Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

1. Число:

2. Тема урока: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

3. Тип урока: комбинированный

4. Цель урока: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

5. Учебно-воспитательные задачи урока:

Образовательные

• Вывод основного тригонометрического тождества

• Закрепить умения применять формулы для вычисления значений синуса, косинуса и тангенса угла по заданному значению одного из них

Развивающие

• Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале

• Формирований умений и навыков решения задач по изучаемой теме

Воспитательные

• воспитания интереса к предмету

• воспитание ответственного отношения к своему образованию.

1. Средства обучения: индивидуальные конспекты, записи на доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. М.: Просвещение, 2014.

2. План урока

8. Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие учителя. Проверка готовности класса к уроку. Сообщение темы и целей урока.

II. Опрос и повторение.

Какую окружность называют единичной?

Окружность, радиус которой равен единице.

- Как можно получить точку В(х;у)? (Поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол  ).

Дайте определение: синуса угла, косинуса угла, тангенса угла и котангенса угла. (Синусом угла    является ордината точки В(х;у). Косинусом угла  является её абсцисса).

-На сколько четвертей делится окружность осями координат Ох, Оу? (на 4)

- Какие знаки имеют синус, косинус и тангенс угла в этих четвертях?

- В какой четверти находится угол:

1) 90⁰⁰;

2) 0

3) 180⁰⁰;

4) 3π\2

I II. Объяснение нового материала.

Рассмотрим точку В(х;у), лежащую на тригонометрической окружности . Она получена поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол  . Обозначим ординату и абсциссу точки.

Рис.1.Точка В на тригонометрической окружности

Катет ОС - это абсцисса точки В или  , катет ВС- её ордината, или  а гипотенуза ОВ - радиус единичной окружности, ОВ=1.

Получаем формулу:

 (1) основное тригонометрическое тождество. 

Зная значения синуса, можно найти значения косинуса и наоборот.

  (2)

  (3)

Знаки перед корнем в этих равенствах определяются по знакам синуса и косинуса.

Пример. Найти  , если   ,  .

Выясним знак косинуса, угол   в 4 четверти, 

Подставим значение   в формулу (3), получаем:

Ответ:  .

Пример. Могут ли одновременно выполняться равенства   и 

Чтобы одновременно выполнялись эти равенства, необходимо выполнение условия

.

Подставим данные значения в формулу и проверим верно ли равенство:

;

;

1=1, верно.

Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.

Пример. Известно, что  , найти  .

Возведём в квадрат левую и правую части равенста:

учтём, что    ,

;

;

.

А какая же зависимость между тангенсом и котангенсом одного угла?

По определению:  ,  .

Перемножим эти равенства и получим формулу, которая связывает тангенс и котангенс:

.

(4)

 и   ,

причём угол   и 

Из этих формул видно, что тангенс и котангенс являются взаимнообратными числами.

Если  , то   .

Пример. Могут ли одновременно выполняться равенства   и  ? Подставляем данные значения в формулу (4) и получаем верное равенство.

.

Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.

А есть ли связь между тангенсом и косинусом? Рассмотрим равенство 

и обе части возведём в квадрат: . Используя формулы (2) и (3), получаем:

 ,

(5)

где 

По этой формуле можно находить значение тангенса по заданному значению косинуса и наоборот находить косинус, если известен тангенс.

Пример . Известно, что  ;   . Найти  ,   и  .

Угол   в первой четверти, значит все значения положительны. Найдём их по тригонометрическим формулам.

1. ;

2. ;

3. .

Применяя тригонометрические формулы, можно зная одно из чисел   ,  ,   и  , найти остальные три. Эти формулы являются тождествами.

Определение: Равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называется тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Рассмотрим некоторые приемы

1. Левую часть приводят к правой, или наоборот правую к левой.

2. Устанавливают то, что разность левой и правой частей равна нулю.

Пример. Доказать тождество: 

Преобразуем левую часть: 

Левая часть тождества равна правой. Доказано.

IV. Закрепление материала

Пример 1. Найти   , если   ,  .

Из условия видим, что угол в 3 четверти, значит   . Используем формулу (2):

Ответ:  .

Пример 2. Найти   , если   ,  .

Угол находится в 4 четверти, тангенс отрицательный. Подставим данное значение косинуса в формулу (5) и вычислим значение тангенса.

.

Ответ:    .

Пример 3. Доказать тождество: 

Преобразуем правую часть: 

Правая часть тождества равна левой. Доказано.

Физкультминутка.

Дополнительные задания: №№ 456, 457 (1,3), 458, 459(1,3,5,7).

V. Итоги урока. Рефлексия

Домашнее задание. П.25 . №№ 457 (2,4), 459(2,4,6,8).

3