19.05.2020 р. 5 клас. Повторення. Натуральні та дробові числа. Арифметичні дії з натуральними та дробовими числами

Числа, які використовуються при лічбі предметів, називаються натуральними числами. Натуральний ряд чисел є нескінченним. Він записується так: 1, 2, 3,4,5,6,7,. 0 не є натуральним числом. Зазвичай прийнято користуватись позиційною десятковою системою числення. Тобто кожне число може бути записане за допомогою десяти цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), і значення кожної цифри залежить від місця, яке вона займає у записі. Запис натурального числа розбивається на групи справа наліво по три цифри в кожній групі. Кожна з цих груп називається класом, а розміщені вони справа наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйо­нів, клас мільяр­дів, клас триль­йонів і т. д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні. Щоб прочитати число, його запис розбивають справа наліво на класи й називають зліва по черзі число, що стоїть у кожному класі, додаючи назву класу. Не читають назву класу одиниць і тих класів, де всі цифри — нулі. Приклад — двадцять п’ять мільярдів чотириста сім тисяч два­дцять три. Кожне натуральне число можна записати як суму розрядних доданків. Приклад:

Дії над натуральними числами

Додавання. У записі числа a і b — доданки, число с, а також вираз — сума чисел а і b. Властивості додавання 1. Переставна. Від перестановки доданків сума не змінюється: . 2. Сполучна. Щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого й третього чисел: . Переставна й сполучна властивості додавання дають змогу виконувати додавання кількох чисел у будь-якій послідовності: . 3. Якщо один із двох доданків 0, то їх сума дорівнює другому доданку: ; .

Віднімання. Дія, за допомогою якої за відомою сумою двох доданків і одним із них знаходять другий доданок, називаєтьсядією віднімання: . У цьому записі число а — зменшуване, b — від’ємник, c — різниця. Різниця двох натуральних чисел показує, на скільки перше число більше від другого або на скільки друге число менше від першого.

Властивості віднімання 1. Щоб відняти суму від числа, можна спочатку відняти від цього числа один доданок, а потім від отриманої різниці — другий: . 2. Щоб від суми відняти число, можна відняти його від одного з доданків, а до отриманої різниці додати другий доданок: ; . 3. Якщо від числа відняти нуль, воно не зміниться: . 4. Якщо від числа відняти те ж саме число, одержимо 0: .

Множення. Помножити число a на число b означає знайти суму b доданків, кожний із яких дорівнює а: або , де a і b — множники, c — добуток. Властивості множення 1. Переставна.Від перестановки множників добуток не змінюється: . 2. Сполучна.Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого й третього чисел: . Сполучна й переставна властивості множення поширюються на довільну кількість множників і дозволяють виконувати множення у довільному порядку: . 3. Розподільна. Щоб помножити суму на число, можна кожний доданок помножити на це число і знай­де­ні добутки додати: . Щоб помножити різницю на число, можна зменшуване і від’ємник помножити на це число й від першого добутку відняти другий: . 4. Якщо одиницю помножити на будь-яке число, дістанемо те саме число: . 5. Якщо хоча б один множник дорівнює 0, добуток дорівнює 0: . Приклади

; .

Ділення. Ділення — дія, за допомогою якої за відомим добутком і одним із множників знаходиться другий множник. Якщо , то і . У записі число с — ділене, b — дільник, число а, а також вираз — ­частка. Частка показує, у скільки разів ділене більше дільника. Властивості ділення 1. На 0 ділити не можна. 2. Якщо розділити число на 1, дістанемо те саме число: . 3. Якщо розділити число на себе, дістанемо 1: . 4. Якщо розділити 0 на будь-яке число, крім 0, дістанемо 0: . Ділення з остачею Число а ділиться на число b націло, якщо , де n — яке-небудь натуральне число. Наприклад, 15 ділиться націло на 3, оскільки . В іншому випадку можна поділити а на b з остачею. Наприклад: . У цьому записі число 289 — ділене, 15 — дільник, 19 — неповна частка, 4 — остача. Для будь-яких чисел а та b завжди знай­дуться такі числа с і r (натуральні або 0), що , де . Коли , то , тобто число а ділиться як на число b, так і на число c.

Записи виду називаються звичайними дробами, або дробами. Звичайні дроби записують за допомогою двох натуральних чисел та горизонтальної риски, яка називається дробовою рискою. Число, записане під рискою, називається знаменником дробу, а число, записане над рискою, — чисельником. Зна­менник показує, на скіль­­ки рівних частин поділено одиницю (ціле), а чисельник — скільки таких частин узято. Дробова риска заміняє, по суті, знак ділення.

Отже, частка від ділення одного числа на друге дорівнює дробу, чисельник якого — ділене, а знаменник — дільник. Наприклад: ; . Дріб, чисельник якого менший від зна­менника, називається правильним дробом. Дріб, чисельник якого більший від знаменника або дорівнює йому, називається неправильним дробом. Суму натурального числа й правильного дробу записують зазвичай без знака «+». Наприклад: (читають: п’ять цілих три четвертих). Числа такого виду називаються мішаними дробами. Число 5 називається цілою частиною мішаного дробу, а — його дробовою частиною. Неправильний дріб можна записати у вигляді мішаного дробу. Для цього треба чисельник поділити на знаменник. Одержана неповна частка буде цілою частиною, остача — чисельником дробової частини, а знаменник неправильного дробу — знаменником дробової частини. Наприклад: ; . Щоб мішаний дріб записати у вигляді неправильного дробу, треба помножити цілу частину на знаменник дробової частини, додати до отриманого числа чисельник дробової частини й записати цю суму в чисельник, а знаменник дробової частини залишити без зміни. Наприклад: .

Будь-яке натуральне число можна записати у вигляді неправильного дробу з будь-яким знаменником. Наприклад: і т. д.

Порівняння звичайних дробів

Із двох дробів з однаковими знаменниками більший той, чисельник якого більший. Із двох дробів з однаковими чисельниками менший той, знаменник якого більший. Правильний дріб менший за одиницю. Дріб, у якого чисельник дорівнює знаменнику, дорівнює одиниці. Дріб, у якого чисельник більший від знаменника, більший від одиниці. Неправильний дріб більший, ніж пра­вильний. Приклади ; ; ; ; .

Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники і суму записати в чисельнику, а знаменник залишити той самий: . Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник від’ємника й різницю записати в чисельнику, а знаменник залишити той самий: . Приклади ; .

Додавання і віднімання мішаних дробів з одна-ковими знаменниками

Щоб додати мішані дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх цілі й дробові частини окремо. Результат спростити. Приклади ; ; ; ; ; ; .

19.05.2020 р. Повторити розділи І та ІІ. Виконати вправу № 1138(21).