Разработка урока по алгeрe по тeмe:" Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла"

Урок 38/3 класс 10 дата _________________________

Тема урока: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Цели и задачи:

• ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ: вывод формул зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса числа по заданному значению одного из них.

• РАЗВИВАЮЩАЯ: учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия..

• ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям.

Оборудование: учебник, тетрадь, плакаты по теме урока, таблицы, компьютер, диски, экран, проектор.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент: приветствие, проверка явки учащихся, заполнение журнала.

2. Актуализация знаний учащихся

• Анализ ошибок домашнего задания. На экране - картинка с верно выполненным домашним заданием. Каждый ученик проверяет с подробным фронтальным объяснением и отмечает правильность выполнения в рабочей карте урока.

РАБОЧАЯ КАРТА УРОКА.

С/о – самооценка.

О/т – оценка товарища.

• Диктант (устное повторение необходимых сведений):

1. Дайте определение:

• синуса острого угла А прямоугольного треугольника;

• косинуса острого угла В прямоугольного треугольника;

• тангенса острого угла А прямоугольного треугольника;

• котангенса острого угла В прямоугольного треугольника;

• какие ограничения накладываем мы на синус и косинус при определении тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Дайте определение :

• синуса угла a через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол a.

• косинуса угла a через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол a.

• тангенса угла a.

• котангенса угла a.

3. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса для углов, полученных поворотом точки Р(1;0) на угол 

4. Для всех этих углов указать четверти координатной плоскости.

Ребята проверяют диктант по слайду вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя себе оценку в рабочую карту урока.

5. Из истории тригонометрии. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций, сформулировал и доказал формулы приведения, с которыми вам еще предстоит встретиться, выделил классы четных и нечетных функций.

1. Изучение нового материала

Класс разбивается по вариантам на первый и второй вариант – на экране слайд с условием и чертежами, решения пока нет.

1 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1x²+y²=1; sin²+cos²=1.

2 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через теорему Пифагора – в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: OB²+AB²=OA² - и получаем sin²+cos²=1.

Сравнивают результаты, делают выводы: главный – равенство выполняется при любых значениях входящих в него букв? Ученики должны ответить, что это тождество

(на слайде показывается верное решение, как для первого, так и для второго вариантов).

Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества.

Вспомним – какие еще тождества мы с вами знаем в алгебре – формулы сокращенного умножения:

a²-b²=(a-b)(a+b),

(a-b)²=a²-2ab+b²,

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b²,

(a-b)³=a³-3a²b+3ab³-b³,

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²),

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).

Следующая проблема – а для чего мы вывели основное тригонометрическое тождество – sin²+cos²=1.

Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса, косинуса или тангенса – значений всех остальных функций.

Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента.

Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом………………………

Идет новое исследование на тему – каким может быть угол во втором тригонометрическом тождестве?

ГЛАВНОЕ – ВЫЯСНЕНИЕ МНОЖЕСТВА, НА КОТОРОМ ЭТИ РАВЕНСТВА ВЫПОЛНЯЮТСЯ. ОТМЕТИТЬ НА РИСУНКЕ ТОЧКИ, В КОТОРЫХ ТАНГЕНС И КОТЕНГЕНС УГЛА НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

1. Закрепление изученного материала

1 ВАРИАНТ – выразить синус через косинус угла.

2 вариант – выразить косинус через синус угла. На слайде верный ответ

Вопрос учителя – никто не забыл проставить знаки +и - ? Каким может быть угол? – любым.

В этих формулах знак перед корнем зависит от чего? от того, в какой четверти расположен угол (аргумент) тригонометрической функции, которую мы определяем.

Выполняем у доски 2 ученика №457. – 1 – й вариант - 1, 2-й вариант - 2.

На слайде – верное решение.

3-й ученик у доски. Равенства справедливы при……………………….

ЗАДАЧА3. Вычислить………, если………………………….

ЗАДАЧА 4. Вычислить…………….. если ………………………………………………………………

Остальные учащиеся работают у себя в тетрадях.

1 ОПОРА………………………………………………………………………………………………

2 ОПОРА………………………………………………………………………………………………

3 ОПОРА. Применение основного тригонометрического тождества к решению задач.

6. Закрепление нового материала ( по технологии Г.Е.Хазанкина – технология опорных задач).

ЗАДАЧА 1. Вычислить ……….., если ………………………………………………………………….

1 ученик у доски самостоятельно – затем слайд с правильным решением.

ЗАДАЧА 2. Вычислить……………., если………………………………………………………………..

2-й ученик у доски, затем слайд с верным решением.

1. Самостоятельная работа на узнавание основного тригонометрического тождества

1. найти значение выражения:

2. выразить число 1 через угол a, если

Идет взаимопроверка – по готовому слайду и оценивание работ – как самооценкой, так и оценкой товарища.

1. Итог урока:

Кроссворд. Анатоль Франс сказал как-то: “Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Для проверки знаний по данной теме вам предлагается кроссворд.

1. Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса, тангенса…

2. Абсцисса точки на единичной окружности.

3. Отношение косинуса к синусу.

4. Синус – это…..точки на единичной окружности.

5. Равенство не требующее доказательства и верное при любых значениях входящих в него букв. Называется……

Проверив кроссворд, ребята выставляют себе оценки в рабочую карту урока. Учитель выставляет оценки тем ученикам, которые особенно активно проявили себя на уроке. Итог – средний балл за работу на уроке.

1. Домашнее задание: параграф 25 (до задачи 5), №459 (четные), 460 (четные), 463*(4).

Тема урока:

«Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла».

РАБОЧАЯ КАРТА УРОКА.

Д/з.

Диктант. Теория по теме.

С/о

Формулы. Проверка знания формул

С/о

С/о

Самостоятельная работа. Решение упражнений

О/т

Кроссворд

С/о

Оценка учителя

С/о

Итог урока.

С / о – самооценка

О / т – оценка товарища

№ 444

№ 445

№ 446

А

B

C

Y

P( )

О

X

Y

A

О

B

X

По теореме Пифагора :

a 2 -b 2 =(a-b) (a+b),

( a-b ) 2 =a 2 -2ab+b 2 ,

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 2 ,

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 ,

a 3 -b 3 =(a-b) (a 2 +ab+b 2 ),

a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 -ab+b 2 ).

∙

∙

∙

Sin 2 2 m + С os 2 2 m = ?

Sin 2 2α + С os 2 2α =?

С os 2 Х + Sin 2 У =?

Sin 2 ( х + у ) + С os 2 ( х + у) =?

Зависимость между тангенсом и котангенсом одного и того же аргумента:

∙

∙

Проверка самостоятельной работы:

Y

О

X

∙

∙

∙

∙

∙

Т

Р

И

Г

К

Т

О

Н

О

Т

Ж

О

А

К

Д

М

Н

О

Г

С

Е

И

С

О

Т

Е

Р

Т

Н

С

Д

В

У

И

О

С

И

я

Н

А

Т

А

§25( до задачи 5),

№ 459(четные),

460(четные),

463*(4).