Атому Бора сто пять лет

Жил-был на свете электрон, Он в атом Бора был включен, Орбита его вкруг ядра пролегла — Такие-то, братцы, там были дела. (Из студенческого фольклора)

Сто лет назад увидела свет знаменитая статья датского физика Нильса Бора «О строении атомов и молекул». C этой работы началась история квантовой механики.

В июле 1913 года 27-летний приват-доцент Копенгагенского университета Нильс Хенрик Давид Бор опубликовал статью On the Constitution of Atoms and Molecules, ставшую одним из крупнейших достижений теоретической физики (Philosophical Magazine. 1913. V. 26. P. 1–25; cм. также в русском переводе: "О строении атомов и молекул"). Эта работа придала физический смысл модели атома с массивным заряженным ядром, которую двумя годами ранее предложил Эрнест Резерфорд. Там также было впервые рассмотрено движение материальных частиц (в данном случае, электронов) на основе теории квантов, которую до того использовали лишь для описания электромагнитных излучений и вычисления теплоемкости твердых тел. Подобные движения со времен Ньютона изучала самостоятельная наука — классическая механика. Бор открыл путь к созданию принципиально новой механики, которую позднее стали называть квантовой.

Контекст эпохи

Сто лет назад физика стояла перед необходимостью осмыслить множество экспериментальных данных, которые не поддавались разумной интерпретации в рамках ньютоновской механики и максвелловской электродинамики. Требовались принципиально новые идеи, а они, увы, запаздывали.

В краткосрочной ретроспективе всё началось с двух почти одновременных открытий — радиоактивности и электрона (1897). Классическая физика не могла объяснить, какое место занимает электрон в структуре материи, почему заполненное электронами вещество сохраняет стабильность и по какой причине уран и еще некоторые элементы непрерывно испускают эманации трех видов (без особых хитростей поименованные тремя первыми буквами греческого алфавита). В 1903 году Резерфорд и Фредерик Содди (Frederick Soddy) осознали, что эти излучения требуют особого вида энергии, которую они назвали атомной (см.: E. Rutherford and F. Soddy. Radioactive Change // Philosophical Magazine. 1903. V. 5. P. 576–591). Однако природа этой энергии оставалась загадочной.

В 1906 году Резерфорд, который тогда работал в Канаде, обнаружил, что в результате столкновения с веществом альфа-частицы подчас изменяют траекторию полета. Три года спустя, перебравшись из Монреаля в Манчестер, он поручил своим помощникам Иоганнесу Гейгеру (Hans Geiger) и Эрнесту Марсдену (Ernest Marsden) изучить этот эффект, наблюдая отражение альфа-излучения от поверхности тончайшей золотой фольги (толщиной 0,4 микрометра). Они установили, что альфа-частицы, против всех ожиданий, могут отражаться на большие углы, в редких случаях даже превышающие 90 градусов (см.: H. Geiger and E. Marsden. On a Diffuse Reflection of the α-Particles // Proceedings of the Royal Society A. 1909. V. 82. P. 495–500). После длительных раздумий Резерфорд интерпретировал эти результаты как свидетельство того, что почти вся масса атома сосредоточена в положительно заряженном центральном теле очень небольшого объема. 7 марта 1911 года он доложил свои выводы на заседании Манчестерского литературно-философского общества и уже в мае представил их в отдельной статье (см.: E. Rutherford. The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom // Philosophical Magazine. 1911. V. 21. P. 669–688). В этой же работе он вывел формулу для дифференциального сечения рассеяния нерелятивистских заряженных частиц, движущихся в кулоновском поле неподвижного заряда, которая теперь носит его имя.

Резерфорд вполне реалистически оценил размер носителей атомной массы — примерно одна стотысячная поперечника самого атома. Сначала он не предложил для этих тел специального имени, но позднее назвал их атомными ядрами. При этом он вовсе не утверждал, что электроны описывают замкнутые орбиты вокруг ядра наподобие планет, обращающихся вокруг Солнца. Резерфорд прекрасно понимал, что, в соответствии с классической электродинамикой, вращающиеся электроны должны были бы непрерывно излучать электромагнитные волны и по спирали падать на ядро. В популярной литературе (впрочем, и не только в ней) модель Резерфорда иногда называют планетарной, что исторически неверно — таковой она сделалась только в интерпретации Бора.

Резерфордовская модель атома стала первым шагом к пониманию природы радиоактивности. Сто лет назад уже было известно, что альфа-частицы — это ядра гелия, бета-частицы — быстрые электроны, а гамма-лучи — высокоэнергетичные кванты электромагнитного излучения. Сейчас мы знаем, что все они рождаются в ходе ядерных превращений, но тогда наука до этого еще не дошла. Сам Резерфорд уже и тогда полагал, что альфа-лучи вылетают из атомных ядер, поскольку другого способа появления этих массивных частиц попросту не видел, однако источником бета- и гамма-лучей считал не ядро, а его электронное окружение. Следующий шаг к пониманию природы радиоактивности сделал Бор — всё в том же 1913 году.

Загадки спектральных формул

У классической физики также имелись нерешенные проблемы с более почтенной историей, нежели радиоактивность и стабильность атома. К ним, в общем-то, привыкли и не считали чем-то катастрофическим, но они от этого не исчезали. Одна из них возникла в ходе развития спектроскопии. Еще в начале XIX века в спектре натрия были замечены яркие желтые линии. Позже множество отдельных линий нашли и в спектрах других веществ. Такую дискретность излучений классическая физика опять-таки не объясняла (если не считать отдельных экзотических гипотез, которые мало кто принимал всерьез).

Особенно ярко эта проблема высветилась в середине XIX века, когда швед Андерс Ангстрем (Anders Jonas Ångström) и немец Юлиус Плюккер (Julius Plücker) с очень высокой для своего времени точностью измерили длины волн всех четырех линий водородного спектра, лежащих в оптическом диапазоне (то есть в видимом свете). Их результаты буквально заворожили Иоганна Бальмера (Johann Jakob Balmer), преподавателя физики в базельской женской гимназии и приват-доцента тамошнего университета. После многолетних поисков он подобрал формулу, которой подчинялась эта четверка чисел. Она была очень простой, но для тогдашней физики несколько странноватой. Единственной переменной там служил квадрат целого числа m, большего двух. При подстановке значений m, равных 3, 4, 5 и 6, формула непонятно почему выдавала длины волн линий, измеренных Ангстремом и Плюккером. И чудеса на этом не закончились. Знакомый профессор физики сообщил Бальмеру, что астрономы промерили еще десяток водородных линий, лежащих в ультрафиолетовой части спектра. Их длины волн послушно встали в строй — им соответствовали значения m в диапазоне от 7 до 16.

Бальмер опубликовал свои результаты в 1885 году (к слову, в том же году родился Бор). Вскоре было показано, что его формулу нетрудно обобщить, если ее записать не для длин волн, а для частот. Тогда она выглядит как ω = R(1/n₁² – 1/n₂²), где n₁ и n_{2 —} целые числа, причем второе больше первого, ω — частота излучения, а константа R имеет размерность 1/сек. Это соотношение называют формулой Ридберга (иногда Бальмера–Ридберга), а R — постоянной Ридберга (Rydberg constant). Частоты линий видимого спектра, вычисленные самим Бальмером, получаются из нее при n₁ = 2, и n₂ от 3 до 16. При n₁ = 1 она рождает частоты линий ультрафиолетового диапазона, выявленные в 1906–14 годах американским спектроскопистом Теодором Лайманом (Theodore Lyman). При n₁ = 3 формула выдает линии инфракрасного спектра водорода, которые в 1908 году открыл профессор Тюбингенского университета Фридрих Пашен (Louis Karl Heinrich Friedrich Paschen). Известны также спектральные серии водорода, соответствующие еще большим значениям n₁, которые тоже прекрасно описываются формулой Ридберга.

К началу прошлого века эта формула вошла в учебники на правах чисто эмпирической зависимости. Ее объяснение стало ключевым успехом модели Бора.

Дорога к квантам

В 1903 году Нильс Бор поступил в Копенгагенский университет, где в декабре 1909 года получил степень магистра физики, а 13 мая 1911 года защитил докторскую диссертацию. Обе работы были посвящены электронной теории металлов, разработанной Паулем Друде (Paul Drude) и Хендриком Антоном Лоренцем (Hendrik Antoon Lorentz). Эта теория побудила Бора усомниться в способности классической физики объяснить свойства твердого тела, но до квантовых идей он тогда еще не добрался.

Став доктором наук, Бор получил годичную стипендию для работы за границей и в сентябре отправился в Кавендишскую лабораторию Кембриджского университета. Правда, у него не сложились отношения с ее директором, первооткрывателем электрона и Нобелевским лауреатом Джозефом Джоном Томсоном, так что пребывание в Кембридже особой пользы не принесло. Однако в ноябре он отправился в гости к другу покойного отца (кстати, известного физиолога и номинанта Нобелевской премии Христиана Бора) в Манчестер, где познакомился с Резерфордом. Тот пригласил молодого датчанина в свою лабораторию, где Бор и пробыл с марта 1912 года до конца июля.

Этот переезд радикально изменил его будущее. Он из первых рук ознакомился с моделью Резерфорда и задумался о том, как привязать электроны к ядру, не нарушая стабильности атома. Сначала он предположил, что электроны связаны с ядром упругими силами и потому вибрируют около него, как шарики на пружинке. Эта модель оказалась неудачной, но вывела Бора на квантовую физику.

Согласно теории Планка (Max Planck), энергия «атомного вибратора» равна целому числу n элементарных порций, квантов, причем энергия кванта задается произведением постоянной Планка h (см. также Planck constant) на частоту колебаний вибратора ω (то есть энергия вибратора Е = nhω). Бор уверовал в эту теорию и принялся искать новые способы связать ее с резерфордовской моделью.

Планетарная модель

Бор еще в Манчестере пришел к заключению, что теоретическое обоснование резерфордовской модели атома возможно лишь за рамками классической физики. Эта идея прочитывается в памятной записке, которую он отправил Резерфорду перед возвращением в Данию. Бор пока на знал, как это сделать, но уже не сомневался, что без теории квантов не обойтись.

В Копенгагене Бор не прекращал обдумывать возможные объяснения структуры атома. В начале февраля он поделился своими идеями с молодым физиком Хансом Хансеном (Hans Marius Hansen), изучавшим спектроскопию в Геттингенском университете. Тот поинтересовался, нельзя ли на их основе объяснить спектральные формулы. Тут-то Бор вспомнил формулу Бальмера–Ридберга, которую, возможно, когда-то видел в учебнике, но прочно позабыл (позднее он утверждал, что до беседы с Хансеном вообще о ней не слышал, но это весьма сомнительно). Как бы то ни было, Бор понял, что эту формулу можно вывести с помощью дополнительной гипотезы, связывающей орбитальную энергию электрона с постоянной Планка. Уже 6 марта он послал Резерфорду рукопись статьи с изложением своих выводов, которая потом и была опубликована в журнале Philosophical Magazine.

Уравнения Бора до смешного просты, а их следствия — невероятно глубоки. Сначала он выписал классическую формулу, связывающую частоту обращения единичного электрона вокруг неподвижного атомного ядра с минимальной энергией W, необходимой электрону, чтобы разорвать связь с ядром (она называется энергией ионизации). Для круговой орбиты она выводится с помощью школьной физики: ω = 2^1/2W^3/2/πeEm^1/2 (где ω — частота, e и E — соответственно заряды электрона и ядра, m — масса электрона). Затем Бор формулирует свою генеральную гипотезу: W = nhω/2 (половинка появилась по техническим причинам, которые можно опустить). Отсюда сразу следует, что W = 2π²me²E²/n²h², то есть энергия ионизации электрона обратно пропорциональна квадрату целого числа. Бор вычислил также и диаметр орбиты электрона, где этот же квадрат вынесен в числитель. Такие вычисления не составят труда для семиклассника, причем отнюдь не отличника.

Каков же итог? Бор ввел в свою модель классические орбиты электрона, но ограничил их набор с помощью квантовой гипотезы. Вот и получилось, что множество устойчивых электронных орбит хоть и бесконечно, но дискретно. Каждая из них имеет определенный номер n, он же квантовое число — 1, 2, 3 и далее до бесконечности. Чем больше n, тем дальше электрон от ядра. Эти орбиты Бор назвал стационарными состояниями.

Затем Бор формулирует два «принципиальных допущения», которые теперь называют постулатами. Согласно первому постулату, стационарные состояния можно описать посредством классической механики, но переходы между ними подобного описания не допускают. Второй постулат утверждает, что при самопроизвольном переходе электрона с одного стационарного состояния на другое испускается порция однородного (на современном языке — монохроматического) излучения, чья частота связана с энергией формулой Планка. В следующем абзаце Бор специально отметил, что эти постулаты противоречат классической электродинамике, но необходимы для объяснения экспериментальных фактов.

После этого Бор перешел к собственно атому водорода. Есть все основания считать, утверждает он, что этот атом состоит из ядра и одного-единственного электрона (к слову, это еще не было общепринятым). Поэтому для описания его электронных состояний можно использовать только что выведенные формулы, если принять заряд ядра E равным заряду электрона e. В этом случае формула Ридберга оказывается прямым следствием боровской модели!

Разность между энергиями ионизации стационарных состояний с номерами n₁ и n₂ записывается как 2π²me⁴/h²(1/n₁² – 1/n₂²). Согласно второму постулату, при переходе из состояния n₂ в состояние с меньшим квантовым числом n₁ испускается квант именно с такой энергией, которая в то же время равна его частоте, умноженной на постоянную Планка. Отсюда следует, что сама частота ω = 2π²me⁴/h³(1/n₁² – 1/n₂²). Это и есть формула Бальмера-Ридберга, где константа R равна 2π²me⁴/h³. Если сюда подставить численные значения массы и заряда электрона и постоянной Планка, получится, что R = 3,1 × 10¹⁵ 1/сек. Бор также вычисляет радиус ближайшей к ядру стационарной орбиты с квантовым числом n = 1, равный 0,55 × 10^–8 см (сейчас его называют боровским радиусов водородного атома).

Бор продемонстрировал объяснительную силу своей модели и другим способом. В конце XIX века гарвардский астроном Эдвард Чарльз Пикеринг (Edward Charles Pickering) обнаружил в излучении звезды Дзета Кормыспектральную серию, которая по структуре напоминала линии водорода, но не описывалась формулой Ридберга. В 1912 году те же линии промерил в лаборатории лондонский физик Альфред Фаулер (Alfred Fowler). Бор понял, что эти линии принадлежат атому гелия, лишенному одного электрона, то есть одноэлектронному иону этого газа. Тогда в формуле для частот излучения надо положить, что заряд ядра вдвое больше заряда электрона, отчего все частоты умножаются на 4 по сравнению с аналогичными частотами водорода. Это объяснение оказалось стопроцентно верным.