Урок по геометрии на тему "Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника"

МБОУ «Школа №9 » Ново-Савиновского района г. Казани Республики Татарстан

Конспект урока  геометрии в 8 классе.

Тема: «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника»

                                            Разработал: учитель математики МБОУ «Школа № 9»

                                                               Ново – Савиновского района г. Казани

                                                               Республики Татарстан

                                                                Мифтахова Резеда  Хабировна

                                                              Казань, 2013

Уитель математики: Гаджимурадова Тамамат Абидиновна

Учебник: «Геометрия», 8 класс, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. М.:"Просвещение", 2016.

Класс: 8 класс.

Тема: «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника».

Цели: 1. Образовательные: Систематизировать, расширить и углубить знания,  

                                                  умения по изучаемой теме.

            2. Развивающие: Способствовать развитию наблюдательности, умению  

                                          анализировать, сравнивать, делать выводы. 

           3. Воспитательные: Побуждать учеников к само-, взаимоконтролю, вызывать  у них потребность в обосновании своих знаний.  

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: поисково-исследовательский

Оборудование: презентация на тему «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника»

Ход урока:

I. Организационный момент

   Приветствие учителем детей:

- Здравствуйте! Садитесь!

- Ребята, на самом деле трудных вопросов у нас на уроке будет много, но я думаю, что вы справитесь с ними легко!

 Работа с журналом (отметить отсутствующих, написать число, тему урока в журнале).

II.  Актуализация опорных знаний учащихся

В начале 9 класса на уроках физики вы будете рассматривать некоторые вопросы: «Движение тела под углом к горизонту», «Движение тела по параболе», где необходимы умения решения прямоугольного треугольника. Сегодня мы познакомимся с элементами тригонометрии, необходимыми для решения прямоугольных треугольников. (слайд№2)

Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и вообще, существенно упростить процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. Важный шаг в развитии тригонометрии был сделан индийскими учеными. Окончательный вид тригонометрия приобрела в 17 веке в трудах Л.Эйлера.(слайд №3)

Мы вместе с вами попробуем провести небольшое исследование. Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Пусть наши достижения и не покажутся кому-то крупными, но ведь это будут наши собственные достижения!

Итак, начинаем нашу работу.

-Ребята, посмотрите внимательно на данные фигуры.(рис1,рис2,рис3)

          Рисунок 1                                                Рисунок 2                                             Рисунок 3

Дайте им характеристику. Что вы знаете о них? (треугольники, прямоугольные, один из них равнобедренный и т.д.)

Ответьте на вопросы: (cлайд№5)

1. Какие могут быть углы? (острые, тупые, прямые)

2. Как называются стороны прямоугольного треугольника?(катеты, гипотенуза)

3. Какие соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника вы знаете? (теорема Пифагора, свойства катета, лежащего против угла в 30°)

4. Какие задачи из жизни могут привести к необходимости вычислять неизвестные стороны в треугольнике? (строительство домов, дорог и др.)

III.  Сообщение темы урока. Изучение нового материала.

В древности люди следили за светилами и по этим наблюдениям вели календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; корабли на море, караваны на суше ориентировались в пути по звездам. Все это привело к потребности научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами в треугольнике. (cлайд№6)

Цель сегодняшнего урока – исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения, применяя которые на следующих уроках геометрии, вы сможете решать  подобные задачи .

Давайте почувствуем себя в роли научных работников и вслед за гениями древности Фалесом, Евклидом, Пифагором пройдем путь поиска истины. (cлайд№7)

Для этого нам нужна теоретическая база.

-Ребята, посмотрите на чертеж(рис. 4) (cлайд№8)

-Порассуждайте, как расположен катет ВС по отношению к острому углу А? Как можно его назвать? (лежит против угла А- противолежащий катет.)

-Как расположен катет АС? Как можно его назвать?( прилежащий катет)

Закрепим наши знания: назовите для острого угла В прилежащий катет, противолежащий катет, гипотенузу.(ВС, АС, АВ)

   Рисунок 4

Начертите в тетрадь эту фигуру.

Вычислим, какую часть составляет противолежащий катет для острого угла А к его гипотенузе, для этого составим отношение противолежащего катета к гипотенузе:

.   Запишем в тетрадки.

Это отношение носит особое название – такое, что каждый человек в каждой точке планеты понимает, что речь идет о числе, представляющем отношение противолежащего катета острого угла к гипотенузе. Это слово синус. Запишите его. Так как слово синус без названия угла теряет всякий смысл, то математическая запись такова:

Теперь составьте отношение прилежащего катета к гипотенузе для острого угла А:

Это отношение имеет название косинус. Его математическая запись:

Рассмотрим еще одно отношение для острого угла А: отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

Это отношение носит название тангенс. Его математическая запись:

Давайте закрепим наши промежуточные открытия. (Фронтальная работа)

Синус – это… (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

Косинус – это…(отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Тангенс – это… (отношение противолежащего катета к прилежащему).

Переходим к исследованиям.

-Кто хочет поработать у доски? (один из учеников выходит к доске, остальные ребята ведут записи  на местах в тетрадях)

-Найдем отношение      . У нас получилось, что tgA= 4/3

-Анализируем полученное отношение. Любое предположение должно быть теоретически обосновано. Как доказать, что

Какие у вас будут идеи?

Вывод:

-Cпасибо за работу у доски, садись на место.

Теперь найдём sin²A, соs²A. (Следующий ученик вызывается к доске)

Сложите их.

Сделайте вывод. Это случайность или закономерность? Если это закономерность, то как ее доказать?

Вывод:

.(cлайд№9)

Это основное тригонометрическое тождество

- Спасибо за работу, садись на место.

Подведем итог. Что мы сделали? (Мы самостоятельно вывели формулы)

-Итак, наше исследование завершено. Устали? Давайте немножко отдохнём.  

VIII.  Физкультминутка (гимнастика для глаз) (cлайд№10)

IX.  Закрепление изученного материала

1. №591(а,б). (Пункт а объясняется учителем. Все остальные задания учащиеся выполняют в тетрадях, один из учеников у доски).

а). Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: ВС=8, АВ=17;б).ВС=21, АС=20.

       А        а)Решение: АС²= АВ²-ВС²=289-64=225, т.е. АС=15.

                         sinA = BC/AB= 8/17;  

                                                            cosA =AC/AB=15/17;  

        sinB = AC/AB=15/17;  

        cosB=BC/AB=8/17.

        tgA=ВС/АС=8/15;

   С                В                                          tgB=АС/ВС=15/8.

                                                                    Ответ: sinA = 8/17;  cosA = 15/17; sinB =15/17; cosB=8/17;        

                                                             tgA= 8/15; tgB=15/8.        

б). Решение:    АВ²= АС²+ВС²=400+441=841, т.е. АВ=29.

                          sinA = BC/AB= 21/29;  

                          cosA =AC/AB=20/29;  

                          sinB = AC/AB=20/29;  

                          cosB=BC/AB=21/29;

                          tgA=ВС/АС=21/20;

                          tgB=АС/ВС=20/21.

   Ответ: sinA = 21/29;  cosA = 20/29; sinB =20/29; cosB=21/29; tgA= 21/20; tgB=20/21.

                                                                                                                   .

      2. №593(б) Найдите: sinα , tgα, если cosα= ⅔

       А         

        Решение:  sin²α +  cos²α=1             

                                                             sinα= √5/3

         tgα= sinα/ cosα= √5·3/3·2=√5/2

                                           Ответ:      sinα= √5/3; tgα =√5/2.

    С                В              

3. №594. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а)Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б). Найдите их значения, если b=10 см., а β=50°.

     А         

         Решение: α=90°-β=90°-50°=40°

        α                                                                            sinβ=b/c, т.е. с= b/ sinβ=10/0,766≈12,5;

  b        c         cosβ= а/с, т.е. а= с·cosβ=12,5·0,64≈8

        Ответ: α=40°; с≈12,5; а≈8.

β

    С     а       В                                         

 Итог урока. -Что вы узнали нового на уроке? (Фронтально)

-Сегодня при помощи исследования мы предположили и доказали некоторые теоретические факты, на следующих уроках вы будете решать задачи с использованием полученных вами сегодня выводов.

Ваше домашнее задание Изучение теоретического материала по учебнику на страницах 149-151(пункт 66), стр. 152 №591(в,г), №595. (cлайд№11)

Оценивание работы детей на уроке. Отметки выставляются в журнал.

Спасибо за урок. До свидания. (cлайд№12)