Тема урока: "Свойства логарифмов".
Цели урока:
Студенты должны:
знать и уметь записывать определение логарифма, основного логарифмического тождества;
уметь применять определение логарифма и основное логарифмическое тождество при решении упражнений;
познакомиться со свойствами логарифмов;
научиться различать свойства логарифмов по их записи;
научиться применять свойства логарифмов при решении заданий;
закрепить вычислительные навыки;
продолжить работу над математической речью.
Базовые знания:
свойства степени с действительным показателем;
определение логарифма, виды логарифмов;
основное логарифмическое тождество.
Методы работы:
проблемный;
частично-поисковый.
Виды работ:
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Составление опорного конспекта. (10 минут)
Преподаватель:
– Сформулируйте и запишите свойства степени с действительным показателем, связанные знаком равенства.
– Сформулируйте определение логарифма и выполните соответствующую запись.
– Какие виды логарифмов существуют? Выполните их запись.
– Запишите основное логарифмическое тождество .
При ответе студентов оформляется конспект на доске.
am . ak = am+k, a 0; m R, k R. am : ak = am–k, a 0; m R, k R. (am)k = amk = (ak)m, a 0; m R, k R. a–m = , a 0, m R. (ab)m = am bm, a 0, b 0, m R. = , a 0, b 0, m R. | log a b = m am = b, где b 0, a 0, a 1. |
log 10 b = lg b; b 0. log e c = ln c; c 0. |
alog ab = b, a 0, a 1, b 0. |
II. Ситуация успеха
1.
№ 4.
ж) log 10 100 = 2, т.к. 102 = 100 (определение логарифма и свойства степени),
з) log 5 53 = 3, т.к. 53 = 53 (…),
е) log 4 = –1, т.к. 4–1 = (…).
№ 5.
е) (32)log 3 7 = (7log 7 3)2 = 72 = 49 (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени),
ж) 7 2 log 7 3 = (7 log 7 3)2 = 32 = 9 (…),
з) 10 3 log 10 5 = (10 log 10 5)3 = 53 = 125 (…),
и) 0,1 2 log 0,1 10 = (0,1 log 0,1 10)2 = 102 = 100 (…).
2. Решение упражнений устно, без комментария (3 минуты).
№ 7.
а) logee; б) logee2; в) loge ; | г) ln e; д) ln e3; е) ln ; | |
№ 8.
а) log1010; б) log10100; в) log100,1; | г) lg 10; д) lg 100; е) lg 0,01; | |
Вопросы к студентам:
Что применяли при вычислении заданий № 7 и № 8? (Определение логарифма, свойства степеней)
Чем отличаются задания а) и г) в №7 и задания б) и д) в № 8? (Разной формой записи натурального и десятичного логарифмов)
3. Самостоятельная работа.
а) выполните задания № 9 с фиксацией ответов в тетради и на листочке (под копировальную бумагу). По окончании работы листочки – “копии” сдаются преподавателю (3 минуты).
№ 9.
а) log223; б) log557; в) log991999; | г) 2 ; д) 3 ; е) 5 ; | ж) eln 3; з) e2ln 5; и) e–2ln3; | к) 10lg 3; л) 102lg 3; м) 10–3lg 2. |
б)
Ответы и критерий оценки записаны :
а) 3, б) 7, в) 1999, | г) 5, д) 90, е) , | ж) 3, з) 25, и) , | к) 3, л) 9, м) . |
12 верных ответов – “5”,
10 – 11 верных ответов – “4”,
8 – 9 верных ответов – “3”.
в) Какие задания вызвали затруднения? (2 минуты). При необходимости выполнить разбор заданий, вызвавших затруднения.
III. Постановка учебной задачи
Преподаватель: Вы замечательно справились с заданиями, а теперь вычислите следующие задания, записанные на доске:
а) log 153 + log 155 = …,
б) log 1545 – log 153 = …,
в) log 48 =…,
г) 7 = … .
1. Работа в группах (оформление основных идей на рабочих листах, 5–7 минут). В это время преподаватель проверяет самостоятельную работу студентов.
2. Защита “своих” работ (вывешивают рабочие листы на магнитную доску и один или группа студентов обосновывают полученные решения (возможны варианты, 10 минут).
3. Преподаватель: А как вы думаете, что мы должны знать, чтобы выполнять действия с логарифмами?
Если у студентов возникают затруднения, то вернуться к опорному конспекту с вопросом: “Чтобы выполнять действия со степенями, что надо знать?” (Ответ: “Свойства степени”). Ещё раз задать первоначальный вопрос. (Свойства логарифмов)
Итак, запишем тему занятия (формулируют несколько студентов): “Свойства логарифмов”.
4. Постановка учебной задачи (формулируют студенты). Запись в тетрадях. (2 минуты):
познакомиться со свойствами логарифмов;
научиться различать свойства логарифмов по их записи;
научиться применять свойства логарифмов при решении заданий.
5. Преподаватель: Перед вами таблица со свойствами логарифмов. Надо дать название каждому свойству и правильно сформулировать их”.
(Таблица 1 со свойствами логарифмов на листе ватмана вывешивается на магнитную доску и при ответе студентов карточки с названиями “вставляются” напротив каждого свойства). По окончании заполнения таблицы каждому студенту раздаются аналогичные листы (Таблица 2 формат А4).
6. Выполним вычисления заданий, записанных на доске, используя свойства логарифмов (запись на доске выполняют учащиеся, 2–3 минуты, а затем запись в тетрадях).
а) log 153 + log 155 = log 15(3 · 5) = log 1515 =1,
б) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1,
в) log 48 = log 23 = · log 22 = 1,5,
г) 7 = 7 2 log 7 2 = (7 log 7 2)2 =22 =4.
IV. Решение задач на распознавание свойств логарифмов (15 минут)
Преподаватель: Выяснить, какие свойства логарифмов используются при вычислении заданий № 274, 279,280, 290, 293, 298 (1) (номера выписываются на доску). Решить по одному столбцу в каждом задании устно или письменно (15 минут).
V. Итог урока (5 минут)
Какую тему мы сегодня рассмотрели?
Какая учебная задача была поставлена?
С какими свойствами логарифмов вы познакомились? Перечислите их.
VI. Домашнее задание 296, 298 (2.3.4)
В таблице заполнить доказательства свойств логарифмов.
Таблица 1.
№ | Название свойства логарифмов | Свойства логарифмов |
1. | | log a1 = 0, a 0, a 1. |
2. | | log aa = 1, a 0, a 1. |
3. | | log a(xy) = log ax + log ay, a 0, a 1, x 0, y 0. |
4. | | log a = log ax - log ay, a 0, a 1, x 0, y 0. |
5. | | log axa = a log ax, x 0, a 0, a 1, R. |
Замечание. | log ax2k = 2k log a |x| , a 0, a 1, k N , x R, x 0. |
6. | | log aa x = log ax, a 0, a 1, x 0, R, 0 . |
Замечание: | 1. log a2kx = log |a| x, a 0, a 1, x 0, k N. 2. log ab x a = log ax, a 0, a 1, R, R, 0 , x 0. |
7. | | log ab = , a 0, a 1, c 0, c 1, b 0. |
Замечание. | log ab = , a 0, a 1, b 0, b 1. |
Таблица 2.
№ | Название свойства логарифмов | Свойства логарифмов | Доказательство свойств логарифмов |
1. | Логарифм единицы. | log a1 = 0, a 0, a 1. | |
2. | Логарифм основания. | log aa = 1, a 0, a 1. | |
3. | Логарифм произведения. | log a(xy) = log ax + logay, a 0, a 1, x 0, y 0. | |
4. | Логарифм дроби. | log a = log ax – logay, a 0, a ? 1, x 0, y 0. | |
5. | Логарифм степени. | log ax = log ax, x 0, a 0, a 1, R. | |
Замечание. | log ax2k = 2k log a |x| , a 0, a 1, k N , x R, x 0. |
6. | Логарифм выражения по основанию, которое является степенью. | log a x = log ax, a 0, a 1, x 0, R, 0 . | |
7. | Переход к новому основанию. | log ab = , a 0, a 1, c 0, c 1, b 0. | |