Решение квадратных неравенств методом интервалов

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Решение квадратных неравенств методом интервалов

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Алгоритм решение квадратных неравенств методом интервалов

• Разложить многочлен на простые множители

• Найти корни многочлена

• Изобразить их на числовой прямой

• Разбить числовую прямую на интервалы

• Определить знаки множителей на интервалах знакопостоянства

• Выбрать промежутки нужного знака

• Записать ответ (с помощью скобок или знаков неравенства)

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

0 Найдём корни квадратного трехчлена из уравнения : ( х – 4)(2 х + 3) = 0 х – 4 = 0 или 2 х + 3 = 0 х 1 = 4; х 2 = -1,5 Отметим эти корни на числовой прямой: Получим три промежутка: -1,5 х 4 Определим знаки ( х - 4)(2 х + 3) на каждом из полученных промежутков: Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина " width="640"

Пример 1. Решить неравенство: ( х - 4)(2 х + 3) 0

Найдём корни квадратного трехчлена из уравнения :

( х – 4)(2 х + 3) = 0

х – 4 = 0 или 2 х + 3 = 0

х 1 = 4; х 2 = -1,5

Отметим эти корни на числовой прямой:

Получим три промежутка:

-1,5

х

4

Определим знаки ( х - 4)(2 х + 3) на каждом из полученных промежутков:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

0 2). ( х - 4)(2 х + 3) = ( 0 - 4)( 0 + 3 ) 0 3). ( х - 4)( х + 3) = ( 6 - 4)( 12 + 3 ) 0 Т .к. по условию ( х - 4)(2 х + 3) 0 , то решением является множество х  (- ∞ ; -1,5) U (4; + ∞ ) Ответ: (- ∞ ; -1,5) U (4; + ∞ ). Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина " width="640"

+

–

+

-3

0

6

-1,5

4

х

1). ( х - 4)(2 х + 3) = ( -3 - 4)( -6 + 3 ) 0

2). ( х - 4)(2 х + 3) = ( 0 - 4)( 0 + 3 ) 0

3). ( х - 4)( х + 3) = ( 6 - 4)( 12 + 3 ) 0

Т .к. по условию ( х - 4)(2 х + 3) 0 , то решением

является множество х  (- ∞ ; -1,5) U (4; + ∞ )

Ответ: (- ∞ ; -1,5) U (4; + ∞ ).

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример 2. Решить неравенство: х ( х + 7)

Найдём корни квадратного трехчлена из уравнения:

х 2 + 7 x - 8 = 0

х 1 = 1 ; х 2 = - 8

Отметим эти корни на числовой прямой:

Получим три промежутка:

- 8

х

Определим знаки х 2 + 7 x - 8 на каждом из полученных промежутков:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

0 2 ). х 2 +7 х - 8 = 0 2 +7 ∙ 0 - 8 0 3 ). х 2 +7 х - 8 = 6 2 +7 ∙ 6 - 8 0 Т.к. по условию х 2 +7 х - 8 является множество х  (-∞; - 8 ) U ( 1 ; +∞) Ответ: х  (-∞; - 8 ) U ( 1 ; +∞) Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина " width="640"

+

–

+

6

0

-9

х

-8

1

1). х 2 + 7 х - 8 = (-9) 2 +7 ∙ (-9) - 8 0

2 ). х 2 +7 х - 8 = 0 2 +7 ∙ 0 - 8 0

3 ). х 2 +7 х - 8 = 6 2 +7 ∙ 6 - 8 0

Т.к. по условию х 2 +7 х - 8

является множество х  (-∞; - 8 ) U ( 1 ; +∞)

Ответ: х  (-∞; - 8 ) U ( 1 ; +∞)

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

0 Найдём корни квадратного трехчлена из уравнения: х 2 - 3 х - 4 = 0 х 1 = - 1 ; х 2 = 4 Отметим эти корни на числовой прямой: Получим три промежутка: 4 -1 х Определим знаки х 2 - 3 х - 4 на каждом из полученных промежутков: Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина " width="640"

Пример 3. Решить неравенство: х 2 - 3 х - 4 0

Найдём корни квадратного трехчлена из уравнения:

х 2 - 3 х - 4 = 0

х 1 = - 1 ; х 2 = 4

Отметим эти корни на числовой прямой:

Получим три промежутка:

4

-1

х

Определим знаки х 2 - 3 х - 4 на каждом из полученных промежутков:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

0 2 ). х 2 - 3 х - 4 = 2∙ 0 2 - 3∙ 0 - 4 0 3 ). х 2 - 3 х - 4 = 2∙ 6 2 - 3∙ 6 - 4 0 Т.к. по условию х 2 - 3 х - 4 0 , то решением является множество х  (-∞; -1) U (4; +∞) Ответ: х  (-∞; -1) U (4; +∞) Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина " width="640"

+

–

+

6

0

-2

х

-1

4

1). х 2 - 3 х - 4 = 2∙ (-2) 2 - 3∙ (-2) - 4 0

2 ). х 2 - 3 х - 4 = 2∙ 0 2 - 3∙ 0 - 4 0

3 ). х 2 - 3 х - 4 = 2∙ 6 2 - 3∙ 6 - 4 0

Т.к. по условию х 2 - 3 х - 4 0 , то решением

является множество х  (-∞; -1) U (4; +∞)

Ответ: х  (-∞; -1) U (4; +∞)

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример 3 . Решить неравенство: - х 2 + х + 1 2 ≥ 0

Найдём корни квадратного трехчлена из уравнения:

- х 2 + х + 1 2 = 0

х 1 = 4 ; х 2 = -3

Отметим эти корни на числовой прямой:

Получим три промежутка:

4

-3

х

Определим знаки - х 2 + х + 1 2 на каждом из полученных промежутков:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

0 3 ). - х 2 + х + 1 2 = - 6 2 + 6 + 1 2 Т .к. по условию - х 2 + х + 1 2 ≥ 0 , то решением является множество х  [-3 ; 4] Ответ: [-3 ; 4] . Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина " width="640"

–

+

–

6

-7

0

х

-3

4

1). - х 2 + х + 1 2 = - (-7) 2 + (-7) + 1 2

2 ). - х 2 + х + 1 2 = - 0 2 + 0 + 1 2 0

3 ). - х 2 + х + 1 2 = - 6 2 + 6 + 1 2

Т .к. по условию - х 2 + х + 1 2 ≥ 0 , то решением

является множество х  [-3 ; 4]

Ответ: [-3 ; 4] .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина