Виды тригонометрических уравнений и методы их решений

1. Простейшие уравнения:

1. Уравнение вида sin f(x) = a и аналогичные ему с другими тригонометрическими функциями.

введением вспомогательного неизвестного t = f(x) сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям или уравнениям вида f(x) = b.

Уравнение sin f(x) = a. указанной заменой приводится к системе:

При из второго уравнения имеем или, подставляя в первое уравнение имеем:

При уравнение sin f(x) = a корней не имеет.

Пример. .

Ответ:

1. Уравнение вида: f(sin x) = 0 и аналогичные ему с другими тригонометрическими функциями.

Ведением вспомогательного неизвестного t = sin x приводим уравнение к виду f(t) = 0, решив которое приходим к простейшему тригонометрическому уравнению.

Если уравнение f(t) = 0 имеет корни , то приходим к объединению простейших уравнений:

В школе часто встречаются уравнения вида:

(1) и аналогичные ему с другими тригонометрическими функциями.

Такие уравнения решаются введением подстановки sin x = t. Это уравнение вида (3), где f – квадратичная функция.

sin x = t.

Уравнение свелось к объединению простейших уравнений:

(2)

Уравнение (2) сводится к уравнению (1) с помощью основного тригонометрического тождества:

1. Уравнения однородные относительно sin x и cos x.

Пусть то есть

1. Делим обе части уравнения на (или ). Получаем уравнение n-ой степени относительно tg x (ctg x). Решаем его (это уравнение вида (3)).

2. Проверяем являются ли числа корнями заданного уравнения.

3. Записываем ответ.

В школе решаются уравнения с показателями однородности 1 и 2.

Пример:

1. при n=1 имеем уравнение:

Если , то, разделив на получим:

2)

Если , то, разделив на , получим:

Обозначим , получим и т. д.

1. Метод введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на :

.

Заметим, что

Так как сумма квадратов равна 1, то существует такой угол φ, что

(*)

Подставим sin φ и cos φ в уравнение, получим:

Если , то уравнение решений не имеет.

Если , то ищем решения.

Итак, решений нет, если . Если , то

(где φ определяется из (*))

Пример 1:

уравнение не имеет решения.

Пример 2:

уравнение имеет решения.

1. метод введения новой переменной.

1. Подстановка.

Подстановку целесообразно применять, если левая часть тригонометрического выражения F(x)=0 может быть выражена через ( ) и .

Пример 1.

Если и - корни квадратного уравнения, то данное уравнение равносильно дизъюнкции функций:

Пример 2.

уравнение примет вид:

Это уравнение (sinx+cosx=0) можно решить возведением в квадрат, а также введением вспомогательного (разделив обе части уравнения на ). Наконец, с помощью универсальной подстановки (см. ниже) а также графически или с помощью круга.

Замечание. В уравнении вида удобнее применить подстановку тогда ;

2) Универсальная подстановка

Универсальная подстановка может быть применена, если левая часть тригонометрического выражения F(x)=0, является рациональной функцией от sinx и cosx.

Использование этой подстановки приводит к трудной задаче нахождения корней многочлена, поэтому, ее применяют в том случае, когда нет других путей решения.

;

Итак

Замечание: Т.к. использование универсальной подстановки возможно лишь при то нужно проверять, не являются ли числа вида x=2πn решениями заданного уравнения.

Пример 1: 3sin2x+cos2x+1=0

Введем подстановку tgx=t;

Проверим, не являются ли числа, при которых tgx не существует (т.е. cosx=0) корнями уравнения.

Подставим в уравнение :

Проверка показала, что являются решениями уравнения.

Ответ: ;

3) Подстановка t=cos2x.

Эту подстановку целесообразно применять, если левая часть тригонометрического выражения выражается через

Пример 1:

О

4) «Интересная» подстановка

Пример :

- уравнение не имеет решений т.к.

Пример:

Ответ:

Методом разложения на множители можно решить уравнения:

Предварительная оценка левой и правой частей уравнения иногда помогает решить уравнение или убедиться в том, что уравнение не имеет решения.

Пример:

Чтобы выполнялось равенство одновременно, должно быть : sinx=1, cosx=±1, что невозможно, т.к.

Ответ: решений нет.