28.05.2020 р. 7 клас. Алгебра. Повторення. Система лінійних рівнянь

Графічний метод розв'язання систем рівнянь. Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь

{x+2y−5 = 0;,

{2x+4y+3 = 0.

Графіком рівняння x+2y−5 = 0 є пряма. Знайдемо дві пари значень змінних x та y, що задовольняють дане рівняння.

Побудуємо на координатній площині xОy пряму 1, яка проходить через ці дві точки. Графіком рівняння 2x+4y+3=0 також є пряма. Знайдемо дві пари значень змінних x та y, що задовольняють це рівняння.

Побудуємо на координатній площині xОy пряму 2, що проходить через ці дві точки.

Прямі 1 і 2 паралельні. Отже, система не має розв'язків, оскільки немає точок, що задовольняють одночасно і першому, і другому рівнянню, тобто належать одночасно і першій, і другій із побудованих прямих.

Відповідь: система не має розв'язків.

Графічний спосіб розв'язування систем рівнянь громіздкий і дає, як правило, наближені розв'язки. Тому частіше системи розв'язують іншими способами, зокрема способом підстановки.

Щоб розв'язати систему рівнянь способом підстановки, треба:

1. Виразити з якого-небудь її рівняння одну змінну через іншу.

2. Підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної отриманий вираз.

3. Розв'язати утворене рівняння з однією змінною.

4. Знайти відповідне значення іншої змінної. 5. Записати відповідь.

Приклад:

Розв'язати систему рівнянь:

{x−2y = 3,

{5x+y = 4.

1) З першого рівняння системи виражаємо змінну x через змінну y. Отримуємо: x−2y = 3, x = 3+2y.

2) Підставимо отриманий вираз замість змінної x у друге рівняння системи: 5⋅x+y = 4, 5⋅(3+2y)+y = 4.

3) Розв'яжемо утворене рівняння з однією змінною, знайдемо y: 5⋅(3+2y)+y = 4, 15+10y+y = 4, 10y+y = 4−15, 11y = −11,|:11 y = −1.

4) Знайдемо відповідне значення змінної x, підставивши значення змінної y, у вираз знайдений в першому кроці: x = 3+2⋅y, x =3+2⋅(−1),

x = 3−2, x = 1.

5) Відповідь: (1;−1).

Зверни увагу!

Способом підстановки можна розв’язувати будь-яку систему лінійних рівнянь із двома змінними, але найзручніше його використовувати, коли коефіцієнт при будь-якій змінній у рівнянні дорівнює 1.

Зверни увагу!

Іноді можна підставляти з одного рівняння системи в інше не значення окремої змінної, а значення цілого виразу:

{x−2y=3,

{5(x−2y)+y=20.

Можна значення x−2y з першого рівняння підставити у друге, отримавши рівняння з однією змінною: 5⋅3+y=20.

Алгоритм розв'язання системи двох лінійних рівнянь із двома змінними методом алгебраїчного додавання.

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь методом додавання, треба:

1) Дібравши «вигідні» множники, перетворити одне чи обидва рівняння системи так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами.

2) Додати почленно ліві й праві частини рівнянь, отриманих в першому кроці.

3) Розв’язати рівняння з однією змінною, отримане в другому кроці.

4) Підставити знайдене в третьому кроці значення змінної в будь-яке з рівнянь вихідної системи.

5) Обчислити значення другої змінної та записати відповідь.

Приклад:

Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь

{3x− = 9,

2x+y = 11.

Розв'язання.

1. Коефіцієнти при змінній y є протилежними числами тому додаємо почленно ліві й праві частини рівнянь.

+{3x−y = 9;

{2x+y = 11

(3x−y)+(2x+y) = 9+11; 3x−y+2x+y = 20; 5⋅x = 20; x = 20:5; x = 4.

2. Підставимо знайдене значення x у друге рівняння системи і знайдемо y.

2⋅x+y = 11; 2⋅4 + y = 11; 8+y = 11; y = 11− 8; y = 3.

Відповідь: (4;3).

Завдання 2. Розв'язати систему рівнянь:

{5x+6y = 0,

3x+4y = 4.

Розв'язання.

1. У даній системі немає протилежних або рівних коефіцієнтів, тому, щоб позбутися змінної x, помножимо перше рівняння на 3, а друге на 5 і віднімемо почленно друге рівняння від першого.

{5x+6y = 0,|⋅3 −{15x+18y = 0

{3x+4y = 4;|⋅5 ⇔ 15x+20y = 20;

(15x+18y)−(15x+20y) = 0−20, 15x+18y−15x−20y =−20, −2⋅y = −20, y =−20:(−2), y = 10.

2. Підставимо знайдене значення y в перше рівняння системи і знайдемо x.

5x+6y = 0, 5x+6⋅10 = 0, 5x+60 = 0, 5x = −60, x = −60:5, x = −12.

Відповідь: x = −12, y = 10.

Зверни увагу!

Цей метод заснований на такому твердженні: якщо одне з рівнянь системи замінити на рівняння, отримане шляхом додавання лівих і правих частин рівнянь системи, то отримана система буде мати такі ж розв’язки, що й початкова.

Метод заміни змінних, що використовується для розв'язування рівнянь, застосовують і для розв'язування деяких систем рівнянь.

28.05.2020 р. Повторити матеріал з алгебри 7 класу § 1 - 27.