События и вероятности. Случайные величины, их числовые характеристики. Решение задач на определение вероятности события. Решение задач на определение числовых характеристик случайных величин

ОГБПОУ «НОВГОРОДСКИЙ АГРОТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Инструкционная карта на выполнение

Практического занятия № 8 по дисциплине

«Математика»

Тема: События и вероятности. Случайные величины, их числовые характеристики.

Наименование работы:. Решение задач на определение вероятности события. Решение задач на определение числовых характеристик случайных величин

Норма времени: 6 часов;

Условия выполнения: учебный кабинет;

Оснащение рабочего места: инструкционная карта, калькулятор

Правила по технике безопасности: С правилами техники безопасности на рабочем месте ознакомлены;

Литература: Хрипунова М.Б. Высшая математика. Учебник и практикум для спо М.:Юрайт.2018г.-474с

Уровни усвоения: 1 – 4 задания – 2 уровень

Домашнее, самостоятельное задание – 3 уровень

Теоретическая часть.

1. События и вероятности

Определение. Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А).

Где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А;

n – число всех равновозможных элементарных исходов опыта.

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность любого события

Множество элементов, состоящих из одних и тех же различных элементов и отличающихся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов. Число возможных перестановок из n элементов определяют по формуле:

(читается как эн-факториал)

Размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой:

Сочетаниями из n различных элементов по m называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m определяется формулой:

Примеры:

1. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение: необходимо найти число возможных размещений при n = 10, m = 3

1. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение: найдем число возможных сочетаний при n = 10, m = 3

1. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 наудачу взятых деталей 4 стандартных.

Решение:

Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е.

Определим число исходов, благоприятствующих событию А – «среди 6 взятых деталей 4 стандартных». Четыре стандартные детали из семи можно взять – способами, при этом остальные 6 – 4 = 2 детали должны быть нестандартными. Взять 2 нестандартные детали из 10 – 7 = 3 нестандартных деталей можно – способами. Следовательно число благоприятных исходов равно

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

1. Случайные величины.

Определение. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исходов испытания принимает значения, зависящие от случая.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между значениями этой величины и их вероятностями

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений ее значений на соответствующие вероятности:

Дисперсией, или рассеянием, случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Средним квадратическим отклонением, или стандартным отклонением, случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

Пример: Дискретная случайная величина имеет закон распределения

Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение

Решение:

Практическая часть.

1. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

2. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 голубых и 3 красных шара?

3. В коробке 25 изделий, 15 из них – повышенного качества. Определить вероятность того, что: а) одно из них повышенного качества; б) все три изделия повышенного качества; в) хотя бы одно изделие повышенного качества.

4. Закон распределения дискретной случайной величины Х задан таблицей:

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

1. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа очков, выпадающих при подбрасывании игрального кубика.

2. Монета подбрасывается 4 раза. Случайная величина Х – «число выпадений герба при подбрасываниях». Найти числовые характеристики этой случайной величины.

Домашнее задание:

1. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3 красных, 5 голубых. Наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара разного цвета.

2. Закон распределения дискретной случайной величины Х задан таблицей:

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Самостоятельная работа:

1 вариант.

1. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары разного цвета.

2. Закон распределения дискретной случайной величины Х задан таблицей:

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2 вариант.

1. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

Критерии оценки:

«5» - Правильно решены 2 задания. Допустима одна вычислительная ошибка.

«4» - Правильно решено 2 задания, есть две вычислительные ошибки

«3» - Правильно решено 1 задание.

«2» - Одно задание выполнено, но с ошибками; либо не выполнено ничего