30.04.2020 р. 9 клас. Алгебра. Повторення. Розв’язування квадратних рівнянь, та рівнянь, що зводяться до квадратних

Квадратним називається рівняння вигляду ax² + bx + c = 0, де х — змінна, а, b і c — деякі числа-коефіцієнти, при цьому a ≠ 0. Ліва частина такого рівняння містить многочлен, який називається квадратним тричленом.

Коефіцієнт a при x² називається першим коефіцієнтом; коефіцієнт b при x називається другим коефіцієнтом; число c називається вільним членом.

Квадратне рівняння називається зведеним, якщо перший коефіцієнт його дорівнює одиниці. Будь-яке квадратне рівняння можна звести до зведеного рівняння, поділивши його ліву і праву частини на перший коефіцієнт.

Якщо у квадратного рівняння другий коефіцієнт або вільний член дорівнюють нулю, то рівняння стає неповним.

Якщо і другий коефіцієнт, і вільний член дорівнюють нулю, отримаємо рівняння вигляду ax² = 0. Воно має один корінь, який дорівнює нулю.

Якщо вільний член дорівнює нулю, а другий коефіцієнт нулю не дорівнює, отримаємо рівняння вигляду ax² + bx = 0. Для його розв’язання виносимо за дужки x, тоді хоча б один із множників — x або той, що залишився в дужках ax + b — дорівнює нулю. Рівняння має два корені: x = 0 або .

Якщо другий коефіцієнт дорівнює нулю, а вільний член не дорівнює нулю, отримаємо рівняння вигляду ax² + c = 0. Перенесемо вільний член до правої частини рівняння і поділимо на перший коефіцієнт. Одержимо рівняння . Таке рівняння не має коренів, якщо його права частина від’ємна, тобто якщо перший коефіцієнт і вільний член мають однакові знаки. Якщо права частина одержаного рівняння невід’ємна, тобто перший коефіцієнт і вільний член мають різні знаки, то рівняння має два корені: .

Рівняння вигляду ax⁴ + bx² + c = 0, називається біквадратним. Таке рівняння розв’язують, зводячи його до квадратного.

Для цього квадрат змінної x позначають іншою буквою і говорять, що вводять нову змінну. Тоді квадрати змінної x замінюють новою змінною і одержують квадратне рівняння відносно нової змінної. Розв’язують його, знаходячи значення нової змінної. Після цього повертаються до заданої змінної, надаючи по черзі її квадрату знайдених значень. З одержаних рівнянь знаходять значення заданої змінної, які і є коренями рівняння.

Зверніть увагу!

Якщо новою змінною позначають парний степінь заданої змінної, то нова змінна не може набувати від’ємних значень.

До квадратного можна звести рівняння й інших степенів. Наприклад, (х + 1)⁶ – 9(х + 1)³ + 8 = 0.

Позначимо (х + 1)³ = у. Тоді рівняння набуває вигляду: у² – 9у + 8 = 0.

Корені цього рівняння — у₁ = 1 і у₂ = 8.

Якщо у = 1, то (х + 1)³ = 1. Звідки х + 1 = 1, тоді х = 0.

Якщо у = 8, то (х + 1)³ = 8. Звідки х + 1 = 2, тоді х = 1.

Відповідь: 0; 1.

Приклад. Розв’язати рівняння (2х) ⁴ + (2х) ² - 2 = 0.

Розв’язання. Зробимо заміну (2х) ² = t. Тоді дане рівняння зводиться до квадратного рівняння t ² + t - 2 = 0. Звідси t₁ = 1; t₂ = - 2. Тепер треба розв’язати два такі рівняння (2х) ² = -2 та (2х) ² = 1. Перше з них коренів не має. З другого рівняння отримуємо: 2х = 1 або 2х = - 1.

Звідси х₁ = 1/2 та х₂ = -1/2.

Відповідь: -1/2; 1/2.

30.04.2020 р. Скласти конспект матеріалу заняття. Виконати вправу. Розв'язати рівняння. І варіант. ( 2х + 1)⁴ - 10( 2х + 1)² + 9 = 0.

ІІ варіант. (6х - 7)⁴ + 4( 6х - 7)² + 3 = 0.