Нужна ли в школе математика? (обсуждение статьи, продолжение)

М. А. Цфасман: А что делать в высшем и в послеуниверситетском образовании? — У меня есть большой опыт, конечно, и в этом. Первое положение, которое в математическом высшем образовании нанесло огромный ущерб, — это тезис, который тоже исходит в основном от французов. Я его усвоил от моего друга Жан-Пьера Серра, французского математика, и этот довод состоит в следующем. Серр утверждает: ты13, говорит, неправильно пишешь во многих местах, что математика — часть физики. На самом деле математика к физике (по Серру) не имеет никакого отношения, это совершенно ортогональные науки. Дальше Серр пишет фразу, которую я называю бумерангом, т. е. самоопасной. Эта фраза такова: ``Впрочем, нам, математикам, не следует высказываться по таким философским вопросам, потому что даже лучшие из нас, — ну, ясно, что, когда мы с ним разговаривали, то это он, — даже лучшие из нас способны, высказываясь по таким вопросам, сказать совершеннейшую чушь''. Гильберт в тридцатом году опубликовал статью ``Математика и естествознание'', в которой он написал, что геометрия является частью физики. По этому поводу я в каком-то месте должен был говорить, что два великих алгебраиста, Гильберт и Серр, выступают здесь противоречивым образом. Но мои друзья, в частности Дмитрий Викторович Аносов, ну и другие тоже, мне сказали, что это мое высказывание основано просто на том, что у меня плохо с формальной логикой, я Аристотеля не читал. На самом деле, вывод из этих двух высказываний — вовсе не противоречие, а, логически рассуждая, как этому учат школьников, можно из этих двух высказываний сделать логически строгий вывод. Он состоит в следующем: геометрия не имеет никакого отношения к математике. Это и есть логика французов. Они так решили, и они исключили геометрию из своего образования. В университетском образовании, и в школьном тоже, выкинуты учебники геометрии, и спросить какого-нибудь студента Эколь Нормаль Сюперьер в Париже, например, что-нибудь про поверхность xy = z2 или про плоскую кривую, параметрически заданную уравнениями x = t3 - 3t, y = t4 - 2t2 безнадежно, этому ничему не учат. Учебники Лопиталя, Гурса, Жордана — все эти замечательные учебники, книжки Кляйна, Пуанкаре — все выкинуты из студенческих библиотек. Д. В. Аносов: Адамара. — Адамара тоже. Все выкинуто! Все выкинуто просто потому, как мне объяснили, что это — старые книги, в них заводится вирус, от которого гниет вся библиотека, в том числе гниют книги Бурбаки, разве это можно? Е. В. Юрченко: Я хотела сказать несколько слов по поводу изучения геометрии и учебника Киселева, то, что вы говорили. Я считаю, что в последнее время у учителей есть великолепная возможность использовать разные учебники, и есть очень интересный вопрос о раннем изучении геометрии, вплоть до того, что начинать изучать ее с первого класса, потому что это очень много дает для развития воображения у детей, и настаивать только на возвращении к учебнику Киселева я бы из своего опыта работы не стала. — Я не спорю, может быть, есть и лучшие, чем учебник Киселева, учебники, это вполне возможно. Но, во всяком случае, нужен учебник без этих общенаучных фокусов, без бурбакизма, вот что я имею в виду. А. Ю. Овчинников: Очень маленький вопрос. В Вашей замечательной книжке по обыкновенным дифференциальным уравнениям существует необычайно много всяческих красивых картинок, вообще замечательная книжка, очень интересно и приятно читать. Но, как нетрудно убедиться при помощи очень простого эксперимента, подавляющее большинство Ваших студентов благодаря этой книжке не могут решить даже очень простых дифференциальных уравнений. По-Вашему, как это соотносится с тем, казалось бы, несколько прикладным подходом, который Вы сейчас пропагандируете? — Ну, в применении к лично моим студентам, это просто неправда, у меня есть большой опыт. В конце учебника, в последнем издании, приведена чуть не сотня задач, с вполне серьезными уравнениями, и у меня имеется большой экзаменационный опыт, письменные экзамены, на которых студенты и в Москве, и в Париже прекрасно решают такие уравнения, которые при других курсах решать студенты не могут. И эти уравнения совершенно стандартные, в то же время; это не трудные уравнения, понимаете? Я специально занимался этим вопросом — о требованиях, и я несколько раз писал списки задач, которые надо требовать, чтобы умели решать. Например, у меня есть такая большая статья, не только по дифференциальным уравнениям, по всей математике, которую я писал для Физтеха, но она годится и для математика, относительно того, какие сто задач составляют весь курс математики. Эти сто задач в ``Успехах'' опубликованы, и я очень рекомендую эту статью, ``Математический тривиум''. Это задачи легкие, их много, сто, но они легкие14. Например, первая задача такая: ``Дан график функции. Нарисовать график производной''. Если человек не умеет этого делать, то, хотя бы он умел дифференцировать все многочлены и рациональные функции, он ничего в производных не понимает. Точно таким же образом я вел и дифференциальные уравнения, и у меня имеется опыт, я утверждаю, что, если кто-то по моим учебникам преподавал так, что студенты не умеют решать простейшие уравнения, то это плохой преподаватель. * * *

Недавно мне пришлось столкнуться с задачей, с которой справляются пятилетние дети, но которую не поняла и исказила редакция одного из академических журналов (``Успехи физических наук''). На полке стоят два тома Пушкина. Листы каждого тома занимают 2 см, а каждая обложка — 2 мм. Червь прогрыз от первой страницы первого тома до последней второго. Какое расстояние он прогрыз? Скажу еще несколько слов о задачах. Вот типичный пример задачи, с которой французские школьники легко справляются: ``Доказать, что все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета.'' Вот образец решения: Обозначим через Xn(Y) множество всех поездов системы Y на планете номер n (считая от Солнца, если речь идет о солнечной системе). Согласно таблице, опубликованной CNRS там-то и тогда-то, планета Марс имеет в Солнечной системе номер 4. Множество X4(RER) пусто. Согласно теореме 999-в из курса анализа все элементы пустого множества обладают всеми наперед заданными свойствами. Следовательно, все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета. Обучение математике, как своеобразной юридической казуистике, основанной на произвольно выбранных законах, начинается с самого раннего возраста: французских школьников учат, что любое вещественное число больше самого себя, что 0 — натуральное число, что все общее и абстрактное важнее частного, конкретного. Вместо простых и фундаментальных основ науки, французских студентов быстро специализируют, так что они становятся экспертами в какой-то узкой области своей науки, не зная ничего другого. Уже Леонардо да Винчи отмечал, что любой тупица, занявшись исключительно одной узкой темой, поупражнявшись достаточно долго, достигнет в ней успеха. Он писал это в инструкции для художников, но сам занимался многими разными областями науки. Соседние разделы его записок содержат подробнейшие инструкции для подводных диверсантов (включающие как использование в подводных работах огня, так и рекомендации отравляющих веществ). Впрочем, и в американский школьный тест десятилетиями входила задача: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 дюймов и опущенной на нее высотой, длиной 6 дюймов. Да минет нас чаша сия. Вот еще несколько цитат из старых источников, поясняющих, как сложилась нынешняя грустная ситуация в области образования и нынешняя безграмотность населения. Руссо в ``Исповеди'' писал, что не верил доказанной им самим формуле ``квадрат суммы равен сумме квадратов слагаемых с их удвоенным произведением'' до тех пор, пока не нарисовал соответствующее разбиение квадрата на четыре прямоугольника. Лейбниц объяснял королеве Софии-Шарлотте, желая спасти ее от влияния безбожника Ньютона, что существование Бога легче всего доказывается наблюдением нашего собственного сознания. Ибо если бы наши знания происходили только от внешних событий, то мы никогда не смогли бы узнать универсальные и абсолютно необходимые истины. То, что мы их знаем — и этим выделены среди животных — доказывает, по мнению Лейбница, наше божественное происхождение. Реформируя школьное образование, французы писали в 1880 г.: ``Каждая вещь стоит столько, за сколько ее продают. Какая же будет цена вашему бесплатному образованию?'' Абель жаловался в 1820 г., что французские математики хотят только учить, но ничему не желают учиться. Позже они презрительно писали, что этот бедняк (сочинение которого Академия Наук потеряла) ``возвращался из Парижа в свою часть Сибири, называемую Норвегией, пешком по льду''. Школьное обучение Абеля начал его отец, учивший сына, в частности, что 0 + 1 = 0. Французы и сейчас учат своих школьников и студентов, что каждое вещественное число больше самого себя и что 0 — натуральное число (согласно Бурбаки и Лейбницу, все общие понятия важнее частных). Бальзак упоминает ``длинный и очень узкий квадрат''. Согласно Марату, ``лучшие из математиков — Лаплас, Монж и Кузен: своего рода автоматы, привыкшие следовать определенным формулам, применяя их вслепую''. Впрочем, позже Наполеон сменил Лапласа на посту министра внутренних дел ``за попытку ввести в администрирование дух бесконечно малых'' (я думаю, что Лаплас желал, чтобы счета сходились до копейки). Американский президент Тафт заявил в 1912 году, что сферический треугольник с вершинами в Северном полюсе, в Южном полюсе и на Панамском канале равносторонний. Поскольку в вершинах развеваются американские флаги, он считал ``все полушарие, охваченное этим треугольником'' своим. А.Дюма-сын упоминает ``странную архитектуру'' домов, состоящих ``наполовину из штукатурки, наполовину из кирпичей, наполовину из дерева'' (1856). Впрочем, парижская газета писала в 1911 году, что ``пятая симфония Малера длится час с четвертью без перерыва, так что на третьей минуте слушатели смотрят на часы и говорят себе: еще сто двенадцать минут!'' Наверное, так и было. Следующая история связана с Дубной. Два года назад Академия Линчей15 в Риме отмечала память Бруно Понтекорво, жившего с 1950 года до своей смерти в 1996 г. то в Москве, то в Дубне. Лет за тридцать до смерти он рассказывал, что однажды заблудился (в окрестностях Дубны?) и добрался до дому только подъехав на тракторе. Тракторист, желая быть любезным, спросил: ``А чем вы там в Институте в Дубне занимаетесь?'' Понтекорво честно ответил: ``Нейтринной физикой''. Тракторист был очень доволен беседой, но заметил, похвалив русский язык иностранца: ``Все же у Вас сохраняется некоторый акцент: физика не нейтринная, а нейтронная!'' Рассказывая в Италии эту историю, Понтекорво добавил: ``Я надеюсь дожить до того времени, когда уже никто не будет путать нейтрино с нейтронами!'' Докладчик в Академии Линчей, в Трудах которой я прочел все вышеизложенное происшествие, комментирует это так: ``Сейчас мы можем уже сказать, что предвидение Понтекорво исполнилось: теперь уже никто не знает не только что такое нейтрино, но и что такое нейтрон!"'' ________________________________________ Footnotes . Тот1 Тураев Б.А. Бог Тот. — Лейпциг, 1898. .буду.2 ``Русский Шампольон'' Н.А.Невский расшифровал тангутские иероглифы и восстановил этот забытый язык; он был расстрелян в 1937 году и посмертно реабилитирован в 1957 году. ``Тангутская филология'' удостоена Ленинской премии в 1962 году. .Пифагор3 Историк Диодор Сицилийский пишет: ``Pythagoras learned from Egyptians his teaching about the gods, his geometrical propositions and the theory of numbers, the orbit of the sun.'' (The Library of History, Book I, 96-98). . Евклиду4 У Тота, видимо, место этого постулата занимали несколько эквивалентных ему аксиом. Тот факт, что все они вытекают из одной из них, и был, по-видимому, доказан Евклидом. . народ5 Утверждали даже, будто египетские женщины публично проституировали себя крокодилам (P.J.Proudhon ``De la celébration du dimanche'', 1850). Александр Македонский утверждал, что истоком Нила является река Инд, так как обе эти реки полны крокодилами, а берега их заросли лотосами. Он также считал, что Амударья — это Танаис, впадающий с севера в меотийские болота (т. е. Дон, впадающий в Азовское море) и что Каспийское море соединяется проливом с Бенгальским заливом Индийского океана (и потому не пошел в Китай из Индии). Топология тогда была слабо развита. . него6 Литературные ссылки о Тоте и его последователях можно найти в книге И.С.Дмитриева ``Неизвестный Ньютон'' (Издательство АЛЕТЕЙЯ, СПб, 1999), а кое-что есть уже в ``Федре'' Платона (М., 1989, стр.64). . доказательства7 Первоначальное доказательство Ньютона (1666? г.) было ошибочным, но он понял это через много лет, когда, по совету Галлея, пытался использовать его для получения премии в сорок шиллингов, обещанной в пивной великим лондонским архитектором Реном Гуку и Галлею, пытавшимся доказать эллиптичность орбит. . непригодна8 ``Декартова'' система координат постоянно использовалась древними римлянами при разбивке военного лагеря, чтобы можно было легко найти каждый легион. Следы этой системы координат заметны в топографии латинского квартала Парижа до сих пор. Недалеко от начала координат сейчас имеется магазин ``Jeux Descartes'' (``Игры Декарта''). Впрочем, это название вряд ли можно считать попыткой приписать Декарту заслуги Цезаря: ведь ``jeux des cartes'' — это ``карточные игры'', продающиеся в упомянутом магазине. . иностранцев9 Вот явная формулировка Монтеня: ``Il ne faudra jamais rencontrer quelque idiome du pays (toscan, napolitan, etc.) et de se joindre à quelqu'une des taut de formes. Ne faudra quelqu'un de dire ``Voila d'où il le print''''(``Опыты'', кн. II, гл. XII, стр. 274 издания образца 1588 года). То есть: ``Не надо употреблять выражений чужих языков — тосканского, неаполитанского и т. д., ни следовать какой-либо из многочисленных форм. Не надо, чтобы кто-нибудь сказал бы: ``Вот откуда он это взял!''''. Монтеня также удивляло, что ``куда бы мои соотечественники ни попали, они всегда сторонятся иностранцев'' (кн. III, гл. IX). . следствия10 Лейбниц считал нашу врожденную склонность к дедуктивным умозаключениям доказательством существования Бога, изначально вложившего эту склонность в устройство нашего мозга. Литература по вопросу о борьбе Декарта и Лейбница против индукции и Ньютона приведена в статье ``L'enfance de l'Homme'', Jacques Cheminade, в журнале Fusion, mars-avril 2000, Ed.Alcuin, Paris, p. 44. . пишет11 ``Для французов обман и вероломство — не грех, а способ жизни, дело чести, со времен императора Валентиниана и до сегодняшнего дня.'' (кн. II, гл. XVIII) . другое.12 Французы утверждают, что геометрию и ``тригонометрическую форму'' комплексных чисел (модули, аргументы и т. п.) придумал Арган. Но за много лет до него все это сделал в Дании Вессель (идеи которого повлияли на Абеля). Между прочим, Вессель старался применить гиперкомплексные числа (в сущности, кватернионы) к описанию вращений трехмерного пространства. Повороту на угол вокруг оси bi + cj + dk (b2 + c2 + d2 = 1) соответствует кватернион cos( /2) + sin( /2)[bi + cj + dk]. Половинка в этой формуле имеет огромное топологическое значение, а в физике ею объясняется так называемый спин частиц. . ты13 Французская революция обязала всех граждан обращаться друг к другу только на ``ты'', и нарушителей могли гильотинировать. Так что в Париже этот обычай сохраняется и сейчас. . л\"егкие14 По дошедшим до меня сведениям, профессора Физтеха в среднем справляются с третью из этих задач. . Линчей15 Слово ``Линчей'' означает ``Рысей'': предполагалось, что участники обладают рысьей зоркостью и проницательностью. Галилей, помнится, расписался в толстенном фолианте, где регистрируются члены Академии Линчей, шестым (номер Ньютона в фолианте Лондонского Королевского Общества гораздо больше).