Решение экономических задач при подготовке к ЕГЭ

11 класс. Алгебра. Урок по подготовке к ЕГЭ. Дата проведения: 10.03.22

Тема: Решение экономических задач при подготовке к ЕГЭ

Цель: способствовать развитию активного познавательного интереса к предмету, формированию различных видов деятельности учащихся по подготовке к ЕГЭ, разработка рекомендаций к системе подготовки по решению задач типа №9, №15.

Планируемые результаты обучения:

Предметные:

• Решать разные задачи повышенной трудности;

• анализировать условие задачи, выбирать оптимальный метод решения задачи, рассматривая различные методы;

• строить модель решения задачи, проводить доказательные рассуждения при решении задачи.

Метапредметные:

• умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;

• умения самостоятельно ставит цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

• умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Личностные:

• критичности мышления, умения распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

• креативности мышления, инициативы, находчивости, активности при решении арифметических задач;

• умения контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

• способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений;

Оборудование и материалы для урока: проектор, ментальная карта у уччащихся на тему «Проценты», экран, презентация для сопровождения; инструкция для решения задач типа №15 из ЕГЭ, оценочные листы, мячик.

Ход урока.

Вступительное слово учителя.

Положение математики в современном мире далеко не то, каким оно было сто или даже только сорок лет назад. В процессе познания действительности математика играет важную роль. Сегодня нет такой области знаний, где в той или иной степени не использовались бы математические понятия и методы.

Не правда ли, нам почти каждый день в жизни приходиться считать, мы постоянно используем знания о величинах, характеризующих протяженности, площади, объемы, промежутки времени и многое другое. Математика нужна для формирования духовного облика, развития необходимых черт характера, таких как терпение, трудолюбие. Ещё одной важнейшей причиной нужды человечества в математике является воспитание в человеке способности понимать смысл поставленной перед ним задачи, умение правильно, логично рассуждать. Чтобы человечество развивалось, причем развивалось плодотворно, нужны не только “лучшие умы”, но и свежие идеи. А для этого необходимы креативные люди с необычным мышлением, широким кругозором и гибким умом. Часто ли вы применяете математику в жизни? Каким образом? 

Рефлексия «Проблема на ладошке».

Предлагаю каждому ученику посмотреть на проблему сдачи ЕГЭ со стороны: мысленно положить ее на ладошку, как этот мячик и сказать вслух какие вопросы необходимо решить для успешной сдачи ЕГЭ.

Сегодня на уроке мы используем стратегию «Идеал»

Стратегия «Идеал»

И – идентифицируйте проблему;

Д – доберитесь до ее сути;

Е – есть варианты решения;

А – а теперь за работу!

Л – логические выводы.

Этап 1.

(И). Целеполагание и структурирование  (постановка целей  урока, обоснование необходимости систематизации знаний по изучаемой теме)

Задача. (слайд №2)

Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Встречались ли вам подобные задачи в тестах ЕГЭ? Под каким номером? Пробовали ли вы решать такие задачи? На какую тему задачи подобного типа? Как вы думаете какова цель нашего сегодняшнего урока.

(Д). Задачи подобного типа на тему «Проценты». Они из раздела «Финансовая математика». В тестах ЕГЭ они находятся в разделе сложных задач под номером 5. За решение задач этого раздела можно заработать 2 балла.

(Е). Есть варианты решения задачи? Сегодня на уроке мы повторим способы решения задач на проценты, продолжим формирование навыков решения задач сложных задач с экономическим содержанием.

Этап 2.

Практически все экономические задачи содержат проценты

Актуализация знаний.

Работа с ментальными картами. (Приложение 1). Один ученик у доски отвечает по ментальной карте. Обучающиеся в классе работают в парах. Рассказывают друг другу теоритический материал по менталной карте.

1. Решение устных задач на проценты. Что такое процент? (слайд № 2-4)

Задачи (слайд №5)

1. Найдите 30% от 27.

2. Какое число получится, если 140 увеличить на 60%?

3. Сахарная свекла содержит 15% сахара. Хозяйство в этом году вырастило 600 тонн свеклы. Сколько сахара получит хозяйство?

4. Фермер сдал на мельницу 50 ц зерна. Выход муки при размоле пшеницы составляет 80%.Сколько муки получит фермер?

5. Из 5 кг яблок получается 4 кг яблочного пюре. Сколько потребуется кг яблок для получения 10 кг пюре?

6. Чтобы приготовить 4 порции картофельной запеканки, нужно взять 400 грамм картофеля. Сколько картофеля потребуется для 12 порций запеканки?

Ответы. (слайд № 6)

1. 8,1

2. 224

3. 90

4. 40

5. 12,5

6. 1,2

Выставление баллов в оценочном листе.

Этап 3.

(А) Конструирование. Цель: актуализировать знания, полученные на предыдущем этапе, применить их на практике. Самостоятельное решение задач.

(Слайд №7)

1. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Решение.

В октябре виноград подорожал на 60 · 0,25 = 15 рублей и стал стоить 60 + 15 = 75 рублей. В ноябре виноград подорожал на 75 · 0,2 = 15 рублей. Значит, после подорожания в ноябре 1 кг винограда стоил 75 + 15 = 90 рублей.

Ответ: 90.

1. В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?

Решение.

В октябре сливы подорожали на 60 · 0,25 = 15 рублей. Значит, 1 кг слив после подорожания в октябре стал стоить 60 + 15 = 75 рублей.

Ответы. (Слайд №8)

Выставление баллов в оценочном листе.

Этап 4.

Цель: самооценка качества знаний и наличия навыков составления уравнений для решения текстовых задач определённого типа.

Учитель раздаёт учащимся заранее приготовленные бланки с «опорными таблицами» по теме. Совместно с учащимися проводится заполнение таблиц и составление уравнений для каждого вида задач.

Решение текстовых задач (типа №9 из ЕГЭ профильный уровень)

Задача на совместную работу.

Слайд №9

1. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Решение.

За минуту Маша пропалывает одну двадцатую грядки, а Маша с Дашей вместе — одну двенадцатую. Поэтому за одну минуту Даша пропалывает  = грядки. Всю грядку она прополет за 30 минут.

Ответ: 30 мин

Учитель раздаёт учащимся таблицу

Заполненная таблица

1. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение.

Первый мастер выполняет 1/12 работы в час, а второй — 1/6 работы в час. Следовательно, работая вместе, мастера выполняют   = работы в час. Поэтому всю работу мастера выполнят за 4 часа.

 Ответы (слайд №10)

Выставление баллов в оценочном листе.

Этап 5.

(Л). Работа с кейсом в группах. Тема кейса «Задачи на оптимальный выбор и финансовая математика»

Углубление знаний, полученных на предыдущем этапе на практике. Класс делится на группы.

Слайды 11-12

На столах: 1. Текст задач.

1. Инструктивная карта.

Текст задачи

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Инструктивная карта.

1. Вычислите доход фермера с первого поля, если он засеет его картофелем.

Урожайность*цена*размер поля.

1. Вычислите доход фермера с первого поля, если он засеет его свеклой.

2. Сравните доходы.

3. Сравните доходы, приносимые вторым полем для картофеля и для свеклы.

4. Сравните максисмально возможный доход.

5. Запишите ответ.

Решение.

Продавать свеклу более выгодно, поэтому второе поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свеклой. Она принесет доход 10 га · 400 ц/га · 11 000 руб./ц = 44 млн руб.

На первом поле урожайность свеклы составляет 300/400 = 0,75 урожайности картофеля, а стоимость свеклы составляет 11 000/10 000 = 1,1 стоимости картофеля. Произведение этих показателей меньше 1, поэтому выращивать картофель выгоднее: потери от меньшей стоимости компенсируются более высокой урожайностью. Следовательно, все поле следует засеять картофелем, он принесет доход 10 га · 400 ц/га · 10 000 руб./ц = 40 млн руб.

Тем самым, наибольший возможный доход фермера равен 84 млн руб.

Ответ: 84 млн руб.

1. Решают самостоятельно, обсуждая решение в группах.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Вычислим доход фермера с первого поля, если он засеет на нем картофель. Урожайность картофеля на нем 500 ц/га, цена картофеля 5000 за центнер, размер поля 10 гектар, получаем размер дохода  руб. Теперь сравним доход, если на первом поле будет засеяна свекла, получим

 руб.

Отсюда видно, что на первом поле выгоднее сажать картофель.

Аналогично сравним доход, приносимый вторым полем: - для картофеля:  руб;

- для свёклы:

 руб.

Следовательно, на втором поле выгоднее сажать свёклу.

Таким образом, максимально возможный доход фермер может получить в сумме

 млн. руб.

Ответ: 65 млн. руб.

. Слайд № 13

Учитель проводит обсуждение решения задачи с классом.

Решение задач в группах с консультантами. Консультантов заранее готовит учитель.

1. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение.

Пусть сумма кредита составляет S у. е., а процентная ставка по кредиту x%/  К концу первого года сумма долга фермера в банк с учетом начисленных процентов составила (1+0.01x)*S у. е.

После возвращения банку 3/4 части от суммы долга долг фермера на следующий год составил ¼(1+0.01x)*S  у. е.

На эту сумму в следующем году вновь начислены проценты. Сумма долга фермера к концу второго года погашения кредита с учетом процентной ставки оставила (1+0.01x)^2*S у. е. По условию задачи эта сумма равна 1.21S у. е.

Решим уравнение (1+0.01x)^2*S = 1.21S на множестве положительных чисел.

 (1+0.01x)^2 =4* 1.21

1+0.01x=2*1.1

0.01x=1.2

X=120 

Ответ: 120 %.

(Л).

Слайд № 9

Этап 6

Самодиагностика

Подведение итогов.

Домашнее задание.

Решить 3 задачи на выбор из ЕГЭ (№15)

Приложение 1.

9