Повышение вычислительной культуры учащихся на уроках математики через систему устных упражнений.

Повышение вычислительной культуры учащихся

Я работаю учителем математики и неоднократно, обращалась к теме «Повышение вычислительной культуры обучающихся», потому что было замечено, чем лучше ученик считает, тем он быстрей и качественней усваивает новые математические темы.

В настоящее время бытует мнение, что вычислительная работа должна стать уделом компьютеров, а человек может отойти от этого рутинного занятия. При этом мы не замечаем, что всё более и более освобождая ученика от вычислений, фактически освобождаем его от умственного развития. “Развитие навыков должно предшествовать развитию ума”. Это сказал Аристотель 25 веков назад.

Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись, как в повседневной жизни, так и во время учёбы в школе.

Вот уже несколько лет я работаю по данной теме, изучая теоретический материал: «Особенности работы по формированию у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков», «Устные вычисления», нахожу и применяю на уроках различные алгоритмы ускоренных вычислений. И прихожу к выводу, что это очень нужно.

Повышение вычислительной культуры способствует развитию интеллектуальных способностей, основных психических функций учащихся, развитию речи, внимания, памяти, помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла, что, в современных условиях не смотря на использование информационно-технологических средств, вычислительные навыки по-прежнему остаются актуальными.

Поэтому, выбрав тему, я решила создать систему различных приёмов для устного счета.

Наблюдения за работой учащихся 5-6 классов, показывают, что учащиеся испытывают трудности в устных вычислениях.

Вычислительные навыки и умения можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления.

О наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждать в правильности полученных результатов.

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка.

Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и его особенности.

В пятом классе у учащихся необходимо закреплять умение выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами. В результате прохождения программного материала пятиклассники должны уметь выполнять основные действия с десятичными дробями; законы сложения и умножения к упрощению выражений; использовать округлять числа до любого разряда; определять порядок действий при вычислении значения выражения.

В шестом классе у учащихся необходимо закрепить умение находить числовое значение выражения с использованием всех действий с десятичными дробями. В процессе изучения материала учащиеся должны уметь использовать признаки делимости на 10, 2, 5 и 3; уметь выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей с различными знаменателями, умножение и деление дробей, совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, применять переместительный и сочетательный законы сложения к упрощению вычислений с дробями, использовать распределительный закон умножения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами, решать пропорции, читать простейшие графики.

В седьмом классе вычислительная техника школьников совершенствуется при выполнении тождественных преобразований над степенями с натуральным показателем, с одночленами и многочленами, при использовании тождеств сокращенного умножения.

В восьмом классе при изучении тем «Рациональные дроби», «Неравенства», «Квадратные корни и квадратные уравнения» широко используются умения учащихся выполнять действия с дробными числами в процессе нахождения числовых значений рациональных выражений, содержащих степени с целыми показателями, решения неравенств, вычисления квадратных корней.

В девятом классе в процессе изучения тем «Квадратные уравнения», «Уравнения и неравенства с двумя переменными», «Системы уравнений и неравенств», «Степень с рациональным показателем» девятиклассники должны свободно владеть навыками действий с рациональными числами.

Учитель должен постоянно следить за тем, чтобы учащиеся закрепляли свои навыки в действиях с многозначными числами, восстанавливали в памяти приемы вычисления. Бывает, что учащиеся хорошо владеют таблицами сложения и умножения. Правильно подписывают цифры, но не понимают механизма действия

Организация устных вычислений на уроках.

Как пишет опытный педагог Зайцева О.П., в своей статье «Роль устного счета в формировании вычислительных навыков и развития личности ребенка»: важность и необходимость устных упражнений доказывать не приходиться. Значение их велико в формировании вычислительных навыков, и совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребенка. Создание определенной системы закрепления и повторения изученного материала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматического навыка. Устные вычисления не могут быть случайным этапом урока, а должны находиться в методической связи с основной темой и носить проблемный характер.

Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Устный счет является одним из основных этапов урока, который, во-первых, должен отвлечь учащихся от перемены и предыдущего урока, во-вторых, подготовить к изучению нового материала или помочь обобщить ранее изученный, в-третьих, активизировать творческую познавательную деятельность учащихся. Всем известно, что интерес к математике – удел немногих. Поэтому одна из миссий устного счета: не отпугнуть тех, кому нравится математика и дать увидеть ее красоту другим. Действительно, начиная с начальной школы и заканчивая выпускными классами, каждый учитель старается вместить в этот небольшой этап урока все составляющие устного счета.

Упражнения в устных вычислениях должны пронизывать весь урок. Их можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе. Особенно хорошо, если наряду с этим, специально отводить 5-7 минут на уроке для устного счета. Материал для этого можно подобрать из учебника или специальных сборников, составить самому учителю. В зависимости от этого определяю место устного счета на уроке. Если устные упражнения предназначаются для повторения материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то их лучше провести в начале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала. Не следует проводить его в конце урока, так как дети уже утомлены, а устный счет требует большого внимания, памяти и мышления. Количество упражнений должно быть таким, чтобы их выполнение не переутомляло детей и не превышало отведенного на это времени урока.

При подготовке к уроку отбираю материал, систематизирую, продумываю переход от одного упражнения к другому. При обдумывании системы заданий и форм организация устного счета не исключается учет индивидуальной подготовки учащихся, склонностей и способностей к устным вычислениям. Но чтобы все учащиеся быстро считали, выполняли простейшие алгебраические преобразования необходимо время для их отработки: 5-7 минут устного счета на уроке недостаточны не только для развития вычислительных навыков, но и для их закрепления, если нет системы устного счета.

Первое время на уроках учащимся для устного счета предлагались обычные карточки типа: найдите сумму чисел 57 и 9, 18 и 13 и так далее или же проводились игры типа «Быстрый счетчик», «Математическое лото». Для слабого ученика это разнообразие приемов недостаточно. Слабому ученику необходимо иметь систему устных упражнений и дома.

Алгоритмы ускоренных вычислений.

На уроках математики в 5-9 классах по соответствующим темам математики я использую различные алгоритмы ускоренных вычислений.

Приведу примеры некоторых из них.

Сложение с перестановкой слагаемых:

72 + 63 + 28 = ?

Заметим, что третье слагаемое является дополнением первого до 100. Мысленно переставим слагаемые и сложим их:

72 + 28 + 63 = 163.

3013 + 74 + 2187 + 126 = ?

Группируем слагаемые попарно:

(3013 + 2187) + (74 + 126) = 5200 + 200 = 5400.

Раздельное поразрядное вычитание:

574 – 243 = ?

Вычитаем из 500 число 200, получим 300. Вычитаем из 70 число 40, получаем 30. Вычитаем из 4 число 3, получаем 1. Ответ: 331.

68 894 – 42 413 = ?

Вычитаем из 68 000 число 42 000, получаем 26 000. Вычитаем из 800 число 400, получаем 400. Вычитаем из 94 число 13, получаем 81. Ответ: 26 481.

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого:

67 – 48 = ?

Добавив к уменьшаемому 1, вычитаем 48 из 68, получаем 20. Отняв из этой разности ранее добавленную единицу, окончательно получаем 19.

67 – 48 = (68 – 48) – 1 = 20 – 1 = 19.

453 – 316 = ?

Уменьшив вычитаемое на 3, вычтем 313 из 453, получим 140. Отняв от этой разности еще 3, найдем 137.

Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел.

Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.

Примеры: (310+8)=2480+64=2544.

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10.

Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Этот способ основан на тождестве.

Умножение на 11:

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

72 * 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792

35 * 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример:

94 * 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение двузначного числа на 111.

Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.

Умножение однозначного или двузначного числа на 37.

Способ основан на равенствах 2• 37=74, 3• 37=111.

Умножение на 5, 25, 125.

Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.

Умножение на 9, 99, 999.

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

Умножение на 75.

Нужно число разделить на 4 и результат умножить на 300.

Умножение на 101.

Чтобы умножить двузначное число на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

Умножение на 1001.

Чтобы умножить трёхзначное число на 1001, надо к этому числу приписать справа это же число.

Умножение чисел, близких к 100 и 1000

Примеры. 245•998=245•(1000-2)=245000-490=244510 (1000-1)=375000-375=374625

Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10

Примеры: 83•87=8•9•100+3•106=10••207=20•21•100+3•7=42021

Умножение двух рядом стоящих чисел

Правило.При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц.

Умножение чисел, оканчивающихся на 1

Правило.При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ.

Деление на 5, 25, 125

Умножить числа соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

Умножение чисел, оканчивающихся цифрой 5

При умножении чисел, оканчивающихся цифрой 5 (одна цифра десятков – чётная, а другая – нечётная), надо к произведению цифр десятков прибавить целую часть половины

Умножение на число, оканчивающиеся на 5:

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило.

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

Примеры:

44 * 5 = (44 : 2) * 5 * 2 = 22 * 10 = 220;

По этой теме я работаю еще не вполне системно, поэтому у меня появилась заинтересованность в поиске новых карточек и игр для развития навыков устного счета. Для устного счета есть интересный математический сборник «Математический тренажер» Жохина В.И. и Погодина В.Н., предназначенный для учащихся 5-6 классов.