Презентация по теме "Признаки делимости"

Занятия математического кружка по теме: «Признаки делимости» 6 класс.

Учитель математики МБОУ «майкопская Гимназия N22» Стрельникова Е.Р.

Пояснительная записка

Тема «Признаки делимости» изучается на математическом кружке после изучения темы «Признаки делимости» на уроках математики в 6 классе.

Направлена на углубление и расширение знаний, умений и навыков по применению признаков делимости при решении нестандартных задач. Используется в старших классах, при решении задания №19 базового уровня ЕГЭ.

Цель :

• Формирование умений и навыков применения признаков делимости при решении нестандартных задач.

Задачи :

• Обучающая: знать и применять признаки делимости при решении нестандартных задач.
• Развивающая: способствовать совершенствованию мыслительных операций, развитию монологической речи учащихся, диалога, коммуникативной культуры, осуществлению самоконтроля и самооценки, становлению и развитию личности.
• Воспитательная: пробудить интерес, чувство самостоятельности, настойчивости в достижении цели, создать условия для формирования межличностных отношений, чувства коллективизма, взаимоуважения.

Формы деятельности

• Фронтальная
• Индивидуальная
• Групповая

Занятие №1

• Исторический материал (5 мин)
• Признаки делимости (10 мин)
• Решение задач (25 мин)
• Домашнее задание

Признаки делимости

• На 2 : Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
• На 3 : Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
• На 5 : Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
• На 9 : Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
• На 10 : Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признаки делимости

• На 4 : Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
• На 6 : Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
• На 7 : Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (напр., 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).
• На 8 : Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.
• На 11 : Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11
• На 12 : Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
• На 13 : Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).
• На 14 : Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
• На 15 : Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
• На 19 : Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).
• На 25 : Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75) или число кратно 5.

Решение задач

• Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Ответ: 132; 312.

• Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

Ответ: 74535; 75135; 45135.

• Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ: 181512; 116112; 811512; 181152.

• Цифры четырехзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458. Приведите ровно один пример такого числа.

Ответ: 7065; 7175; 7285; 7395.

• Приведите пример трёхзначного натурального числа большего 500, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки, и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.

Ответ: 543; 753; 963.

• Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число.

Ответ: 122112; 212112; 221112..

• Найдите трёхзначное число  A , об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свойствами:

• сумма цифр числа  A  де­лит­ся на 5; сумма цифр числа ( A  + 4) де­лит­ся на 5; число  A  боль­ше 350 и мень­ше 400.
• сумма цифр числа  A  де­лит­ся на 5;
• сумма цифр числа ( A  + 4) де­лит­ся на 5;
• число  A  боль­ше 350 и мень­ше 400.

В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Ответ: 357; 366; 389.

Домашняя работа

• Найдите трёхзначное на­ту­раль­ное число, боль­шее 400, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.
• Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 4536. Приведите пример такого числа.
• Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 
• Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 
• Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
• Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
• Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 19, сумма цифр которого на 1 больше их произведения.
• Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75.
• Найдите наи­мень­шее трёхзначное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 11 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и у ко­то­ро­го сред­няя цифра яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух край­них цифр.
• Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа (А + 6) также делится на 12. Найдите наименьшее число А.
• Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
• Сформулировать признаки делимости на 36, 45, 54, 88.

Занятие №2

• Решение задач на четность и нечетность

• Теоретическая часть (5-7 мин) Практическая часть (33-35 мин) Домашнее задание
• Теоретическая часть (5-7 мин)
• Практическая часть (33-35 мин)
• Домашнее задание

Сложение и вычитание:

• Чётное ± Чётное = Чётное
• Чётное ± Нечётное = Нечётное
• Нечётное ± Чётное = Нечётное
• Нечётное ± Нечётное = Чётное

Умножение:

• Чётное × Чётное = Чётное
• Чётное × Нечётное = Чётное
• Нечётное × Нечётное = Нечётное

Свойства четных и нечетных чисел:

• Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.
• Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.
• Сумма любого количества четных чисел — число четное.
• Сумма четного и нечетного чисел — число нечетное.
• Сумма любого количества нечетных чисел — число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно.

Решение задач на четность и нечетность

• а) Можно ли заплатить без сдачи 20 к. семью монетами?

Ответ: да, 10+5+1+1+1+1+1=20.

б) Можно ли заплатить без сдачи 20 к. семью монетами по 1 и 5 к.?

Ответ: нет, так как сумма семи нечетных чисел не может быть четной.

• Некто пообещал дать 99 конфет тому, кто сумеет их разделить между четырьмя детьми так, чтобы каждому досталось нечетное число конфет. Почему этот приз до сих пор никому не удалось получить?

Ответ: нельзя, так как произведение четного числа на нечетное дает четный результат.

• Саша купил в магазине 20 тетрадей, 2 альбома для рисования, авторучку за 4 р., несколько карандашей по 1 р. 20 к. и несколько ластиков по 8 к. Ему сказали, что в кассу следует уплатить 38 р. 65 к. Саша попросил пересчитать стоимость покупки, и ошибка была исправлена. Как он догадался, что была допущена ошибка?

Ответ: сумма четных чисел ― четное число.

• В одной руке спрятали пятикопеечную монету, а в другой ― десятикопеечную. Определить, в какой руке спрятана десятикопеечная монета?

Ответ: Нужно умножить число копеек в правой руке на 4, в левой ― на 5, результаты сложить. Если сумма четная, то десятикопеечная монета в левой руке, если нечетная, то в правой.

• Щенок Антошка нацарапал  на доске: 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 33, причем вместо каждой звездочки он поставил либо плюс, либо минус. Филя  переправил несколько знаков на противоположные и в результате вместо числа 33 получил число 32. Верно ли, что по меньшей мере один из щенков ошибся при подсчете?

Ответ: верно, так как если все звездочки заменить на плюсы, то полученная сумма будет нечетной, а следовательно, и данная сумма — тоже. Поэтому по меньшей мере ошибся Филя.

Домашнее задание:

• Карлсон предложил Малышу следующую игру. На столе лежат 2 кучки спичек - 7 и 8 спичек. Первый игрок делит одну из кучек на 2 кучки, затем второй делит любую из кучек на 2 кучки и т.д. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередного хода. Карлсон начинает. Зависит ли результат от того, кто как играет? Или важно лишь то, кто ходит первым? Кто выиграет в этой игре?
• В шести коробках лежат копейки: в первой – 1, во второй – 2, в третьей – 3, в четвертой – 4, в пятой – 5, в шестой – 6. За один ход разрешается в любые две коробки добавить по 1 копейке. Можно ли за несколько ходов уровнять количество копеек во всех коробках? 
• Во время сбора грибов мальчик 5 раз переходил полотно одной и той же железной дороги. По одну или по разные стороны от полотна железной дороги находится мальчик и его дом?
• Подпольный миллионер Тарас Артёмов пришёл в Госбанк, чтобы обменять несколько 50- и 100-рублёвых купюр старого образца. Ему была выдана 1991 купюра более мелкого достоинства, причём среди них не было 10-рублёвых. Докажите, что его обсчитали.

Занятие №3

• Разбор домашнего задания (5-7 мин)
• Игра «Звездный час» (33-35 мин)

Задачи для игры «Звездный час»

• Вовочка написал в тетради число 65349*0712 в качестве примера числа, которое делится: а) на 9; б) на 3. (На месте звёздочки когда-то была написана цифра, а теперь там пятно от сладкого чая.) Помогите Вовочке восстановить пропущенную цифру. Укажите все возможные варианты! 
• Запишем подряд цифры от 1 до 9, получим число 123456789. Простое оно или составное? Изменится ли ответ в задаче, если каким-то образом поменять порядок цифр в этом числе? 
• Даша и Таня по очереди выписывают на доску цифры шестизначного числа. Сначала Даша выписывает первую цифру, затем Таня — вторую, и так далее. Таня хочет, чтобы полученное в результате число делилось на три, а Даша хочет ей помешать. Кто из них может добиться желаемого результата независимо от ходов соперника? 
• В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9? 
• Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное число, состоящее из двоек и троек. Сейф откроется, если двоек в коде больше, чем троек, а сам код делится и на 3, и на 4. Какой код может открывать сейф? 

• Докажите, что произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8.
• Можно ли доску размером 5х5 заполнить доминошками размером 1х2? 
• Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали на 3 или 5 частей.
• Некоторые из образовавшихся частей разорвали на 3 или на 5 частей и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей?
• Не отрывая руки от бумаги и не проводя по линии дважды, нарисуйте фигуры, изображенные на рисунке.