Тема урока : Производная функции. Формулы и правила дифференцирования .

Тема урока : Производная функции. Формулы и правила дифференцирования .

Конспект урока

Производные - это такие функции, которые получаются из заданных функций путем вычисления предела разностного отношения. Разностным отношением называется отношение разности значения функции к разности значений переменной.

После закрепления знаний по таблице производной, приступаем к изучению теорем дифференцирования.

Теорема 1. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем:

Теорема 2. Производная произведения двух функций равна:

Теорема 3. Производная частного двух функций равна:

Приложение 1

Ранее мы рассматривали производные отдельных функций. Здесь мы рассмотрим правила дифференцирования, то есть правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного отдельных функций. Мы выведем соответствующие формулы, обоснуем их и решим типовые примеры.

Производная суммы

Дано:  ;  .

Существует  ;  .

Доказать, что существует производная от суммы заданных функций и она вычисляется по следующему правилу:

Доказательство

Пусть задана функция  , требуется найти  .

По стандартному алгоритму требуется найти отношение  :

При   получаем:

Что и требовалось доказать.Так, производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.Аналогично производная разности функций равна разности производных:

Пример

1.  .

2. Найти значение производной функции   в точке  :

;   

Производная произведения

Дано:  ;  .

Существует  ;  .

Доказать, что существует производная от произведения   и вычисляется она по правилу:

Доказательство .Нужно использовать разностное отношение по стандартному алгоритму нахождения производной. Это разностное отношение можно проиллюстрировать. Пусть есть прямоугольник со сторонами  ;  . Пусть первая сторона получает приращение  , вторая, соответственно,  . Приращение может быть любого знака. Получили новый прямоугольник, см. рис. 1.

Рис. 1. Разностное соотношениеПлощадь любого прямоугольника (старого, нового, их разности) мы можем посчитать.Составим разностное соотношение. Пусть  , ищем  :

При  :

А первое слагаемое стремится к нулю, так как   стремится к нулю.

Так, производная произведения функций:

Что и требовалось доказать.Рассмотрим важное следствие. Пусть  , константа. Согласно правилу:

Так, постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Производная степенной функции

Производная степенной функции:

Рассмотрим частные случаи:

; 

Найдем эту производную по правилу произведения:

С другой стороны:

И так далее. Поэтому угадывается формула:

 – мы принимаем ее без доказательства.

Производная частного

Дано:  ;  .

Существуют  ;  .

При этом  , а значит, существует дробь  .

Доказать, что существует производная частного   и вычисляется по формуле:

Доказательство

Представим  .

Тогда по формуле производной произведения:

С другой стороны:

Из этих двух выражений получаем уравнение:

Умножим все уравнение на  :

Что и требовалось доказать.

Решение примеров

Пример

.

.

Домашнее задание: Итоговые тесты по теме «Производная функции»

1. Найдите производную функции y_(х) = x⁴+ 3x³ + 4.

1) 4x³ + 9x² + 4

2) 4x³ + 9x² + 4x

3) 4x² + 3x² + 4

4) 4x³ + 9x²

2. Производная функции F(x) = cos(4x) равна:

1) -4sin(4x)

2) 4cos(- 4x)

3) 4xsin(4x)

4) 4xcos(- 4x)

3. Найдите значение производной функции
при х=1

1) 0,5

2) -1

3) -0,5

4) 1

4. Вычислите значение производной функции в точке .

5. Найдите производную функции .

_{6. Найдите производную функции}