Зачет по теме: Метод координат в пространстве. Геометрия 11 класс.

Вариант 1.

1. Расскажите, как задается прямоугольная система координат и как определяются координаты вектора.

2. Сформулируйте основные свойства скалярного произведения векторов.

3. Даны точки А(0;4;0), В(2;0;0), С(4;0;4) и Д(2;4;4). Докажите, что АВСД – ромб.

4. Даны векторы и ,причем = 4 – 3, || =

() = 45°.

Найдите а) ||, б) ·

в) значение m, при котором векторы и 2, m,8

перпендикулярны.

1. На оси Оz найдите точку, равноудаленную от точек

А ( -2;0;3) и В (0;2;1)

Вариант 2.

1. Какие векторы называются коллинеарными в пространстве?

Сформулировать условие коллинеарности двух векторов.

1. Выведите формулу для вычисления угла между прямыми в пространстве с помощью направляющих векторов этих прямых.

2. Даны точки А(0;1;2), В(;1;2), С(;2;1) и Д(0;2;1).

Докажите, что АВСД – квадрат.

1. Найдите угол между прямыми АВ и СД, если А(1;1;2),

В(0;1;1), С(2;-2;2) , Д(2;-3;1)

1. Даны векторы и . Найдите ·( +), если -2;3;6 ,

= 6– 8.

Вариант 3.

1. Какие векторы называются компланарными? Назовите признак

компланарности двух векторов.

1. Выведите формулы координат середины отрезка через координаты его концов.

2. Векторы n;-2; 1 и n;1;-n перпендикулярны.

Найдите n.

1. Даны три вершины А(1;4;2), В(2;-1;5), С(0;-2;4) прямоугольника АВСД. Найдите координаты четвертой вершины Д.

2. Даны точки А(1;3;0), В(2;3;-1) и С(1;2;-1). Вычислите угол между

векторами СА и СВ.

Вариант 4.

1. Расскажите о связи между координатами векторов и координатами точек.

2. Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов, используя скалярное произведение.

3. Найдите значения m и n, при которых векторы 15;m;1и

18;12; n коллинеарны.

1. Даны векторы = 5-2+ и =4-2. Вычислите ·.

2. Дан куб АВСДА₁В₁С₁Д₁. Используя метод координат, найдите угол между прямыми АВ₁ и А₁Д.

Вариант 5.

1. Расскажите, как определяется угол между прямой и плоскостью в пространстве.

2. Запишите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

3. Найдите скалярное произведение векторов и , если

а) || = 4; || = , () = 30°;

б) 2; -3;1 , = 3 +2

4. Даны точки А(2;-1;0), В(-3;2;1), С(1;1;4). Найдите координаты точки Д, если векторы АВ и СД равны.

5. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(m;-3;2),

В(9;-1;3), С(12;-5;-1). Определите значения m, при которых угол С треугольника тупой.

Вариант 6.

1. Запишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

2. Выведите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами.

3. Даны точки А(-3;1;2) и В(1;-1;-2). Найдите а) координаты середины отрезка АВ б) координаты и длину вектора АВ.

4. Найти угол между прямыми АВ и СД, если А(-6;-15;7),В(-7;-15;8), С(14;-10;9),Д(14;-10;7).

5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

8;4;1 и 2;-2;1