Данная разработка предназначена для учеников 11 класса, обучающихся по учебнику А.Ш. Алимова. В теоретической части содержится вывод формул для нахождения производной простых степенных функций, общей формулы степенной функции, а также вывод формулы для нахождения производной сложной степенной функции. Практическая часть содержит задания для отработки полученных знаний и умений.
Просмотр содержимого документа
«Производная степенной функции.»
Производная степенной функции.
Используя определение производной, найдём сначала производную самой простой степенной функции .
По определению производной,
Значит,
Теперь найдём производную кубической функции
Значит,
Найдём теперь производную степенной функции с отрицательным показателем .
Преобразуем эту функцию: и найдём её производную.
Значит, или .
И ещё одна степенная функция с отрицательным показателем: .
Преобразуем эту функцию: и найдём её производную.
Значит, или
Обобщим все рассмотренные примеры и выведем общую формулу производной степенной функции .
Воспользуемся формулой: . Тогда,
Значит,
По этой формуле находим, что
Мы вывели формулу простой степенной функции, однако, такие функции встречаются не всегда, очень часто мы имеем дело со сложными функциями вида . Формула производной этой функции выводится аналогичным образом. Кто всерьёз интересуется математикой, рекомендую эту формулу вывести самостоятельно.
Чтобы найти производную сложной степенной функции, нужно взять производную степени и умножить на производную основания степени.
Найти производную функции:
Найти , если:
При каких значениях производная функции равна ?
При каких значениях производная функции равна ?
Решить уравнение , если .
Решить уравнение , если .
Найти такие значения , при которых производная функции принимает указанное значение.
Упростив выражение для , найдите , если:
Упростив выражение для , найдите , если:
2