Что изучает математика и для чего изучать математику?

1. Анализ ситуации

Согласитесь, что до тех пор, пока мы не выясним, что изучает математика, изучение ее просто бессмысленно.

Между тем, эти вопросы сегодня не только не решаются, но даже и не ставятся. Мы даже не подозреваем, что экологические кризисы, экономические кризисы, политические кризисы – все они тесным образом связаны с нашим математическим образованием.

Что даёт людям школьный курс математики?

У большинства только и остается, что умение оперировать с числами, а всякие алгебраические и геометрические идеи, не говоря уже о варварских формулах тригонометрии, - весь этот груз вылетает из головы, потому что не применяется в повседневной жизни.

Если математика не употребляется в жизни, то зачем же ее так долго учить? Зачем мучиться с тождественными преобразованиями всяких выражений, решать тучи уравнений и неравенств? Ведь, в конечном счете, все это становится для очень многих балластом.

На этот вопрос отвечают так: «Математика развивает логическое мышление»

Любопытно, что при этом весьма расплывчато понимается как само логическое мышление, так и процесс его развития.

2. Математика и процесс познания окружающего мира.

Рассмотрим коробку с цветными карандашами, в которой карандаши выстроились «радугой».

Первый уровень глубины познания

Мы смотрим на коробку и видим перед собой цветные карандаши разных цветов. Несмотря на различие в цвете, мы способны увидеть их единство-цветность. Именно с позиции цветности они одинаковы, хотя в общем-то разные. Обычно мы говорим о том, что разное – это одно, а одинаковое – это другое. Здесь же мы увидели одинаковое в разном.

Способность интеллекта видеть одинаковое в разном есть метрическое мышление. И оно не обязательно логическое. Разве двухлетний ребенок не может увидеть одинаковое в разном? Может! Значит, уже малыш обладает метрическим мышлением.

Мы получили одинаковость карандашей и одновременно их единичность. Перед нами есть некое количество цветных карандашей, и нам безразлично, что у всех карандашей разный цвет.

Второй уровень глубины познания

Снова смотрим на коробку и отмечаем, что карандаши двух видов цветов: теплых цветов и холодных. Образовалось две группы карандашей. Внутри каждой группы своя одинаковость. А между группами уже есть связь: связь между количествами двух тонов.

Мы видим, что возникает совершенно новое качество и это качество показывает неоднородность группы цветных карандашей. В однородной группе произошел раскол. Был ли он раньше? Конечно же, был! Мы не обращали на него внимания, а теперь углубили свое рассмотрение и получили связность группы, или распад единой группы на две части.

Способность интеллекта видеть связанное в несвязном выражает уже топологическое мышление, и оно пришло к нам после метрического, потому что произошло развитие нашего интеллекта: мы увидели то, чего не видели раньше.

Может ли малыш увидеть связь между двумя предметами, поставив их в пару? Разумеется, может, но начинать надо с двух половинок одного предмета, в которых связь видна сразу. Постепенно мы переходим к совершенно разным предметам и все-таки находим связь.

Мы получили пары из предметов, которые выражают эту связь. Множество таких пар называется соответствием.

Существуют ли в окружающем мире связи? Все ли они настолько прозрачны что мы их сразу обнаруживаем? Ну, это вряд ли. Некоторые связи и до сих пор не обнаружены. Нужно ли учить обнаружению связей? Конечно, нужно, ибо это открывает путь к пониманию вещей, явлений и процессов.

Третий уровень глубины познания

Вот мы смотрим на цвета красный и оранжевый и думаем о тех карандашах, которые можно поместить между ними, чтобы по ним, как по мосту, перейти от красного к оранжевому. Сколько нужно вставить таких карандашей? Чем больше вставим, тем лучше будет виден переход цвета. Вставленные карандаши суть детали перехода, слагаемые перехода, этапы перехода. А ведь такие переходы можно сделать между каждой парой и превратить ее в последовательность.

Мы обнаружили еще одно качество: скрытое движение от одного цвета к другому. Это движение породило соединение членов последовательности в единое целое – переход из цвета в цвет, который стоит рядом. Такое качество называется сложенностью или сложностью. Наша коробка оказалась сложенной из таких последовательностей.

Способность замечать сложность называется аналитическим мышлением. Мы еще больше продвинулись в интеллектуальном развитии: мы стали обнаруживать не только связь, но и движение.

Может ли ребенок обнаружить движение, соединяя несколько частей в единое целое? Разумеется, он это делает. Но ведь соединение разных частей в единое целое называется интегрированием. Так что же, двухлетний малыш способен интегрировать и при этом не видеть символа интеграла? Да, это так: налицо досимволическое представление процесса интегрирования.

Четвертый уровень глубины познания

Заметить движение как переход от цвета к цвету оказалось довольно трудно. Еще труднее из всех цветов карандашей найти только три самостоятельных цвета, которые показывают весь процесс движения цвета. Такая цветовая основа представления цвета подобна тройке (точка; прямая; плоскость) в представлении геометрии на плоскости. Подобна она тройке (1; 10; 100) в представлении любых натуральных чисел в классе единиц. Можно привести еще много примеров такой основы.

В цвете такой основой является тройка (красный; желтый; синий). Можно легко показать сложение цвета: красный+желтый=оранжевый, желтый+синий=зеленый, красный+желтый+синий=коричневый. Но намного интереснее это отношения: (красный; желтый) и (желтый; синий). Они представляют собой два качественных перехода и полностью определяют механизм движения цвета.

Система отношений называется структурой. В частности, в известном нам аксиоматическом методе построения математики также выделяются основные элементы (первичные понятия) и система отношений между ними (аксиом). Аксиоматический метод есть не что иное, как структурный способ построения математического знания.

Система отношений (красный; желтый) и (желтый; синий) представляет собой структуру механизма движения цвета. Именно структурная математика и проявляется во множественной математике, и родилась она для того, чтобы мы понимали не только движение, но и механизм самого движения, его структуру.

Способность интеллекта находить базовые элементы и систему отношений между ними называется структурным мышлением. Мы видим насколько глубже структурное мышление, чем аналитическое. Если вы попробуете проструктурировать конечное количество в двоичной системе счета, то сразу придете к представлению этого количества двоичными разрядами, причем сами разряды будут составлять некоторые блоки, построенные из этого количества.

Ребенок, наученный структурировать, сразу приходит к натуральному числу с помощью только количественных отношений. Цифрой становится количество блоков одинакового формата или, другими словами, это – сенсорный подход к пониманию натурального числа.

Структурная математика (различные математические пространства, алгебраические и топологические формы) кажется недоступной только из-за языка ее представления. Но она нужна и важна: только она способна указать нам механизмы движения, которые нельзя уведеть в самом движении.

Теперь мы хотим конструировать любой цвет по собственному заказу.

Пятый уровень глубины познания

Теперь нам предстоит решить весьма трудную задачу: сконструировать цвет за некоторое конечное количество шагов. С одной стороны, мы всегда можем найти различные цвета и наложить их друг на друга. Но насколько затянется такой процесс, сказать трудно.

Однако, есть люди, которые способны сделать это очень быстро и без всяких алгоритмов - это художники. Ведь они «чувствуют» цвет или подбирают по интуиции. Умение чувствовать или мыслить интуитивно при принятии наилучшего решения необходимо уже сегодня.

Выбраться из-под пресса традиционного математического образования удается далеко не каждому. Ведь для этого нужно самостоятельно для себя строить математику. Можно себе представить, насколько нужно любить математику, чтобы видеть за толстой шкурой ее символических средств ее нежную душу. К сожалению, учителя математики часто лишены такой любви и способны передавать именно «шкуру», надевая ее на природное мышление и закомплексовывая это мышление.

Конструирование всегда является процессом творческим, который максимально раскрывает творческий потенциал. Этот процесс нельзя заменить чисто алгоритмическим построением, потому что интуитивное решение значительно чаще бывает лучше любого найденного алгоритмическим путем.

Идея конструирования крайне слабо реализована в школе, ибо ученики не конструируют задачи, не конструируют познавательные средства (счеты, линейки и так далее). Гораздо больше уделяется внимания тем технологическим процессам, которые могут делать компьютеры.

Шестой уровень глубины познания

Для любого цвета, сконструированного из других цветов, всегда найдется место в коробке. Причем этому цвету будет предшествовать определенный цвет, и за ним будет следовать некоторый цвет. Умение представлять любой объект как переход от предыдущего к последующему связан с проблемой прогнозирования.

Любая вещь всегда является предшественником чего-либо. Однако увидеть это можно только благодаря систематизации.

Системное мышление отражает нам логику развития вещей, свойств и отношений.

Итак, на примере простой коробки с цветными карандашами мы увидели шесть качественных состояний содержания любого объекта:

однородность-связность-сложность-структурность-конструктивность-системность.

Мы отражали эти качественные состояния содержания, не пользуясь никакими логическими средствами. Такое познание называется чувственным или сенсорным.

Если бы мы пользовались логическими средствами, то такое познание называлось бы логическим. В этом случае мы разрабатываем математическое знание.

3. Что должно формировать и развивать математическое образование.

Понятно, что чем сложнее содержание объекта, тем труднее его отражать логически. Как мы увидели на коробке с цветными карандашами, проще всего отражать однородность. Логическими инструментами отражения однородности являются следующие тройки: (мера: измерение; число), (отношение; координация; числовая функция) и так далее.

Указанная числовая математика представляет собой слабейшее средство логического отражения, предназначенное для количественного моделирования. В психологии и в социологии любые такие средства представляют в самом лучшем случае числовые вероятностные и статистические модели.

Куда более сильным средством является структурная математика, связанная со множествами и их структурированием. Работая с содержанием объекта как развивающейся структурой, такая математика способна сделать очень многое. В частности, она способна спроектировать непрерывное математическое образование, в основу которого будет положена именно современная математика.

Рассматривая математику в форме науки о развивающихся структурах, мы видим неограниченные возможности ее приложения. В самом деле, мелодия является развивающейся звуковой структурой, рисунок является развивающйеся графической структурой, даже движения тела и то можно представить развивающейся структурой.

Идея развивающейся структуры, примененная к счету, немедленно приводит к структурированию количества в двоичном, троичном и пятеричном базисах. Рассмотрение слова как развивающейся структуры приводит к структурированию слова и пониманию развития слова как структуры.

Вот почему цель и содержание математического образования – научить структурировать и видеть движение структуры. Ребенок познает мир через его структуризацию, которая приходит на смену разделенному предметному знанию.

Вѝдение математики как науки о разработке логических средств мышления, как науки о моделировании обнажает ее прикладную суть, и с этой точки зрения она является прикладной наукой, полезной при любом содержании объекта. Вѝдение математики как науки о развивающихся структурах показывает ее фундаментальный смысл.