Математика. Касательная к окружности. Построение.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. 

Касательная к окружности всегда перпендикулярна его радиусу, проведённому к точке касания. Если две касательные проведены из одной точки, не принадлежащей окружности, то расстояния от этой точки до точек касания всегда будет одинаковым. Касательные к окружностям строятся разными способами, в зависимости от их расположения относительно друг друга.  

Свойства касательной к окружности

1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания:   
2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: .

Инструкция по построениею касательной

Построение касательной к одной окружности. 1. Строится окружность радиуса R и берётся точка A,  через которую будет проходить касательная. 2. Строится окружность с центром в середине отрезка OA и радиусам равным половине этого отрезка. 3. Пересечения двух  окружностей являются точками касания касательных проведённых через точку A к заданной окружности.

2

Внешняя касательная к двум окружностям. 1. Строятся две окружности радиусом R и r. 2. Проводится окружность радиусом R – r с центром в точке O. 3. К полученной окружности проводится касательная из точки O1, точка касания обозначена буквой M. 4. Радиус R проходящий через точку M указывает на точку T – точку касания большой окружности. 5. Через центр O1 малой окружности проводится радиус r параллельно  радиусу R большой окружности. Радиус r указывает на точку T1 – точку касания малой окружности. 6. Прямая TT1 – касательная к заданным окружностям.

Внутренняя касательная к двум окружностям. 1. Строятся две окружности радиусом R и r. 2. Проводится окружность радиусом R + r с центром в точке O. 3. К полученной окружности проводится касательная из точки O1, точка касания обозначена буквой M. 4. Луч OM пересекает первую окружность в точке T – в точке касания большой окружности. 5. Через центр O1 малой окружности проводится радиус r параллельно лучу OM. Радиус r указывает на точку T1 – точку касания малой окружности. 6. Прямая TT1 – касательная к заданным окружностям.

ПРИМЕР 

Задание	Из точки  к окружности проведены две касательные, касающиеся ее в точках  и . Угол  равен . Найти угол .
Решение	Рассмотрим образовавшийся четырехугольник , в котором  (т.к.  и  – радиусы, проведенные в точку касания). Сумма углов любого четырехугольника равна , поэтому
Ответ