22.05.2020 р. 7 клас. Геометрія. Повторення. Взаємне розміщення прямих на площині

Два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями, називаються суміжними.

Оскільки ∠AOB = 180° — розгорнутий кут і промінь OC ділить його на дві частини, то∠1+∠2 = 180°.

Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

Зверни увагу! Властивості суміжних кутів

1. Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.
2. Два кути, суміжні з одним і тим самим кутом, рівні.
3. Кут, суміжний і з прямим кутом, також прямий. Кут, суміжний із тупим кутом, гострий. Кут, суміжний із гострим кутом, тупий.

Два кути називаються вертикальними, якщо обидві сторони одного кута є продовженням сторін другого.

Якщо перетинаються дві прямі, то утворюються дві пари вертикальних кутів:∠1, ∠3 і ∠2, ∠4.

За властивістю суміжних кутів ∠1+∠2 = 180° і ∠1+∠4 = 180°. Отже, ∠2 = ∠4.

Також зрозуміло, що ∠1 = ∠3.

Вертикальні кути рівні.

Якщо один із вертикальних кутів прямий, тобто дорівнює 90°, то інші кути також прямі.

Кутом між двома прямими, що перетинаються, називається менший із кутів, що утворилися в результаті перетину цих прямих.

∠ COB — кут між прямими СВ і АВ.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Прямі a і b перпендикулярні. Коротко це позначають так: a⊥b.

Відрізки або промені називаються перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.

Зверни увагу!

Властивість перпендикулярних прямих. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні.

Прямі a і b паралельні. Коротко це позначають так: a∥b.

Ця властивість використовується для побудови паралельних прямих за допомогою лінійки та косинця. Двічі прикладаючи косинець до лінійки, можна провести дві прямі, перпендикулярні до краю лінійки.

Визначення та доведення ознак паралельності прямих на площині. Дві різні прямі, що лежать на одній площині, мають лише одну спільну точку, або не мають жодної спільної точки. У першому випадку говорять, що прямі перетинаються, у другому — що прямі не перетинаються. Дві прямі a і b на площині, які не перетинаються, називаються паралельними і позначаються a∥b. Зверни увагу! Якщо розглядати прямі, які не лежать на одній площині, то можлива ситуація, що прямі не перетинаються, але й не є паралельними. Такі прямі називаються мимобіжними. Два відрізки, промені, промінь та відрізок називають паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.

Назви та властивості кутів, утворених при перетині двох прямих третьою (січною): Нехай пряма c перетинає прямі a і b у двох різних точках. У такому разі кажуть, що пряма c є січною прямих a і b. У результаті такого перетину двох прямих третьою утворюються пари нерозгорнутих кутів, які мають спеціальні назви:

• внутрішні різносторонні кути лежать між прямими a і b по різні боки від січної: ∠3і∠5; ∠2і∠8;
• внутрішні односторонні кути лежать між прямими a і b по один бік від січної: ∠3і∠8; ∠2і∠5;
• відповідні кути лежать по один бік від січної, причому сторона одного з них є частиною сторони другого: ∠1і∠5; ∠4і∠8; ∠2і∠6; ∠3і∠7.

Ці кути допоможуть визначити паралельність прямих a і b. Ознаки паралельності прямих: Якщо при перетині двох прямих січною виконується принаймні одна з умов: 1) внутрішні різносторонні кути рівні; 2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°; 3) відповідні кути рівні, то дані прямі паралельні. Ознака паралельних прямих діє і як властивість паралельних прямих. При перетині двох паралельних прямих третьою січною:

• внутрішні різносторонні кути рівні;
• відповідні кути рівні;
• сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.

Ознаки, які ми розглядали раніше, і властивості, які будемо розглядати далі, доводяться різними способами.

Ознака — це певний факт, завдяки якому ми встановлюємо правильність поданого судження про певний об'єкт.

Якщо при перетині двох прямих третьою (січною), внутрішні різносторонні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

Якщо ми впевнені у правильності судження, ми формулюємо властивість об'єкта.

Якщо дві прямі паралельні, то при перетині їх третьою січною різносторонні кути є рівними.

Аксіома — це істина, яку не потрібно доводити. У кожній науці є свої аксіоми, на основі яких будуються всі подальші твердження та доведення.

Аксіома паралельності прямих

На одній площині із заданою прямою через точку, що не лежить на цій прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній прямій.

Іноді вищезгадану аксіому вважають однією із властивостей паралельних прямих, але на правильності цієї аксіоми будується багато доведень у геометрії.

Інші властивості паралельних прямих

1. Якщо одна з пари паралельних прямих паралельна третій прямій, то й друга пряма паралельна третій прямій.

2. Якщо певна пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу паралельну пряму. Якщо певна пряма c перетинає одну з двох паралельних прямих a, то вона перетинає і другу паралельну пряму b.

Дві прямі, що перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними.

Скорочено це записують так: a⊥b

Відрізки або промені називаються перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.

Теорема (про дві прямі, перпендикулярні до третьої).

Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні.

Твердження теореми ілюструє рисунок. На цьому рисунку a⊥b,a⊥c,b∥c.

Ця властивість використовується для побудови паралельних прямих за допомогою лінійки та косинця. Двічі прикладаючи косинець до лінійки, можна провести дві прямі, перпендикулярні до краю лінійки.

Теорема (про існування і єдиність перпендикулярної прямої) Через будь-яку точку площини можна провести пряму, перпендикулярну до даної, і тільки одну.

Зверни увагу!

Теорема містить два твердження: 1) існує пряма, що проходить через дану точку площини і є перпендикулярною до даної прямої; 2) така пряма єдина.

Перше твердження теореми говорить про існування прямої з описаними властивостями, друге — про її єдиність.

Перпендикуляром до даної прямої, проведеним із точки A, називається відрізок прямої, перпендикулярної до даної, одним із кінців якого є точка А, а другим (основою перпендикуляра) — точка перетину цих прямих.

Відстанню від точки до прямої, яка не проходить через дану точку, називається довжина перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої.

22.05.2020 р. Скласти конспект матеріалу. Повторити § 4 - 10. Виконати вправу № 236.