Математика. Леммы Архимеда, доказательство + задачи. Теорема Фейрбаха.

Лемма Архимеда

Пусть прямая пересекает данную окружность в точках K и M. Рассмотрим произвольную окружность, касающуюся данной в точке P, а прямой KM в точке L. Тогда прямая PL проходит через середину одной из двух дуг KM, на которые данная окружность разделена прямой KM.

Доказательство: Рассмотрим для определенности случай, изображенный на рисунке. Пусть О – центр данной окружности О1 – центр построенной окружности. Точки О, О1 и Р лежат на одной прямой. Пусть прямая РL пересекает данную окружность в точке Е. Треугольники РО1L и РОЕ равнобедренные. У них есть общий угол – угол при вершине Р.Значит, они подобны, и О1L параллельна ОЕ. Но O1L перпендикулярна КМ. Следовательно, ОЕ также перпендикулярна КМ. Значит, Е – середина дуги. Лемма доказана

Приведем еще одно доказательство леммы Архимеда. Рассмотрим прямую, касающуюся обеих окружностей в точке Р. Обозначим через Q точку её пересечения с прямой КМ; Е – точка пересечения PL с большей окружностью. Углы PLM и QPL равны, так как PQ = LQ как касательные. Но угол PLM измеряется полусуммой дуг КЕ и РМ, а угол QPL = углу QPE и измеряется половиной дуги РМЕ или полусуммой дуг РМ и МЕ. Значит, дуги КЕ и МЕ равны.

Решение Архимеда

Рассмотрим окружность, касающуюся BD то точке L, дуги AD – в точке Р и полуокружности AB - в точке F. Согласно лемме, прямая PL проходит через точку С, а прямая GL – через А. Проведем через L в посторонней окружности диаметр LN. Углы NPL и APC – прямые (как опирающиеся на диаметры в соответствующей окружности), поэтому точки P,N и A лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой лежат точки N,F и B. (Прямые являются углы NFL и AFB.)Обозначим теперь через G точку пересечения AL с большей полуокружностью. Рассмотрим треугольник ALC. Высотами в нем являются LB, AP и CG.

Продолжим их до пересечения в одной точке, которую обозначим через S. Из подобия треугольников SNL и SAB получаем. Но прямые NB и SC параллельны, так как они перпендикулярны AL. Cледует, что NL , при этом NL - диаметр одной из окружностей, вписанных в части арбелоса. Понятно, что находя диаметр второй окружности, мы придем к тому же равенству.