17.04.2020 р. 9 клас. Геометрія. Повторення. Чотирикутники. Властивості та площі чотирикутників.

Чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

Властивості паралелограма. 1. Протилежні сторони паралелограма рівні: AB=DC, BC=AD.

2. Протилежні кути паралелограма рівні: ∠A= ∠C, ∠B= ∠D.

3. Діагоналі паралелограма діляться навпіл точкою перетину: BO=OD, AO=OC.

4. Діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники: ABC і CDA.

5. Сума кутів, прилеглих до кожної сторони паралелограма, дорівнює 180°. ∠A + ∠D = 180°.

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості ромба

Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма.

1. Протилежні сторони ромба рівні: AB=BC=CD=AD (оскільки всі сторони рівні)

2. Протилежні кути ромба рівні: ∠A= ∠C, ∠B= ∠D.

3. Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл: BO=OD, AO=OC.

4. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба, дорівнює 180°: ∠A + ∠D=180°.

Особливі властивості ромба. 5. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні: AC ⊥ BD.

6. Діагоналі ромба є також бісектрисами його кутів (ділять кути ромба навпіл).

Ознаки прямокутника

За допомогою цих ознак можна визначити, чи є паралелограм або чотирикутник прямокутником.

1. Якщо три кути чотирикутника прямі, то такий чотирикутник є прямокутником. 2. Якщо один кут паралелограма прямий, то такий паралелограм є прямокутником. 3. Якщо діагоналі паралелограма рівні, то такий паралелограм є прямокутником.

Ознаки квадрата

За допомогою цих ознак можна визначити, чи є прямокутник або ромб квадратом.

1. Якщо дві суміжні сторони прямокутника рівні, то такий прямокутник є квадратом. 2. Якщо один із кутів ромба прямий, то такий ромб є квадратом. 3. Якщо діагоналі ромба рівні, то такий ромб є квадратом.

7. Діагоналі ділять ромб на чотири рівні прямокутні трикутники.

Трикутники ABO, CBO, CDO, ADO — рівні прямокутні трикутники.

6. Різносторонні кути при діагоналі рівні: ∠BAC= ∠ACD, ∠BCA= ∠CAD.

Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Паралельні сторони трапеції називають основами, а не паралельні - бічними сторонами.

Висотою трапеції називають перпендикуляр, опущений з будь - якої точки прямої, яка містить одну з основ, на пряму, що містить другу основу.

Види трапеції: рівнобічна або рівнобедрена, прямокутна.

Середньою лінією трапеції називають відрізок, який сполучає середини її бічних сторін. Її властивість: середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює половині їхньої суми.

Площа довільного паралелограма. Площа паралелограма дорівнює добутку висоти і сторони, до якої проведена висота.

Якщо позначити сторону через a, висоту через h, тоді: S_пар-ма = a⋅h.

Площа ромба

Діагоналі ромба в точці перетину діляться навпіл, вони перпендикулярні і ділять ромб на чотири рівних прямокутних трикутника.

Формула визначення площі ромба: площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей.

Ця формула справедлива для визначення площі будь-якого чотирикутника, якщо його діагоналі перпендикулярні.

Оскільки діагоналі квадрата рівні, тоді для визначення площі квадрата у формулі достатньо довжини однієї діагоналі: S_{квадрата}=d²/2.

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ і висоти. Знаючи середню лінію трапеції, площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії та висоти.

Домашнє завдання. Скласти короткий конспект матеріалу з підручника геометрії 8 клас параграфи 1, 4. Виконати вправи:

1. Чи вистачить 5 т гороху, щоб засіяти ним поле, яке має форму прямокутника зі сторонами 500 м і 400 м, якщо на 1 га треба висіяти 260 кг гороху?

2. Знайдіть площу паралелограма, сторони якого дорівнюють 15 м і 25 м, а одна з діагоналей перпендикулярна до меншої сторони.