История развития производной

История развития производной

О происхождении терминов и обозначений

Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце XVII в., т. е. при рождении нового метода.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derivee, которое ввел в 1797 г. Ж. Лагранж (1736—1813); он же ввел современные обозначения у', f ' . Такое название отражает смысл понятия: функция f`(х) происходит из f (х), является производным от f (х). И. Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию - флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как - .

Это обозначение также часто встречается в современной литературе. Рассказ о происхождении терминологии, принятой в дифференциальном исчислении, был бы не полон без понятия предела и бесконечно малой. Обозначение lim — сокращение латинского слова limes (межа, граница); уменьшая, например, Δх, мы устремляем значения к «границе» f '(х₀). Термин «предел» ввел Ньютон.

Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, но и сумел найти максимум функции f(x) = x₂(a — х), применяя при этом предельные переходы.

Эпизодически понятие касательной (связано с понятием производной) встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи(1500-1557) здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. И. Кеплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения, примененные к разным задачам, встречаются уже у Декарта, французского математика Роберваля (1602 - 1675 гг.), английского ученого Д. Грегори (1638 – 1675 гг.), в работах И. Барроу (1630 - 1677 гг.) и, наконец, И. Ньютона. Говоря о последующем развитии идей анализа (а они очень быстро завоевали популярность, и нашли многих последователей), следует в первую очередь назвать учеников Лейбница — братьев Бернулли.

А.Лопиталь (1661 - 1704 гг.), который учился у Бернулли, издал уже в 1696 г. первый печатный курс дифференциального исчисления «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий», способствовавший распространению новых ме­тодов. Ряд крупных результатов получил Лагранж, его работы сыграли важную роль в осмыслении основ анализа. Как и в случае многих других разделов математики, неоценим вклад в развитие математического анализа, внесенный Л. Эйлером и К. Ф. Гауссом (1777—1855).

Иоганн Бернулли (1667- 1748 гг.)

Младший брат Якоба Бернулли, профессор математики с 1695 г. в Гронингенском (Голландия), а с 1705 г. в Базельском университете. Почётный член Петербургской Академии наук, в изданиях которой опубликовал 9 работ. Иоганн Бернулли был деятельным сотрудником Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, в области которых им был сделан ряд открытий (учение о показательных функциях; правило раскрытия неопределённостей вида 0/0, несправедливо носящее имя Лопиталя; интегрирование рациональных дробей; квадратура и спрямление различных кривых). Иоганну принадлежит также первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений. Конспект лекций, прочитанных им Лопиталю по дифференциальному исчислению, лёг в основу написанного последним «Анализа бесконечно малых» (1687 г.). Курс интегрального исчисления Иоганна был издан в 1742 г. Иоганн Бернулли продвинул далее разработку методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Якоб Бернулли (1654 – 1705 гг.)

Профессор математики Базельского университета с 1687. Ознакомившись в этом же году с первым мемуарам Лейбница по дифференциальному исчислению (1684 г.), вскоре блестяще применил новые идеи к выводу формулы радиуса кривизны плоской кривой, к изучению логарифмической спирали, открытой им лемнискаты, цепной линии, упругой линии и других кривых, встречающихся в математике и механике. Ему, между прочим, принадлежит термин «интеграл». Совместно с братом, Якоб положил начало вариационному исчислению.

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813 гг.)

В 1736 г. в итальянском городе Турине, входившем тогда в состав Сардинского королевства, в семье военного казначея Лагранжа родился одиннадцатый ребенок, получивший при крещении имя Жозеф Луи. Когда мальчик вырос, его отдали в артиллерийскую школу, которая готовила военных специалистов, владеющих теорией артиллерийской стрельбы. Для успешного овладения этой теорией требовалась хорошая математическая подготовка, поэтому математика занимала видное место в процессе обучения. Выявившиеся выдающиеся математические способности Жозефа Луи позволили ему не только успешно окончить артиллерийскую школу Турина, но уже в возрасте 19 лет занять в ней место профессора математики. Первый том ее трудов увидел свет в 1759 г. Значительная часть работ, печатавшихся в этом издании, принадлежала самому Лагранжу.

Среди различных вопросов, занимавших его в то время, выделялся один, разработке которого он уделял особенное внимание. Исследование этого вопроса привело к замечательным результатам, лежащим в основе вариационного исчисления.

Прочитанный им курс математического анализа был опубликован впоследствии в двух книгах (1797 г., 1801 г.) и содержал попытку обоснования математического анализа, в основах которого содержались в то время значительные неясности и пробелы (общепринятое сегодня обоснование было дано знаменитым французским математиком О. Л. Коши в 1821 г.).

Лагранж обогатил своим творчеством почти все области тогдашней математики Ему принадлежат фундаментальные результаты по алгебре (в частности, его работы по теории алгебраических уравнений послужили исходной точкой для исследований Э. Галуа), теории чисел (например, им была доказана теорема о том, что любое целое положительное число есть сумма не более чем четырех квадратов целых чисел), теории вероятностей, дифференциальным уравнениям, исчислению конечных разностей, комбинаторике, эллиптическим интегралам, различным вопросам математического естествознания.

Во Франции Лагранж пережил Великую революцию, времена Директории, Консульства и, наконец, наполеоновскую Империю. Бурные исторические события нашли слабое отражение в его биографии. Сменявшие друг друга правительства с постоянным глубоким уважением относились к величайшему математику страны. Умер Жозеф Луи Лагранж в 1813 г.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1726 гг.)

Математика не была его единственной страстью. С юных лет ему хотелось познать природу в целом, и математика должна была стать решающим средством в этом познании. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Научные и общественные планы Лейбница были грандиозны. Он мечтал о создании всемирной академии наук, о построении «универсальной науки». Он хотел выделить простейшие понятия, из которых по определенным правилам можно сформировать все сколь угодно сложные понятия. Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок. Он думал о машине, которая выводит теоремы из аксиом, о превращении логических утверждений в арифметические (эта идея была воп­лощена в жизнь в нашем веке).

Но грандиозность замыслов уживалась у Лейбница с пониманием того, что может быть непосредственно осуществлено. Он не может организовать всемирную академию, но в 1700 г. организует академию в Берлине, рекомендует Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница. Он прекрасно умеет решать конкретные задачи и в математике: создает новый тип арифмометра, который не только складывает и вычитает числа, но и умножает, делит, возводит в степень и извлекает квадратные и кубические корни, решает трудные геометрические задачи. Вводит понятие определителя и закладывает основы теории определителей. И все же Лейбниц всегда стремился рассмотреть любой вопрос под самым общим углом зрения. Скажем, X. Гюйгенс замечает сохранение энергии на примере некоторых механических задач, а Лейбниц пытается преобразовать это утверждение во всеобщий закон природы, он рассматривает Вселенную в целом как вечный двигатель (предварительная формулировка закона сохранения энергии).

Но особенно ярко проявились эти качества Лейбница, когда он, узнав о разнообразных математических и механических задачах, решенных Гюйгенсом, по совету последнего знакомится с работой Б. Паскаля о циклоиде. Он начинает понимать, что в решении этих разных задач спрятан общий, универсальный метод решения широкого круга задач и что Паскаль остановился перед решающим шагом, «будто на его глазах была пелена». Лейбниц создает дифференциальное и интегральное исчисления, которые в другом варианте были построены, но не опубликованы И. Ньютоном.

Ученый, занимавшийся разработкой универсального языка, понимает, какую роль в новом исчислении должна играть символика (см. Зна­ки математические). Без символики (которая сохранилась до наших дней в форме, предложенной Лейбницем) метод математического анализа не вышел бы за пределы узкого круга избранных (как это было с алгеброй до символики Виета Декарта). Кстати, Лейбниц предложил несколько других математических знаков, например = (равенство), (умножение). В отличие от Ньютона Лейбниц потратил много сил на передачу своего метода другим математикам, среди которых выделялись братья Якоби Иоганн Бернулли. По его инициативе создается журнал, в котором группа математиков оттачивает методы нового математического анализа.

Смысл своей жизни Лейбниц видел в познании природы, в создании идей, помогающих раскрыть ее законы.

Лопиталь Гийом Франсуа (1661—1704 гг.), французский математик. Автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению (1696 г.), в основу которого были положены лекции швейцарского учёного Бернулли. Лопиталь исследовал ряд трудных задач математического анализа, в частности дал одно из решений знаменитой задачи о брахистохроне.

Исаак Ньютон (1643-1727 гг.)

В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринити колледже. Однако чума, бушевавшая в Англии, заставила Ньютона уединиться на своей ферме, в Вулсторпе. «Чумные каникулы» затянулись почти на два года. «Я в то время был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже», - писал Ньютон. Тогда и сделал молодой ученый почти все свои открытия в физике и математике. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Он обнаружил, что 3-й закон Кеплера о связи между периодами обращения планет и расстоянием до Солнца с необходимостью следует, если предположить, что сила притяжения Солнца обратно пропорциональна квадрату расстояния до планеты.

Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулсторпе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г. В. Лейбница назывались дифференциалами. Ньютон вычислил производную и интеграл любой степенной функции.

О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» (1670 - 1671 гг.), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основы математического анализа. Ньютон также находит формулу для различных степеней суммы двух чисел, причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел. Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях.

Когда Ньютон вернулся в Кембридж в 1666 г., он привез бесчисленные и бесценные результаты своих математических занятий в Вулсторпе. У него пока не было времени привести их в форму, пригодную для публикации, и он не торопится с этим. Дел у него прибавляется, в 1669 г. он получает физико-математическую кафедру. В 1672 г. его выбирают членом Лондонского королевского общества (английской Академии наук).

В 1680 г. Ньютон начинает работу над основным своим сочинением «Математические начала натуральной философии», в котором он задумал изложить свою систему мира.

В 1688 г. И. Ньютона выбирают в парламент, а в 1699 г. он переезжает в Лондон, где получает пожизненное место директора монетного двора.

Работы И. Ньютона надолго определили пути развития физики и математики. Значительная часть классической механики надолго сохранилась в виде, созданном Ньютоном. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.

Пьер Ферма (1601 – 1665 гг.)

Мы очень мало знаем о жизни этого великого математика. Известно, что он родился в 1601 г. на юге Франции, был выходцем из «третьего сословия», изучал юридические науки и состоял советником тулузского парламента (суда). Математике он мог посвящать только свободное от работы время. Но сила его гения была столь велика, что, несмотря на это, его идеи наложили глубокий отпечаток на все дальнейшее развитие теории чисел, геометрии и математического анализа.

С наибольшей силой гений Ферма проявился в математике. Так, еще до Декарта и в более совершенной форме он построил систему аналитической геометрии, открыл общий метод для определения максимумов, минимумов и касательных, существенно развил метод Архимеда и применил его для опреде­ления площадей, объемов и длин дуг.

Очень немногие сочинения Ферма были изданы им при жизни, и то по настоятельному требованию друзей. Первое собрание сочинений великого ученого появилось только после его смерти. Умер Ферма в 1665 г.