Числовые характеристики случайных величин

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

КАЛИНИНГРАДСКАЯ ОБЛАСТЬ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №4 г. БАЛТИЙСКА

Номинация: Методические разработки (конспекты урока, занятия, сценария внеклассного мероприятия, мастер-класса) с использованием современных педагогических технологий.

Интегрированный урок

«Числовые характеристики случайной величины»

9 класс

Составитель: Мацкевич Марина Ивановна,

учитель математики

МБОУ СОШ №4

Балтийск

2015 год

Пояснительная записка

Задачи, которые ставит перед выпускником средней школы жизнь, в большинстве своем связаны с необходимостью анализа влияния случайных факторов и принятия решений в ситуациях, имеющих вероятностную основу. Поэтому некоторый запас вероятностно-статистических знаний является неотъемлемым условием творческой работы во многих областях. Эти знания необходимы и в школе при изучении различных предметов, ведь большинство рассматриваемых там закономерностей являются статистическими и требуют для глубокого объяснения привлечения вероятностных идей и соответствующего понятийного аппарата. Кроме того, задания данного типа включены в контрольно – измерительные материалы основного государственного экзамена по математике.

Данная разработка включает в себя блок уроков математики по теме «Числовые характеристики случайной величины», предназначенный для реализации в 9 классе средней общеобразовательной школы для учащихся с различным уровнем обучаемости и подготовки. В уроки включены практические работы, которые выполняются с использованием средств табличного процессора Excel и среды программирования QBasic, к практическим работам приложены инструкции по выполнению. Уроки рассчитаны на учеников имеющих базовую подготовку по информатике. На изучение темы отводится 4 часа: «Математическое ожидание» - 2 часа, «Отклонения. Дисперсия» - 2 часа.

Появление в школьной программе вероятностно - ста­тистической линии, ориентированной на знакомство учащихся с вероятностной природой большинства яв­лений окружающей действительности, будет способство­вать усилению её общекультурного потенциала, возникно­вению новых, глубоко обоснованных межпредметных связей, гуманитаризации школьного математического образования.

Цель уроков:

• познакомить учащихся с основными числовыми характеристиками случайных величин «математическое ожидание», «среднее квадратическиое отклонение» и «дисперсия» и их применением в реальных статистических исследованиях с использованием средств табличного процессора Excel и среды программирования QBasic;

• отработать навыки нахождения этих характеристик для небольших наборов дискретных случайных величин;

• рассмотреть свойства числовых характеристик случайных величин.

Задачи:

Образовательные:

• показать, что окружающий нас изменчивый мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями;

• развитие представлений учащихся о случайных величинах и их характеристиках; развивать умение анализировать и интерпретировать данные, представленные в различной форме, проверять простейшие статистические гипотезы;

Развивающие:

• расширение общекультурного кругозора и развитие логического мышления учащихся через межпредметные связи;

• формирование практических навыков научно - исследовательской деятельности;

Воспитательные:

• учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, общаться на деловой основе, применять вводимые понятия в практической жизни, видеть их роль в разных областях деятельности человека;

• оказание учащимся педагогической поддержки в выборе профессии и дальнейшего продолжения образования после окончания средней школы.

Ожидаемые результаты

Учащиеся должны:

• знать определения числовых характеристик случайных величин;

• понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений дискретной случайной величины;

• знать свойства числовых характеристик случайных величин и уметь использовать их при решении простых задач;

• уметь вычислять числовые характеристики случайных величин на коротких наборах;

• уметь применять числовые характеристики случайных величин при анализе реальных ситуаций;

• уметь использовать для вычисления характеристик числовых наборов статистические функции табличного процессора Excel;

• уметь использовать для вычисления характеристик числовых наборов среду программирования QBasic.

Оборудование:

• компьютеры, мультимедийный проектор, экран;

• презентации;

• файл Excel с заданиями к уроку и технологией их выполнения;

• файл Word с заданиями к уроку и технологией их выполнения;

• файл Word с домашним заданием.

Программное обеспечение:

• табличный процессор Excel,

• среда программирования QBasic.

Подготовительный этап:

• скопировать на компьютеры учеников файл с заданиями;

• подготовить распечатки домашнего задания.

Числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание

1. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся

Вопросы фронтального опроса:

• Hазовите виды случайных величин.

• Hазовите закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

3. Изучение нового материала, формирование знаний, умений и навыков.

Закон распределения полностью определяет случайную величину, однако, не всегда его возможно привести в полном объеме.

Для решения многих проблем достаточно знания отдельных числовых параметров, характеризующих наиболее существенные черты случайной величины.

С помощью таких характеристик во многих случаях удается исследовать поведение случайных величин.

Основными числовыми характеристиками случайной величины являются:

• математическое ожидание;

• мода;

• медиана;

• дисперсия;

• среднее квадратическое отклонение.

Рассмотрим эти характеристики для дискретной случайной величины.

Математическое ожидание

Математическим ожиданием (ожидаемым значением или средним значением) дискретной случайной величины называют число M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ...+ x_np_n – сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

Если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание совпадает со средним арифметическим значением.

Пример 1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины дан в виде таблицы. Найти математическое ожидание этой величины.

Пример 2. На рынке куплены одинаковые по размеру лимоны:

3 лимона – по 20 руб. за штуку,

12 лимонов – по 10 руб. за штуку. Найти математическое ожидание стоимости одного лимона.

руб.

20·_{ } руб.

Пример 3. Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем 500 рублей, 10 билетов по 100 руб. и остальные по 5 рублей (беспроигрышная лотерея). Наудачу выбирают билет. Найти математическое ожидание выигрыша.

500 100 5

_{     }

M(X) = _{ }

Для того, чтобы лотерея приносила доход, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш, например 30 руб. (Доход 3000 – 1945 = 1055 руб.).

Отдельный игрок может и выиграть, но в конечном итоге доход будет у организатора лотереи.

Механическая интерпритация математического ожидания дискретной случайной величины – если на оси абсцисс расположить точки x₁, x₂, ..., x_n, в которых сосредоточены массы p1, p2, ..., p_n, причем то М (Х) – абсцисса центра тяжести.

Математическое ожидание находят для однородных величин.

Например, нет смысла искать среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве. Причем, и для однородных величин нахождение математического ожидания бывает иногда лишено смысла. Например, средняя температура больных в больнице.

Свойства математического ожидания

• Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине M(C) = C

• Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания M(CX) = CM(X)

• Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M(XY) = M(X) ∙ M(Y)

• Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий M(X + Y) = M(X) + M(Y)

Доказательство 2-го свойства

X x₁, x₂, ..., x_n

P p₁, p₂, ..., p_n

M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ...+ x_np_n

CX cx₁, cx₂, ..., cx_n

P p₁, p₂, ..., p_n

M (CX) = cx₁p₁ + cx₂p₂ + ...+ cx_np_n = C · M(X)

Пример 4. Производится 3 выстрела с вероятностями p₁ = 0,4; p₂ = 0,3; p₃ = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если:

X₁ 1 0 X₂ 1 0 X₃ 1 0

P₁ 0,4 0,6 P₂ 0,3 0,7 P₃ 0,6 0,4

M(X₁+X₂+X₃)=0,4_{ }1+0_{ }0,6+0,3_{ }1+0,7_{ }0+0,6_{ }1+0_{ }0,4=0,4+0,3+0,6=1,3

Пример 5. Найти математическое ожидание случайной величины (4Х + 5) если М (Х) =2.

М(4Х + 5) = М(4Х) + М(5) = 4·М (Х) + 5 = 4 · 2 + 5 = 13

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины используя среду программирования QBasic.

Возможный вариант программы на языке QBASIC:

REM Математическое ожидание

INPUT N

DIM X(N), P(N)

MX=0

PRINT"Ввод исходных данных X(I) И P(I)"

FOR K=1 TO N

INPUT X(K), P(K)

NEXT K

FOR I=1 TO N

MX= MX +X(I) * P(I)

NEXT I

PRINT"Математическое ожидание MX="; MX

END

4. Самостоятельная практическая работа.

Ученикам открыть Приложение 1 файла заданий и выполнить самостоятельную работу.

Подвести итог самостоятельной работы.

5. Итог урока.

Выводы: Математическое ожидание является важной характеристикой числового ряда. Математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и сама величина. Если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание совпадает со средним арифметическим значением.

6. Домашнее задание: Приложение 2.

Числовые характеристики

Отклонения. Дисперсия

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока.

2. Актуализация знаний.

На предыдущих уроках мы рассмотрели так называемые средние характеристики числового ряда, позволяющие оценить его поведение «в среднем». Повторим их определения и способы нахождения.

Задание на повторение (комментарии учителя, проверка ответов учеников с помощью слайда).

3. Объяснение нового материала, практикум.

Характеристики числового ряда: комментарии учителя.

Средние характеристики числового ряда (среднее арифметическое, медиана), позволяют оценить поведение ряда «в среднем». Но это не всегда наиболее полно характеризуют выборку. Чтобы получить полное представление о поведении числового ряда, помимо средних характеристик надо знать характеристики разброса, показывающие, насколько сильно значения ряда отличаются друг от друга, как сильно они разбросаны вокруг средних.

Рассмотрим следующий пример.

Задание 1. Комментарий учителя.

Ученикам открыть файл с заданиями и выбрать лист «Задание 1».

Рассчитаем, сколько деталей изготовил каждый из рабочих за 5 дней.

Вывод: количество деталей одинаково.

Рассчитаем, сколько деталей в день производил в среднем каждый рабочий (среднюю производительность труда). Для этого найдём среднее арифметическое числовых наборов Х и Y.

Производительность труда за день у обоих рабочих тоже одинаковая.

Найдём медианы числовых наборов X и Y.

Медианы тоже получились одинаковые.

На данном примере мы увидели, что с помощью средних характеристик сравнение выполнить не всегда возможно.

Как поступить?

В данном случае критерием сравнения может выступать стабильность работы токарей – у какого токаря количество произведённых им деталей в день менее отличается друг от друга, тот работает стабильнее.

Если количество производимых в день деталей сильно разнится, то в какие-то дни токарь работает не в полную силу, производит меньше деталей, а в какие-то дни навёрстывает упущенное, а это всегда сказывается на качестве продукции.

Стабильность можно оценивать с помощью отклонений элементов числового набора от среднего значения (отклонение – это разность между числом из данного набора и средним арифметическим этого набора)

Пример вычисления отклонений: комментарии учителя.

Логично предположить, что чем меньше будет разброс (отклонения от среднего значения) – тем стабильнее работает токарь.

Но когда набор чисел велик, рассматривать отклонения практически неудобно, нужно описать разнообразие чисел в наборе одним числом.

Попробуем найти сумму отклонений.

Пример вычисления суммы отклонений: комментарии учителя, вывод.

В сумме получилось 0 (т.к. при вычислении «среднего разброса» часть отклонений входит в сумму со знаком «+», часть со знаком «-» и в сумме всегда получается 0). Следовательно, сумма отклонений не может нести информацию о разбросе.

Какой же выход?

Можно суммировать квадраты отклонений (они всегда неотрицательны). Пример вычисления квадратов отклонений: комментарии учителя.

Чем меньше сумма квадратов отклонений, тем меньше разброс чисел относительно среднего значения, тем более стабилен набор.

Итак, рассчитаем сумму квадратов отклонений для нашего примера.

Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 4 «Расчёт суммы квадратов отклонений»

Вывод: первый токарь работает более стабильно, у него меньше сумма квадратов отклонений. Вероятно, работодатель предпочтёт взять на работу его.

В данном примере рабочие работали одинаковое количество дней. А если они количество дней неодинаково?

Тогда стабильность работы каждого можно было бы оценить по величине среднего арифметического квадратов отклонений от среднего значения – дисперсии.

Пример вычисления дисперсии: комментарии учителя.

Рассмотрим следующий пример.

Задание 2. Комментарии учителя.

Ученикам открыть лист «Задание 2» файла с заданиями.

Аналогично заданию 1 рассчитаем, сколько деталей произвёл каждый рабочий и сумму квадратов отклонений.

Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 1-2.

Т.к. токари работали разное количество дней, рассчитаем и сравним дисперсии числовых наборов X и Y.

Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 3.

Вывод: второй токарь работает стабильнее первого.

4. Самостоятельная практическая работа.

Задание 3.

Ученикам открыть лист «Задание 3» файла заданий и выполнить самостоятельную работу.

Подвести итог самостоятельной работы.

5. Итог урока.

Выводы: При сравнении нескольких числовых наборов с одинаковым количеством чисел в наборе в качестве меры сравнения можно взять суммы квадратов отклонений. При сравнении нескольких числовых наборов с различным количеством чисел в наборе в качестве меры сравнения берут дисперсии наборов.

Вопросы. Ответы учеников.

6. Домашнее задание: Приложение 3.

Список использованной литературы

1. В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика», Москва, «Высшее образование», 2009 г.

2. В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике», «Высшее образование», 2009 г.

3. А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов «События. Вероятности. Статистическая обработка данных. 7-9», Москва, «Мнемозина», 2008 г.

1. Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко «Теория вероятностей и статистика», Москва, «Просвещение», 2008 г.

2. Ю.Н. Тюрин и другие. Методическое пособие для учителей. МЦНМО МИОО, м., 2005.

3. Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко «Теория вероятностей и статистика», Москва, «Просвещение», 2008 г.

4. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. ЦОР «Числовые характеристики случайной величины»

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7e9a23a6-3192-11dd-bd11-0800200c9a66/index.htm

16