Задание №14. Стереометрия (на доказательство)

Задание № 14. Стереометрия (на доказательство).

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.
а) Докажите, что A₁P:PB₁=3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.
а) Докажите, что A₁P:PB₁=3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

3. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD— квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC₁, если AA₁=10, AB=12.

4. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=6, а боковое ребро SA=4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Ответ: б) 8 + 2√2

5. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=60, а боковое ребро SA=37. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Ответ: б) 5√3

6. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

7. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=3, SB=5, SD=3√5.
а) Докажите, что SA— высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Ответ: б) 2,4

8. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=8 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√21, SB=√85, SD=√57.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

9. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5.На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

10. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA₁ равно 2√2. На рёбрах AB, A₁B₁ и B₁C₁отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B₁N= C₁K=2.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Ответ: б) 15

11. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA₁=3. На ребре AB отмечена точка K так, что AK=1. Точки M и L— середины рёбер A₁C₁ и B₁C₁соответственно. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Ответ: б) 3/4

12. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA₁ равно 4√2. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK= C₁L=2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

13. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный (AB=BC) треугольник ABC. Точка K— середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3.
а) Докажите, что KM⊥AC.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB=6, AC=8, AA₁= 3.

14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=2√2, AD=6, AA₁=10. На рёбрах AA₁ и BB₁ отмечены точки E и F соответственно, причём A₁E:EA =3:2 и B₁F:FB=3:7. Точка T — середина ребра B₁C₁.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D₁.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Ответ: б) 22,5

15. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E:EA=1:2, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F:FB=1:5 , а точка Т — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB=2, AD=6, AA₁=6.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA₁B₁.

16. На ребрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ c ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причем DP=4, а B₁Q=3. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM=DN=4 и АК=3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

18. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а высота равна 1. На ребрах АВ, АС и AS отмечены точки М, N и К соответственно, причем АМ=AN=3 и AK=7/4.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

19. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной 4, высота призмы равна 6. Точка K делит ребро AA₁ в соотношении AK:KA₁=1:2. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD₁ в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD₁ в отношении DM:MD₁=2:1.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 8√6

20. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 12, а боковое ребро AA₁ равно 3√6. На ребрах AB и B₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причем AK=2, B₁L=4. Точка M середина A₁C₁. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Ответ: б) √2

21. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=√5 и BC=2. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√7, SB=2√3, SD=√11.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Ответ: б) 30

22. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA=AQ=RC=2.
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
Ответ: б) 7/2

23. В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB=13, PB=15, cos PBA=48/65. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды PABC.
Ответ: б) 90

24. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.
а) Докажите, что AA₁=AC.
б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 6, BC = 3.
Ответ: б) √2

25. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4√2. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.

26. Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.
б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а высота равна 12.
Ответ: б) 4

27. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
Ответ: б) 2/7

28. В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра SA=SB=7, SC=5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Ответ: б) 16√6

29. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:BM = CN:NB = 1:2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
Ответ: б) 13/23

30. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, AA₁=4√2. Точка Q — середина ребра A₁B₁, а точка P делит ребро B₁C₁ в отношении 1 : 2, считая от вершины C₁. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC₁.
б) Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости APQ.

31. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁  известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA₁ = 2. Точки P и Q — середины рёбер A₁B₁ и CC₁ соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B₁C₁ в точке U.
а) Докажите, что B₁U:UC₁=2:1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁плоскостью APQ.

32. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B₁C₁ и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC₁=3, а AQ = 4. Плоскость A₁PQ пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A₁PQ.

33. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2√3, а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
Ответ: б) √15/5

34. Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120◦ при вершине M. Образующая конуса равна 2√3. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 4√2

35. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной 5√2, высота призмы равна 2√14. Точка K — середина ребра BB₁. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Ответ: б) 26

36. Дана правильная пирамида SABCD. Точка M находится на SD так, что MS:SD=2:3. Точка P середина AD. Точка Q середина BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP – равнобедренная трапеция.
б) Найдите соотношение объемов.
Ответ: б) 2/7

37. Основание прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали граней AA₁B₁B и BB₁C₁C равны 15 и 9 соответственно, AB=13.
а) Докажите, что треугольник A₁C₁B – прямоугольный.
б) Найти объем пирамиды AA₁C₁B.
Ответ: б) 20√14

38. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁  является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC₁A₁является квадратом.
а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 4, BC = 7.

39. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания АВ=6, а боковое ребро AA₁ =3. На ребре B₁C₁ отмечена точка L так, что B₁L=1. Точки К и М – середины ребер АВ и  A₁C₁ соответственно. Плоскость ƴ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости ƴ
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью ƴ.
Ответ: б) 5√3

40. В правильной четырехугольной призме KLMNK₁L₁M₁N₁ точка E делит боковое ребро KK₁ в отношении KE:EK₁=1:3. Через точки L и E проведена плоскость α параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN₁ в точке F.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN₁ пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6, KK₁=4.

41. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, AB = AA₁.
а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объем призмы, если A₁C=BD=2.

42. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA₁D₁D и CC₁D₁D соответственно.
а) Докажите, что B₁KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B₁KLM.
Ответ: б) 18

43. Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A₁P=4.
а) Докажите, что PBDC₁ — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Ответ: б) √11

44. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5√2.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3. Найдите площадь сечения MNB.
Ответ: б) 3√6

45. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 20/3

46. Дан цилиндр, в котором проведены диаметры оснований. AB – диаметр верхнего основания, CD - диаметр нижнего, причем отрезки AB и CD не лежат на параллельных прямых.
а) Докажите, что у пирамиды ABCD противоположные ребра равны.
б) Найдите высоту цилиндра, если AC=7, AD=6, а радиус основания цилиндра равен 2,5.
Ответ: б) √30

47. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Из точки В опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
а) Доказать, что угол AHC=90°.
б) Найдите объем пирамиды, если HA=1 и HC=7.

48. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 3. На его ребре BB₁отмечена точка K так, что KB=2. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра A₁B₁.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

49. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Ответ: б) 64+32√3

50. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 6.
а) Докажите, что угол между прямыми АС и BD₁ равен 60°.
б) Найдите расстояние между прямыми АС и BD₁.
Ответ: б) 2√3

51. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA₁.
а) Докажите, что прямые MB и B₁C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми MB и B₁C.
Ответ: б) √30/5

52. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ―12√2. Через вершину A проведена плоскость a, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.
а) Докажите, что плоскость a делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2:1, считая от вершины P.
б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

53. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁ . На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK: KA₁ = 1 : 2. Плоскость a проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD₁ в точке M.
а) Докажите, что MD:MD₁=2:1.
б) Найдите площадь сечения, если AB=4, AA₁=6.
Ответ: б) 8√6

54. На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ:OB=1:2. Точка P — середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.
Ответ: б) √5

55. В правильном тетраэдре АВС точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.
а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

56. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=√2, CC₁=2.
а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 45°.
б) Найдите объём цилиндра.
Ответ: б) 4π

57. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки B₁ и C₁, причем BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC₁ прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB₁ и AC₁, если АВ = 6, BB₁=15, B₁C₁=8.

58. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ . лежит равнобедренный (AB = BC) треугольник ABC. Точки K и M — середины рёбер A₁B₁ и AC соответственно.
а) Докажите, что KM = KB.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB = 8, AC = 6 и AA₁ = 3.

59. Дана правильная треугольная призма  ABCA₁B₁C₁ , у которой сторон основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C₁и середину T ребра A₁B₁ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Ответ: б) arctg 3

60. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁стороны основания равны 4, а боковые ребра 5.
а) Докажите, что плоскость A₁C₁E перпендикулярна плоскости BB₁E₁.
б) Найдите угол между плоскостями A₁C₁E и ABC.

61. В треугольной пирамиде SABC основанием является правильный треугольник ABC, а ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точки D, E и F середины ребер AB, BC и BS соответственно.
а) Докажите, что плоскость DEF делит пополам высоту пирамиды, проведенную из вершины B.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости DEF, если AB=6, AS=10.

62. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=√33, все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS – точка F так, что SF=BE=3.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.
б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.

63. Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой равны 12. Точка N – середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2:1, считая от вершины M.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.
Ответ: б) 7√51

64. На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB=BC. Медиана AM треугольника ASC пересекает высоту конуса.
а) Точка N - середина отрезка AC. Докажите, что MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS=2, AC=√6.

65. В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
Ответ: б) 12√3

66. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B —точка Q, причём AP = BQ = SA.
а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

67. Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ . перпендикулярно прямой BD₁.
а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB₁ и B₁D.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 48√3, AB = 2√3 и AD = 6.
Ответ: б) 60°

68. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка Е так, что A₁E=6AE. Точка Т - середина ребра B₁C₁.Известно, что АВ =4√2, AD=12, AA₁=14.
a) Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 4:3.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.
Ответ: б) 90

69. Дана пирамида SABC в которой SC=SB=AB=AC=√17, SA=BC=2√5. 

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC. 

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

70. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ . Точка K – середина ребра C1D1. 

а) Докажите, что расстояние от вершины A1 до прямой BK равно ребру куба. 

б) Найдите угол между плоскостями KBA1 и BCC1. 

71. На продолжениях рёбер A1A и D1C1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки K и L соответственное, причем AA1=AK, C1D1=C1L.

а) Докажите, что прямая KL проходит через середину ребра BC.

б) Найдите угол между прямыми AD1 и KL, если AB=2√2,  AD=6,  AA1=8.

72. На ребре AB правильной треугольной пирамиды SABC с основанием ABC отмечена точка K, причём AK=15, BK=3. Через точку K проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC.

а) Докажите, что плоскость α проходит через середину высоты пирамиды.

б) Найдите расстояние между плоскостями α и SBC, если высота пирамиды равна 13.

73.  В правильной треугольной пирамиде SABC точка P – делит сторону AB в отношении 2:3 считая от вершины A, точка K – делит сторону BC в отношении 2:3 считая от вершины C. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость a.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью a является прямоугольником. 

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости a если известно, что SC=5, AC=6.  

74. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=9, а боковое ребро SA=6. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK : KB=SM : MC =2:7. Плоскость a содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость a делит ребро SB в отношении 2:7 считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

75. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=3, а боковое ребро SA=6. Точка K делит ребро SC, причем SK:KC=1:2. Плоскость a проходит через точку K и параллельна SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскость a является равнобедренной трапецией.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка S, а основание – сечение пирамиды SABC плоскость a.