расположенной ниже оси ОХ.

в) у = |х² – |х| – 6|.

Краткий план построения .

1) Строим график функции у = х² – х – 6 (I).

2) График у = х² – |х| – 6 (II) получаем из графика (I) отражением симметрично оси ОУ части графика х ≥ 0.

3) График у = |х² – |х| – 6| (III) получаем из графика (II) отражением симметрично относительно оси ОХ части графика, расположенной ниже оси ОХ.

г) у = |х² – |х| – 6| – 1.

Краткий план построения

.

1) Строим график функции у = х² – х – 6 (I).

2) График у = х² – |х| – 6 (II) получаем из графика у = х² – х – 6 (I) отражением симметрично оси ОУ части графика х ≥ 0.

3) график у = |х² – |х| – 6| (III) получаем из графика у = х² – |х| – 6 (II) отражением симметрично относительно оси ОХ части графика, расположенной ниже оси ОХ.

4) график у = |х² – |х| – 6| – 1 (IV) получаем из графика у = |х² – |х| – 6| (III) сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси ОУ.

д) у = х |х – 1| – 6 

у =

(1) Построим график у = х² – х – 6 при х  1,

(2) построим график у = –х² + х – 6 при х  1.

е) у = х² + 2х – .

Преобразуем выражение, задающее функцию

у = х² + 2х – ;

у = х² + 2х – |2x + 4| 

ж) у = у = 

у = у = (1) у = х2 – х – 2, х  –1 и х  5 у = х2 – 2·0,5х + 0,25 – 0,25 – 2 = = (х – 0,5)2 – 2,25. Краткий план построения Строим график функции у = х2. Затем получаем график функции у = (х – 0,5)2 – 2,25 из графика у = х2 сдвигом на 0,5 единиц вправо вдоль оси ОХ и на 2,25 единиц вниз по оси ОУ.

Оставляем те части графика, которые удовлетворяют условию х  –1 и х  5.

(2) у = –х² + х + 2, –1 х

у = –(х² – х – 2) = –(х – 0,5)² + 2,25.

График функции у = –х² + х + 2 получаем из графика функции у = (х – 0,5)² – 2,25, симметрично отразив последний относительно оси ОХ.

Неравенства с двумя переменными,
содержащие модуль, на координатной плоскости

Цели: научить изображать на плоскости фигуры, задаваемые неравенствами, содержащими модуль; расширить представления учащихся о взаимосвязи между алгебраическими соотношениями и их геометрическими образами на координатной плоскости.

Необходимо использовать рассматриваемый материал, включающий эстетический компонент, для развития интереса к предмету, а также для более глубокого освоения базовых умений. Кроме того, важно, чтобы учащимся были предложены задания, аппелирующие к воображению, фантазии.

18) у 3|х| – 2.

Строим график функции у = 3|х| – 2. Искомая область находится «над» графиком этой функции.

19) у х| – 2|.

20) |у| ≥ 3х – 2.

Заметим, что неравенство |у| ≥ f(х) равносильно совокупности двух неравенств

Итак,

Искомая область изображена на рисунке.

21) |у| х| – 2.

Учитывая, что неравенство |у| f(х) равносильно системе неравенств получаем систему

Искомая область изображена на рисунке.

Можно рассуждать иначе. Заметив, что при замене х на –х и у на –у неравенство не меняется, сначала построим часть искомой области в I четверти, т. е. у х – 2, где х ≥ 0, у ≥ 0, затем симметрично отобразим эту часть в остальные четверти.

Метод интервалов считается универсальным в сложных случаях, наиболее эффективным.

22) (|x| – 1)(у + 2)

Получаем искомую область, она симметрична относительно оси ОУ.

23. ху ≤ 2.

Сначала строим график уравнения ху = 2. Затем, применяя метод «интервалов», находим нужную область.

24) х|у| ≥ 2.

Из данного неравенства следует, что х 0. Тогда , где х 0, что равносильно совокупности

25) |xy|

Сначала строим график уравнения |xy| = 2, т. е. Затем применяем метод «интервалов» и получаем нужную область.

28. |у| ≥ x² – 4x + 3  .

29. |у| x² – 4x + 3|  .

30) х² ≥ у²  |x| ≥ |y|.

Строим график уравнения |у| = |х| и пользуемся методом «интервалов».

31) |x| + |у| = 2.

Сначала строим график в I четверти: х + у = 2, где х ≥ 0, у ≥ 0. Затем достраиваем график, пользуясь симметрией, относительно осей ОХ и ОУ. Получаем квадрат с вершинами (2; 0) , (0; 2), (–2; 0), (0; –2).

32) |x – 3| + |у| = 1.

График уравнения |x – 3| + |у| = 1 получается из графика уравнения |x| + |у| = 1 параллельным переносом вправо на три единицы, т. е. на вектор (3; 0).

33) |у| – |x| = 3.

Так как график симметричен относительно осей ОХ и ОУ, то сначала строим его часть у – х = 3, где х ≥ 0, у ≥ 0 (в I четверти). Затем отображаем симметрично относительно осей координат.

Можно переписать уравнение в виде |у| = |x| + 3 и сделать вывод, что |у| ≥ 3, т. е. у ≤ –3 или у ≥ 3, что согласуется с рисунком.

Дидактический материал для учащихся

Упражнения.

Упростить выражения:

№ 1. .

№ 2. .

№ 3. .

№ 4. .

№ 5. .

№ 6. .

№ 7*. .

№ 8. .

№ 9. .

№ 10. .

№ 11. .

№ 12. .

№ 13. .

№ 14. .

№ 15. .

№ 16. .

№ 17. .

№ 18. Доказать, что данное выражение – целое число.

а) ;

б) ;

в) .

№ 19. Вычислите:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

№ 20. Решить уравнения:

а) |x – 3| = 5. О т в е т: {–2; 8}.

б) |x + 4| + 1 = 0. О т в е т: .

в) |3x + 2| – 4 = 0. О т в е т: .

г) . О т в е т: 2.

д) ||2x – 5| – 3| = 2. О т в е т: {0; 2; 3; 5}.

е) |x² – 2х –1| = 2. О т в е т: {–1; 1; 3}.

№ 21. Решить уравнения:

а) |x + 5| = 3. О т в е т: {–8; –2}.

б) ||x – 2| – 3| = 1. О т в е т: {–2; 0; 4; 6}.

в) |4 – 3x| – 2 = 0. О т в е т: .

г) ||3x + 6| + 1| = 5. О т в е т: .

д) |x² + 3х – 4| = 6. О т в е т: {–5; 2; –1; –2}.

№ 22. Решить уравнения:

а) |x – 2| + |x + 3| = 7. О т в е т: {–4; 3}.

б) |x – 5| – |x – 2| = 3. О т в е т: 2; +∞).

в) 3|x – 1| – 2|x – 2| + |x + 3| = 2. О т в е т: –3; 1].

г) |x| + 3|x + 2| = 2|x + 1|. О т в е т: –2.

№ 23. Решить уравнения:

1) |x + 3| + |x – 3| = 6.

2) |x – 1| – |x + 1| = 3.

3) |5 + x| – |8 – x| = 13.

4) |x – 3| + |x – 1| = 3.

5) |x – 1| + |x| = 9.

6) |x + 6| + |x + 4| = 5.

№ 24. Упражнения.

1) |x| = х.

2) |x – 1| = 2.

3) |2x + 5| = 7.

4) |2x + 3| + |2x – 3| = 6.

5) |x – 4| – |x + 4| = 8.

6) |2x + 4| = 3x + 2.

7) |2x – 1| = 3.

8) |x + 4| – |x – 3| = 1.

9) |x – 1| + |x – 2| = 1.

10) |x – 1| + |x + 2| = 4 + |x – 3|.

11) ||x + 1| – |x – 3|| = |x|.

12) ||x + 2| – |x – 6|| = |x|.

13) |2 – |1 – |x||| = 1.

14) |x – 7| = |x + 9|.

15) ||3 – 2x| – 1| = 2|x|.

16) |x + 2| + |x – 3| = 5.

17) х – |x – 1| = 1.

№ 25. Решить уравнения:

а) |2x – 3| = 3 – 2х. О т в е т: .

б) |4 – 5x| = 5х – 4. О т в е т: .

в) |3x – 5| = 5 – 3х. О т в е т: .

г) |7 – 4x| = 7 – 4х. О т в е т: .

№ 26. Решить уравнения:

а) |5x – 13| – |6 – 5x| = 7. О т в е т: .

б) |3x – 8| – |3x – 2| = 6. О т в е т: х ≤ .

в) |16 – 9x| – |9x – 5| = 11. О т в е т .

г) |7x – 12| – |7x – 1| = 1. О т в е т: .

№ 27. Решить уравнения:

а) х² – 6|x| – 2 = 0. О т в е т: .

б) х² – 4|x| – 1 = 0. О т в е т: .

в) . О т в е т: 1.

№ 28. Решить уравнения:

а) |x³ + 3х² + х| = –х + х³. О т в е т: .

б) |3x – 1| = 4 – 2х. О т в е т: {–3; 1).

в) |х² – 4| = х² – 4. О т в е т: х ≤ –2; х ≥ 2.

г) |x + 2| = 2|3 – x|. О т в е т: .

д) |x + 3| = х² + х –6. О т в е т: ±3.

е) |x² + х – 3| = х. О т в е т: .

№ 29. Решить уравнения:

а) . О т в е т: .

б) |x² + х + 1| = 1. О т в е т: –1; 0.

в) . О т в е т: .

г) |x² – х – 2| = |2x² – х – 1|. О т в е т: .

д) |3 – |2 – |1 – x||| = 2. О т в е т: –6; –2; 0; 2; 4; 8.

е) |3x – 1| + 2х = 4. О т в е т: –3; 1.

ж) . О т в е т: .

з) |x² – 3х| = x² – 2х. О т в е т: ; 0.

и) ||х| – 2| = 1 – 2х. О т в е т: .

№ 30. Решить уравнения:

а) |5 – 3х| = 2x + 1. О т в е т: 0,8; 6.

б) |3x – 8| – |3x – 2| = 6. О т в е т: .

в) |2x + 7| – 2|3x – 1| = 4х + 1. О т в е т: 1.

г) + |x – 3| = |x – 4|. О т в е т: 3.

д) . О т в е т: 1; 1 + .

№ 31. Решить уравнения:

1) |3x² + 7х – 3| = 3x² + 3х – 1. О т в е т: 0,5; –2; .

2) |x² – 4х – 1| = x² + 6х + 1. О т в е т: 0; –0,2.

3) |3x² + х – 7| = 3x² – 3х – 1. О т в е т: 1,5; –1; .

4)* . О т в е т: {–2; 2}.

№ 32. Решить уравнения:

а) х² – 7|x| + 6 = 0;

б) х² – 4|x| – 21 = 0;

в) (х – 2)² – 8|х – 2| + 15 = 0;

г) (х + 3)² – 2х – 5|х – 1| + 5 = 0;

д) х² – |x – 5| = 5;

е) х² + |x + 4| = 4;

ж) х² + 4х + |x + 3| + 3 = 0;

з) х² + 17 = 9х + 4|x – 3|.

№ 33. Решить уравнения:

а) |x² + х – 3| = х; г) |x² – 2х| = 3 – 2х;

б) |x² + х – 1| = 2х – 1; д) |х – 3| = –x² + 4х – 3;

в) |5х + 2| = 3 – 3х; е) |х|x – 1| – 2x| = x² – 2.

№ 34. Решить уравнения:

а) |x² – 9| + |х – 3| = 6.

б) |x² – 5х + 4| +|x² – 5х + 6| = 2.

в) |x² – 9| + |х – 2| = 5.

г) |x² – 4х + 3| +|x² – 5х + 6| = 1.

д) |x² – 4| – |х² – 9| = 5.

е) .

ж) (7x² – 3х – 4)² + |7х + 4|(x² – 1)² = 0;

з) 6х – 9 = х² (|х – 3| + 1).

и) .

к) x² – 3х + = 0.

л) х|x| + 7х + 12 = 0.

№ 35. Решить неравенства:

а) |2х – 6| ≤ 3. О т в е т: [1,5; 4,5].

б) |3х – 1| |2х – 5|. О т в е т: (–∞; –4)  (1,2; +∞).

в) |х² – 5| ≥ 4. О т в е т: (–∞; –3)  [–1; 1]  (3; +∞).

г) |х² + х – 3| ≤ |2х + х – 2|. О т в е т: (–∞; –1)  .

№ 36. Решить неравенства:

а) |3х + 2| + х 1. О т в е т:  .

б) |х – 1| ≤ 2х + 1. О т в е т: [0; +∞).

в) |х² – 2| ≤ х. О т в е т: [1; 2].

г) . О т в е т: (–∞; –1)  .

№ 37. Решить неравенства:

а) |4х – 1| + 2х – 4 ≤ 0. О т в е т: .

б) |3 – х| – |х – 2| ≤ 5. О т в е т: (–∞; +∞).

в) |2х – 6| + |4 – х| ≤ |х – 2|. О т в е т: [3; 4].

г) |х² + 2х| + |х – 2| 4. О т в е т: (–∞; –1)  (1; +∞).

д) |х – 4| + | х – 3|. О т в е т: .

№ 38. Решить неравенства:

а) . О т в е т: [–1; 1]  [2; 6].

б) О т в е т: (–∞; 1].

в) О т в е т: (–2; 0)  (2; +∞).

г) О т в е т: (–∞; –4) [–3; –2] (–1; 1) (4; +∞).

д) (х² – |x| –6)(||x – 2| – 1| – 3) 0.

О т в е т: (–∞; –3)  (–2; 3)  (6; +∞).

№ 39. Решить неравенства:

1) О т в е т: (–∞; 1)  (4; +∞).

2)

3) О т в е т:  .

4)

5) О т в е т:  .

№ 40. Решить неравенства:

1) |х² + 9х + 5| ≤ |3х² + 22х + 16|.

О т в е т: (–∞; –7]  [–5,5; –1]  [ ; +∞).

2) |х² + 3х – 5| ≤ |х² + 7х – 9|.

О т в е т: [ ] [ ).

3) |х² + 7х – 3| ≥ |3х² + 16х – 3|. О т в е т: [–6; –4,5]  .

№ 41. Решить неравенства:

1) |13 – 2х| ≥ |4х – 9|.

2) |2х + 3| х| – 4х – 1.

3) |х – 1| + |х + 3| ≤ 6.

4) |х – 6| ≤ |х² – 5х + 2|.

№ 42. Решить неравенства:

1) О т в е т: (–∞; –2]  [–1; 1]  [2; +∞).

2) О т в е т: [–10; 6].

3) О т в е т: [0; 1]  [5; 6].

№ 43. Решить систему:

№ 44. Решить систему:

№ 45. Решить систему:

№ 46. Решить систему:

№ 47. Решить систему:

№ 48. Решить систему неравенств:

1)

О т в е т: (1,2; –2); .

2) О т в е т: (–3; 1,8); (0; –1,5).

3) О т в е т: (0,2; –2); .

№ 49. Построить графики функций:

1) у = .

2) у = 3 – 1,5|х|.

3) у = 1 – |х|.

4) у = 2|х – 3|.

5) у = |х + 2| + 1.

6) у = |2 |х| – 3|.

7) у = |х + 2| + |х – 1| – |х – 3|.

8) |у| = 1 – х.

9) |у| = |х|.

10) у = |х| + х.

11) у = .

12) у = |3х – 4| – х.

13) у = х – 1 – |х – 1|.

14) у = .

15) у = .

16) у = |х – 1| + |х + 1|.

17) у = |х – 2| – |х + 2|.

18) у = |х – 3| + |2х – 1|.

19) у = |х + 3| + |2х + 1| – х.

20) .

№ 50. Построить график функции:

а) у = х² + 2|х| – 3.

б) у = |х² + 2х – 3|.

в) у = |х² + 2|х| – 3|.

г) у = |х| · х + 2х – 3.

№ 51. Построить график функции:

а) у = х² – 4|х| + 3.

б) у = |х² – 4х + 3|.

в) у = |х² – 4|х| + 3|.

г) у = |х| · х + 4х + 3.

№ 52. Построить график функции:

а) у = х² + 4|х| – 5.

б) у = |х² + 4х – 5|.

в) у = |х² + 4|х| – 5|.

г) у = х ·|х| + 4х – 5.

№ 53. Построить график функции:

1) у = 4х ·|х| + х² – 15х.

2) у = 2х ·|х| + х² – 6х.

3) у = 3х ·|х| + х² – 8х

и найти:

а) область определения и множество значений;

б) промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы;

в) точки пересечения с осями;

г) промежутки знаконопостоянства.

О т в е т ы:

1.

а) Д(y) = R, E(y) = R.

б) возрастает на (–∞; –2,5] и [1,5; +∞)

убывает на [–2,5; 1,5];

точки экстремума –2,5 и 1,5;

экстремумы 18,75 и –11,25.

в) (–5; 0); (3; 0); (0; 0).

г) у 0 при х  (–5; 0)  (3; +∞),

у х  (–∞; –5)  (0; 3).

2.

а) Д(y) = R, E(y) = R.

б) возрастает при х  (–∞; –3] и [1; +∞)

убывает при х  [–3; 1];

точки экстремума –3 и 1; экстремумы 9 и –3.

в) (–6; 0); (2; 0); (0; 0).

г) у 0 при х  (–6; 0)  (2; +∞),

у х  (–∞; –6)  (0; 2).

3.

а) Д(y) = R, E(y) = R.

б) возрастает при х  (–∞; –2] и [1; +∞)

убывает при х  [–2; 1];

точки экстремума –2 и 1; экстремумы 8 и –4.

в) (–4; 0); (2; 0); (0; 0).

г) у 0 при х  (–4; 0)  (2; +∞),

у х  (–∞; 4)  (0; 2).

№ 54. Построить графики функций:

а) f(x) = |–x² + 2x + 3|.

б) f(x) = |x² – 2x – 3|.

в) f(x) = |x + 1|·|x – 3|.

г) f(x) = |x + 1|·|x – 5|.

д) f(x) = .

№ 55. Построить графики функций:

а) f(x) = | x² – 2|x| – 3|.

б) f(x) = | x² – 2|x| – 3| – 2.

в) f(x) = –| x² – 4|x| – 5|.

г) f(x) = |(|x| – 2)|x| – 3|.

д) f(x) = |(|x| + 1)·||x| – 5|.

e) f(x) = |x|·x – 4x – 5.

ж) f(x) = | x² – x – 2| – 3(х + 1).

з) f(x) = | 3 – x²| – 2x.

и) f(x) = |x|·|x – 4| – 5.

к) f(x) = ||x|·x – 5| – 4|x|.

№ 56. Построить графики функций:

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

е) .

ж) .

з) .

и) .

к) .

л) .

м) .

н) .

№ 57. Построить графики функций:

а) .

б) .

в) .

г) .

№ 58. Построить графики функций:

а) , б) , в) , г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) , к) , л) , м) .

№ 59. Для каждого значения с укажите число корней уравнения:

а) 4х·|x| –х² – 15х = с;

О т в е т: если с с 18,75, один корень; два корня при с = –11,25; 18,75, три корня –11,25 с

б) 2х·|x| + х² – 6х = с;

О т в е т: один корень при с с 9; два корня при с = –3; 9; три корня –3 с

в) 3х·|x| + х² – 8х = с;

О т в е т: один корень при с с 8; два корня при с = –4; 8; три корня при –4 с

№ 60. Построить графики функций:

1) у = |3 – |2x + 1|| + x.

2) .

3) .

№ 61. Построить графики функций:

1) |y| = x 5) .

2) |y| = x – 3. 6) .

3) |y| = x + 2. 7) .

4) |y| = |2x + 3|. 8) .

О т в е т ы.

№ 1. а – 2 при а ≥ 0,

–(а + 2) при а

№ 2. при а

1 – а при 0 ≤ а

а – 1 при а 1.

№ 3. при т  (–∞; –2)  (–2; 0)  3; +∞);

– при т  (0; 3).

№ 4. 1 при х  –1,

при –1  х  1.

3 при х  1.

№ 5. 1 при х  –1,

при х –1; 0)  (0; 1).

1 при х  1.

№ 6. х² – 4х – 12 при х  2,

(х + 2)² при х  2.

№ 7. при 0  в  1,

при в  1.

№ 8. при х  –3,

при х  –3.

№ 9. при х  0,

при 0  х  1,

при х  1.

№ 10. при х  –1,

при –1  х  0,

– при 0  х  1,

при х  1.

№ 11. при х  1,

при 1  х  2,

при х  2.

№ 12. при х (–∞; –1)  (0; 1),

при х (–1; 0),

при х [1; +∞).

№ 13. при х  –1,

при –1  х  0,

при х  0.

№ 14. – при х  –1,

при –1  х  0,

при 0  х  2 и х  2.

№ 15. при х  0,

при 0  х  1,

при х  1.

№ 16. при х  0,

при 0  х  и  х  1,

при х  1.

№ 17. при r  0,

при 0  r  1,

при r  1.

ЛИТЕРАТУРА

Литература для учителя.

1. Болтянский, В. Г., Сидоров, Ю. В., Шабунин, М. И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971.

2. Вавилов, В. В., Мельников, И. И., Олехник, С. Н., Пасиченко, П. И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: спра-вочное пособие. – М.: Наука, 1987.

3. Галицкий, М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. И. Планиро-вание учебного материала для 8 класса с углубленным изучением математики: методическое пособие. – М., 1988. – 78 с.

4. Горнштейн, П., Мерзляк, А., Полонский, В., Якир, М. Экза-мен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1998. – 236 с.

5. Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6–8 классах: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1984.

6. Дорофеев, Г. В., Потапов, М. К., Розов, Н. Х. Пособие по математике для поступающих в вузы (Избранные вопросы элементарной математики). – М.: Наука, 1973.

7. Егерман, Е. Задачи с модулем. 9–10 классы // Математика. – № 23. – 2004. – С. 18–20.

8. Егерман, Е. Задачи с модулем. 10–11 классы // Математика. – № 25–26. – 2004. – С. 27–33.

9. Егерман, Е. Задачи с модулем. 10–11 класс // Математика. – № 27–28. – 2004. – С. 37–41.

10. Задания для подготовки к тестированию по математике: учебное пособие / Н. И. Бессарабов, Р. А. Лозовская, Г. В. Сохадзе. – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2000. – 36 с.

11. Звавич, Л. И., Шляпочник, Л. Я., Чинкина, М. В. Алгебра и начала анализа. 8–11 кл.: пособие для школ с углубленным изучением математики. – М.: Дрофа, 1999. – 352 с.

12. Коршунова, Е. Модуль и квадратичная функция // Математика. – № 7. – 1998.

13. Садыкина, Н. Построение графиков и зависимостей, содержащих знак модуля // Математика. – № 33. – 2004. – С. 19–21.

14. Сканави, М. И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – Тбилиси, 1992.

15. Сивашинский, И. Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям. – М.: Наука, 1971.

16. Скворцова, М. Уравнения и неравенства с модулем. 8–9 классы // Математика. – № 20. – 2004. – С. 17.

Литература для учащихся.

1. Аверьянов, Д. И., Алтынов, П. И., Баврин, Н. Н. Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы. – 2-е изд. – М.: Дрофа, 1999. – 864 с.

2. Алгебра. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К. С. Муравин, Г. К. Муравин, Г. В. Дорофеев. – М.: Дрофа, 1997. – 208 с.

3. Виленкин, H. Я, Виленкин, Л. Н., Сурвилло, Г. С. и др. Алгебра. 8 класс: учебн. пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1995. – 256 с.

4. Виленкин, Н. Я., Сурвилло, Г. С., Симонов, А. С., Кудрявцев, А. И. Алгебра. 9 класс: учебн. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1996. – 384 с.

5. Галицкий, М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов: учебн. пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – 3-е изд. – М.: Просвещение 1995. – 217 с.

6. Громов, А. И., Савчин, В. М. Математика для поступающих в вузы. – М.: Просвещение, 1997.

7. Домашняя математика: книга для учащихся общеобразовательных учреждений / М. В. Ткачева, Р. Г. Газарян, Б. Н. Кукушкин и др. – М.: Просвещение, 1998. – 303 с.

8. Карп, А. П. Сборник задач по алгебре для учащихся 8–9 классов школ с углубленным изучением математики. – С.-Пб.: Образование, 1993.

9. Мерзляк, А. Г., Полонский, В. Б., Якир, М. С. Алгебраичес-кий тренажер. – М.: Илекса, 2001. – 320 с.

10. Черкасов, О. Ю., Якушев, А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 3-е изд. исправл. и доп. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998. – 416 с.

11. Шабунин, М. И. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 1999. – 640 с.

12. Шарыгин, Н. Ф. Учебн. пособие для 10 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1994. – 252 с.