Программа дополнительного курса
«Рациональные уравнения»
для физико-математического профиля
I.Пояснительная записка.
Программа разработана для 10 классов физико-математического профиля. Дополнительный курс посвящен одной из самых важных тем математики: «Рациональные уравнения и способы их решения».
В условиях профилизации и модернизации школы появилась необходимость повышения качества школьного образования и создание специализированной подготовки, ориентированной на индивидуализацию и специализацию учащихся.
Программа состоит из двух частей:
целые алгебраические уравнения;
дробно-рациональные уравнения.
Тема уравнения рассматривается на протяжении всего курса алгебры 7-9 классов небольшими кусками, и только некоторые способы их решения. Данный курс систематизирует и обобщает знания по теме, углубляет и расширяет их. Также рассматриваются различные способы решения уравнений. Настоящая программа предусматривает полное развитие целостной математической составляющей в обучении алгебры, предоставляет возможности учащимся свободного выбора своего образовательного пути.
Содержание курса позволяет ученику любого уровня обученности активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя. Эта программа будет способствовать совершенствованию и развитию математических знаний и умений, формированию интереса к предмету, пониманию роли математики в деятельности человека.
Данный материал поможет оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения, а также поможет готовиться к ЕНТ. В курс заложена возможность дифференцированного обучения, как путем использования упражнений различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельного освоения нового материала.
Цель курса:
прочное сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, связанных с решением рациональных уравнений, приобщение учащихся к творческой и исследовательской деятельности;
способствовать развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств, необходимых для общей социальной ориентации и решения практических проблем.
Задачи курса:
Систематизирование и обобщение теоретических знаний, связанные с понятием рациональные уравнения;
Формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений;
Развитие умений коллективно-познавательного труда, логического и творческого мышления;
Развитие навыков исследовательской деятельности, повышение математической культуры учащегося.
Используемые технологии:
лекционно-семинарская система обучения;
модульное обучение;
исследовательский метод в обучении;
индивидуальные формы работы;
дифференцированное обучение.
Решение индивидуальных заданий на разных уровнях усвоения: применения способа решения по образцу; с последующей проверкой по эталону; применение самостоятельно выбранного способа решения; самооценка учащимися своей деятельности на занятии (рефлексия).
Ожидаемые результаты:
Учащиеся должны знать
что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения;
уметь
решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами.
II. Тематическое планирование курса.
№ | содержание | Количество часов |
1-2 | Уравнение, корень уравнения, равносильность уравнений. Потерянные и постоянные корни. Целое алгебраическое уравнение. | 2 |
3-6 | Решение уравнений разложением на множители: способ группировки; выделение полного квадрата; применение формул сокращенного умножения. Проверочная работа. | 4 |
7-10 | Подбор корня уравнения по свободному члену и старшему коэффициенту. Деление многочлена на многочлен. Теорема Безу. | 4 |
11-14 | Решение уравнение методом неопределенных коэффициентов. Схема Горнера. Тест | 4 |
15-18 | Метод выделения новой переменной. Понижение степени. | 4 |
19-22 | Однородные уравнения. Возвратные уравнения четвертой степени. | 4 |
23-24 | Неприведенные уравнения и способы их решения. | 2 |
25-28 | Дробно-рациональные уравнения, решение их способом подстановки. | 4 |
29-32 | Нестандартные способы решения дробно-рациональных уравнений. | 4 |
33-34 | Итоговая контрольная работа. | 2 |
III. Содержание занятий.
Занятие № 1, 2
Рассмотреть определение целого уравнения, корня уравнения, определение равносильных уравнений, теоремы, с помощью которых переходим к равносильным уравнениям, примеры, когда при переходе от одного уравнения к другому теряется корень или появляется посторонний корень.
Занятие № 3, 4, 5, 6
Изучить способы решения уравнений разложением на множители.
Способ группировки.
Способ выделения полного квадрата.
Например, в уравнении
x³ - (a + b + c)x² + (ab + ac + bc)x – abc = 0;
x³ - ax² - bx² - cx² + abx + acx + bcx - abc = 0;
x²(x - a) - bx(x - a) -cx(x - a) + bc(x - a) = 0;
(x - a)( x² - bx - cx + bc) = 0; (x - a)(x(x - b) - c(x - b)) = 0;
(x - a)(x - b)(x - c) = 0; х – a = 0 или x – b = 0 или x – c = 0; х = a, x = b, x = c.
Занятие № 7, 8, 9, 10
Если уравнение
a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an = 0 (1) с целыми коэффициентами имеет
целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.
Если уравнение (1) с целыми коэффициентами имеет рациональные корни вида , тогда число p является делителем свободного члена an, а q – делителем старшего коэффициента a0.
Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами a0 =1, то все рациональные корни – целые, если они существуют.
Рассмотреть деление многочлена на многочлен, чтобы понизить степень многочлена, а также Теорема Безу
Остаток от деления многочлена
P(x)=a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an
на двучлен x - a равен P(a), тогда
P(x)=(a - x)P1(x), если P(x) делится на x - a без остатка и
P(x)=(a - x)P1(x) + R(x), где R(x) – остаток.
Занятие № 11, 12, 13, 14
Рассмотреть решение уравнений методом неопределенных коэффициентов.
Например, x4 - 6x3 + 6x2 + 10x – 3 = 0
Уравнение приведенное, рассмотрим делители свободного члена -3 делится на ±1; ±3
х = -1 и х = 3
корни уравнения представим в виде (х + 1)(х - 3)(x2 + px + q) = 0
(x2 - 2x - 3)(x2 + px + q)=x4 - 6x3 + 6x2 +10x - 3
x4 + (p-2)x3 + (q - 2p - 3)x2 - (2q + 3p)x - 3q= x4 - 6x3 + 6x2 + 10x - 3
p – 2 = - 6 p = - 4
-3q = -3 q = 1
(x + 1)(x - 3)(x2 - 4x + 1) = 0; x2 - 4x + 1 = 0; D
Рассмотреть схему Горнера
Если многочлен
P(x)=a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an
При делении на х - а, дает Q(x) неполное частное и R- остаток, то коэффициент Q(x) можно найти по схеме
a0 | a1 | a2 | … | an-1 | an |
b0 = a0 | b1 = a1 + ab0 | b2 = a2 + ab1 | … | bn-1 = an-1+abn-2 | bn= an+ abn-1 bn=R |
Q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 +…+ bn-1x + bn
Занятие № 15, 16, 17, 18
Рассмотреть метод введения новой переменной.
ax2n + bxn + c = 0, t = xn
Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
Если a + b = c + d или a + c = b + d или a + d = b + c, то решаем раскрытие скобок, где выполняется равенство, затем вводим переменную, получаем квадратное уравнение.
Например,
(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680; - 4 – 7 = - 5 – 6;
(x - 4)(x - 7) (x - 5)(x - 6) = 1680;
(x2 - 11x + 28)(x2 - 11x + 30) = 1680; x2 - 11x + 28 = t.
Далее решаем уравнение вида t(t + 2) = 1680.
Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2
Если ab = cd или ac = bd или ad = bc, то раскрываем скобки, где выполняется равенство, а затем делим на x2 ≠ 0 и вводим переменную и получаем квадратное уравнение.
(x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4x2; (-8)(-1) = (-2)(-4);
(x - 1)(x - 8)(x - 2)(x - 4) = 4x2;
(x2 - 9x + 8)(x2 - 6x + 8) = 4x2 ∕x2; (x – 9 + )(x – 6 + ) = 4;
х + - 9 = t; t(t + 3) = 4; t2 + 3t – 4 = 0; t1 = 1; t2 = - 4.
х + - 9 = 1; x + - 10 = 0; x2 - 10x + 8 = 0;
x1 = 5 + ; x2 = 5 - ; x + - 9 = -4; x + - 5 = 0;
x2 -5x + 8 = 0 корней нет.
Занятие № 19, 20, 21, 22
Возвратным уравнением четвертой степени называется уравнение вида
ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0, a ≠ 0, если k = 1, то уравнение имеет вид
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, такое уравнение называется симметрическим.
3x4 - 5x3 - 30x2 - 10x + 12 = 0∕ x2, т.к. x = 0 не корень
3x2 - 5x – 30 - + = 0; 3(x2 + ) -5(x + ) -30 = 0; х + = t.
Возведем в квадрат.
x2 + 2x + = t2; x2 + = t2 – 4; 3(t2 - 4) - 5t – 30 = 0; 3t2 - 5t – 42 = 0.
D = 25 + 504, t1 = ; t2 = - 3; x + = ; x + = - 3.
x1,2 = x1 = -1, x2 = -2
Уравнение вида au2 + bu + c 2 = 0 называется однородным, где a,b,c – числа, a u и некоторые функции от х.
Разделим обе части уравнения на 2 ≠ 0
a( )2 + b( ) + c = 0; ( ) = t = at2 + bt + c = 0.
Получили квадратное уравнение.
Занятие № 23, 24
Некоторые способы решения неприведенных уравнений.
Уравнение вида: 21x3 + x2 - 5x – 1 = 0/ x3; 21 + - - = 0;
= t; 21 + t- 5t2 - t3 = ; t3 + 5t2 – t – 21 = 0.
Далее найдем корни среди делителей свободного члена.
t = - 3; (t + 3)(t2 + 2t - 7) = 0; t2 + 2t – 7 = 0; t1,2 = - 1 2
= - 3; х = - ; = - 1+ 2 ; х = ; = -1 - 2 ; х = .
4x3 - 10x2 + 14x – 5 = 0/*2; 8x3 - 20x2 + 28x – 10 = 0;
(2x)3 - 5(2x)2 + 14(2x) – 10 = 0; 2x = t; t3 - 5t2 + 14t – 10 = 0;
t = 1; 2x=1; x= .
Решая эти уравнения, выполняем такое преобразование, чтобы уравнения стали приведенными.
Занятие № 25, 26, 27, 28
Дробно-рациональное уравнение можно представить в виде =0, где P(x) и Q(x) – многочлены.
У равнение =0 равносильно системе
P(x)=0
Q(x)≠0
Решение уравнений способом подстановки.
Рассмотрим уравнения вида:
1. + =2,9; t = ;
2. + = ; t=x2-3x+3;
3. x3+ =3 (x+ ); t= x+ ;
4. =1,2/ x2; = ; x + = t;
5. + = ; x2+2x+2=t; + = .
Занятие № 29, 30, 31, 32
Нестандартные способы решения уравнений.
1. Уравнения, решаемые выделением квадрата двучлена, например,
х2+ =8.
2. Уравнения, решаемые как однородное
AU2(x)+BU(x) (x)+C 2(x)=0 / 2(x)≠0 ; А( )2+B( )+C=0;
Введем переменную =t, получим At2+Bt+C=0,
далее решаем квадратное уравнение.
3. Решение уравнений, выделением целой части дробей, например,
- = -
Целую часть можно выделить делением числителя на знаменатель, т.е.
многочлена на многочлен или в числителе выделить квадрат двучлена, а затем
выделить целую часть.
4. Решение уравнений вида
(x-a)4+(x+b)4=c, заменим х = t-
получим после упрощения биквадратное уравнение.
Занятие № 29, 30
Нестандартные способы решения дробно-рациональных уравнений.
Цель урока: формирование практических навыков и умений при решении дробно-рациональных уравнений; развитие логического и творческого мышления; воспитание умения выбрать оптимальные способы решения, умение работать в коллективе.
На занятии использована методика взаимообмена заданиями (модульное обучение).
1. Подготовка учебного материала.
1.1. Блок дидактических карточек по изучаемому материалу, в
блоке 10 карточек по две одинаковые.
Карточка состоит из двух частей:
Задание по самостоятельному изучению нового материала, выделяются те моменты, на которые надо обратить внимание.
Задание (уравнение), которые надо выполнять самостоятельно.
1.2. Листок учителя, планирование и содержание карточек по способам
решения уравнений.
1.3. Листок самооценки в каждой группе.
2. Организация работы группы учеников.
Все учащиеся разбиваются на группы по 4-5 человек, всего 5 групп.
В каждой группе назначается ответственный за работу. Если группа самостоятельно не справляется, то задает вопросы учителю. Освоив задание карточки №1, группа переходит к решению карточки №2 и т.д.Маршрут для каждой группы расписан учителем.
3. Учет.
Те уравнения, которые учащиеся решают самостоятельно, должны
быть записаны в тетрадь.
4. Контроль.
4.1. Самооценка за каздую карточку (их 5).
4.2. Самостоятельная работа по выбору: предложены уравнения,
ученики решают любые два.
Самостоятельная работа
1 вариант
1. х2+ =40; 2. - = ; 3. + - - =-
4. (x-3)4+(x+1)4=256; 5. x3+ =8 (x+ ).
2 вариант
1. х2+ =5; 2. ( )2-57( )2=
3. + = + ; 4. (х+3)4+(х+5)4=16; 5. х3 - =5 (х - ).
Карточка № 1
Уравнения, решаемые выделением квадрата двучлена.
ОДЗ х≠0
х2+ =8
Прибавим 2х к обеим частям уравнения
х2+2х + = 8+2х ; (х + )2 = 8+ 2 ;
( )2-2 -8=0; =t; t2-2t-8=0; t1=4; t2=-2;
=4; x2-4x+4=0; (x-2)2=0; x-2=0; x=2.
=-2; x2+2x-2=0; x1=-1+ ; x2=-1- .
Ответ: 2; -1+ ; -1- .
Решите уравнение самостоятельно х2+ =27.
Карточка № 2
Уравнения, решаемые как однородное.
AU2(x)+BU(x) (x)+C 2(x)=0 / 2(x)≠0
А( )2+B( )+C=0;
Далее введем переменную =t, получим At2+Bt+C=0,
далее решаем квадратное уравнение.
Пример.
( )2+( )2= . ОДЗ: х≠±2
Перепишем уравнение так:
( )2- +( )2=0/ ( )2≠0
( )2- +1=0; =t; t2- t+1=0;
2t2-5t+2=0; t1=2; t2= =2; x2-x-2=2(x2+x-2); x2+3x-2=0;
x1= ; x2= = ; 2(x2-x-2)= x2+x-2; x2-3x-2=0;
x1= ; x2= .
Ответ: ; ; ; .
Решите уравнение самостоятельно: 3( )2+8( )2=
Карточка № 3
Решение уравнений, выделением целой части.
ОДЗ х≠-1; х≠-3; х≠-2;х≠-4.
- = -
Выделив в числителе квадрат двучлена, можно разделить числитель на
знаменатель.
- = - ;
х+1+ -(х+2)- =х+3+ -(х+4)- ;
Упростим:
- = - ; = ; х(х -х(х =0;
х(х -х =0; х(4х+10)=0; х=0 или х=-2,5
Ответ: 0; -2,5.
Решите уравнение самостоятельно:
+ = +
Карточка № 4
Решение уравнений вида (x-a)4+(x+b)4=c, заменим x=t- ,
получим биквадратное уравнение (х-4,5)4+(х-5,5)4=1.
х=t - ; x=t+5; (t+ )4+(t- )4=1; (t2+t+ )2+(t2-t+ )2=1;
Воспользуемся формулой
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;
t4+t2+ +2t3+ t2+ t+t4+ t2+ -2t3+ t2- t=1;
2t4+3t3- =0/8; 16t4+24t2-7=0; t2=a; a ≥ 016a2+24a-7=0; D=256.
a1= ; a2=- не удовлетворяет условие a≥0; t2= = t=±
Если t= , то х= +5; х=5,5 t=- , то х=- +5; х=4,5
Ответ: 5,5 ; 4,5.
Решите уравнение самостоятельно: (х- )4+(х+ )4=82
Карточка № 5
Решите уравнение х3+ =13(х+ ); ОДЗ х≠0. Введем переменную х+ =t;
По формуле (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b) возведем в куб
(х+ )3=t3; x3+ +3x ( х+ )=t3; x3+ +3t= t3= x3+ =t3-3t;
Получим
t3-3t-13t=0; t3-16t=0; t(t2-16)=0; t(t-4)(t+4)=0; t1=0 или t2=4 или t3=-4
х+ =0 корней нет х+ =4; х2-4х+1=0; х1=2+ ; х2=2- .
х+ =-4; х2+4х+1=0; х1=-2+ ; х2=-2- .
Ответ: 2+ ; 2- ; -2+ ; -2- .
Решите уравнение самостоятельно: х3 - = 2(х - )
Контрольная работа (на 2 урока).
Цель работы: проверить знания и умения по теме «Рациональные уравнения».
1 вариант
1. Решите уравнение (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=3.
2. Решите возвратное уравнение х4+х3+4х2+5х+25=0.
3. Произведя замену переменной, решите уравнение
= .
4. Используя однородность, решите уравнение
(х2-5х-4)2-3(х3-5х2-4х)+2х2=0.
5. Найдите все целые корни уравнения х5+5х4-9х3+41х2+32х-60=0.
2 вариант
1. Решите уравнение (х-2)(х-4)(х-6)(х-8)=105.
2. Решите возвратное уравнение х4-х3-10х2+2х+4=0.
3. Произведя замену переменной, решите уравнение
+ =1.
4. Используя однородность, решите уравнение
(х2+3х-2)2-2(х3+3х2-2х)-3х2=0.
5. Найдите все целые корни уравнения х5-4х4-18х3+40х2+113х+60=0.
Уравнения, которые встречаются на ЕНТ.
1. Если х0 - корень уравнения х3+3х2+х-5=0, то равно. Ответ: 3.
2. х0 - корень уравнения 8х3 + 36х2 + 54 х = 98, то равно. Ответ: 1.
3. Произведение корней уравнения х4 + х3 – 1 = 0 равно. Ответ:
4. Сумма корней уравнения + + = равна. Ответ: 3,6
5. Среднее арифметическое корней уравнения (х2 - 2х)2 - (х - 1)2 + 1 = 0 равно.
Ответ: 1.
6. Сумма различных корней уравнения х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = 0,5625 равна.
Ответ: -13,5.
Произведение корней уравнения 18х4 - 3х3 - 25х2 + 2х + 8 = 0 равно. Ответ: - .
Сумма корней уравнения (х2 + 27)2 - 5(х2 + 27)(х2 + 3) + 6(х2 + 3)2 = 0, умноженная на 59 равна. Ответ: 0
Модуль разности корней уравнения - = равен. Ответ: 4.
10. Сколько корней имеет уравнение + =1. Ответ: 2.
11. Среднее арифметическое корней уравнения
5( )2 - 44( )2 + 12 = 0 равно. Ответ: -4,5
Если х1 – меньший, а х2 – больший корень уравнения
= , то равно. Ответ: 2.
Произведение корней уравнения + - - = - равно.
Ответ: 4
Если х0 – корень уравнения 3х3 - 4х2 + 5х – 18 = 0, то значение равно. Ответ: 5.
Определить количество корней уравнения = 1. Ответ: 1.
Литература
Национальный центр тестирования. Учебно- методическое пособие.
М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. М.: Просвещение. 1990г.
В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович Задачник – практикум по алгебре. М.: ШколаПресс.1995г.
Д.Письменный Готовимся к экзамену по математике. М.: Айрис Пресс Рольф. 2001г.
М.И.Сканави Сборник задач по математике под редакцией М.И. Сканави. М.: Высшая школа. 1998г.
Ю.Н. Макарычев, Н.Г., Миндюк, К.И.Нешков. Адгебра – 9, учебник для 9 класса с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина. 2006г.
С.В. Процко, А.И. Азаров, С.А. Барвенов. Интенсивный курс подготовки к тестированию. Математика Минск. ТетраСистемс. 2005г.
Н.Л. Виленкин, О.С. Нвашов-Мусатов, С.И. Шварцбурд. Алгебра и математический анализ 10 класс. М.: Мнемозина, 2004г.
Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочкин, М.В. Чинкина Дидактический материал. Алгебра и начала анализа 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Дрофа, 2001г.