Урок одной задачи. Различные способы решения одного квадратного уравнения.

Урок одной задачи. Методы решения квадратного уравнения

Тема урока: Решение квадратного уравнения.

Цель урока: систематизировать знания учащихся по теме "Способы решения квадратного уравнения", формировать умения выбирать наиболее

рациональный способ решения квадратных уравнений.

Учебные задачи, направленные на достижение:

Личностного развития:

- продолжить развивать умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи,

- развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач,

- развивать математические способности и интерес к математическому творчеству.

Метапредметного развития:

- формировать общие способы интеллектуальной деятельности,

- продолжать развивать умение понимать и использовать математические

средства наглядности.

Предметного развития:

- формировать умения и навыки решения квадратных уравнений разными

способами.

Формы работы учащихся: индивидуальная, групповая.

Структура и ход урока:

1. Организационный момент.

2. Целеполагание.

Сообщение темы урока: “ Урок одной задачи. Методы решения квадратного уравнения ”.
- Совместное формулирование цели урока
Сегодня у нас несколько необычный урок – урок-презентация методов решения квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?
(Речь идет о методах, значит их много (больше одного), надо каждый вспомнить и проиллюстрировать примером)
Иными словами обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо?
(Для возможности выбора рационального пути решения).
Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.
В связи с этим эпиграфом к нашему уроку я взяла слова У.У. Сойера

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.

Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

1. Актуализация знаний.

Сейчас я предлагаю вспомнить всю “азбуку” квадратного уравнения . Работа по слайдам.(4-5).

4. Основная часть урока

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать многие уравнения.

Итак, все необходимые, азбучные методы решения повторили, и я приглашаю вас на презентацию иных методов решения квадратных уравнений. . Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”.

Метод “переброски” старшего коэффициента
Суть метода состоит в то, что корни квадратных уравнений
ax² + bx + c = 0 и y²+by+ac=0
связаны соотношениями.
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y²+by+ac=0, которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.

Следующие два метода также применимы при определенных условиях и позволяют избежать громоздких вычислений.
Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
Пример: решите уравнение
157х²+20х-177=0
a = 157, b = 20, c = -177
a + b+ c =157+20-177=0
x₁ = 1,
x₂ = =
Ответ: 1;
Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен
Пример: решите уравнение
203х²+220х+17=0
a = 203, b = 220, c = 17
a + c = 203 + 17 = 220 = b
х₁ = -1,

4 Закрепление.

Мы убедились, что пути решения даже одной и той же задачи могут быть очень разнообразными.

5 Подведение итога урока

Я хочу закончить наш урок словами французского писателя Эмиля Золя «Весь смысл жизни заключается в бесконечном завоевании неизвестного, в вечном усилии познать больше».

6. Домашнее задание

Решить данное уравнение по формуле со вторым четным коэффициентом.

Урок одной задачи.

Методы

решения квадратного

уравнения.

Цель урока:

• Обобщить и систематизировать изученный материал по теме: «Квадратные уравнения».

• Рассмотреть несколько способов решения одной задачи и научиться выбирать из них наиболее оригинальный , оптимальный.

• Познакомиться с новыми приёмам устного решения квадратных уравнений.

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.

Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У.У. Сойер

Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax 2 + bx + c = 0, а ≠ 0

где х ─неизвестное, a,b,c ─заданные числа, а называют старшим коэффициентом, b─вторым коэффициентом, c ─ свободным членом.

Полные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

(если хотя бы один из коэффициентов

b = 0 или c = 0)

ax 2 =0,a ≠0,

b=0,c=0.

ax 2 + bx + c = 0

ax 2 +bx=0,

приведенные

(если а = 1 )

а ≠ 0

a ≠0,c=0.

х 2 + px +q = 0

неприведенные

ax 2 + c = 0,

a ≠0, b=0.

1) 2х² – х + 3 = 0 2) х² - 9х = 0

3) 4х + х² - 1 = 0 4) 2х – 5 = 0

5) 0,3 - 0,2х - х² = 0 6) 5х² = 0

7) -7х + х - 0,5 = 0 8) 49х² = 0

• Какое из этих уравнений не является квадратным?

• Назовите неполные квадратные уравнения.

• Назовите приведенные квадратные уравнения.

• Какие уравнения можно решить по формуле корней квадратного уравнения?

• Какие уравнения можно решить разложением на множители, выделением квадрата двучлена, извлечением квадратного корня?

Найдите в каждой группе уравнений «лишнее»:

А: 1. 3х 2 −х = 0, Б: 1. х 2 −7х +1=0,

2. х 2 −25 = 0, 2. 7х 2 − 4х +8 = 0,

3. 4х 2 + х −3 = 0, 3. х 2 + 4х −4 = 0,

4. 4х 2 = 0. 4. х 2 −5х −3 = 0.

Не решая уравнение

х 2 −8х + 7 = 0.

Найдите:

а) сумму корней:

б) произведение корней:

в) корни данного уравнения:

0 , то х 1 = х 2 = D , то квадратное уравнение решений не имеет D=0 , то х 1,2 = - С 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений" width="640"

ах 2 +вх+с=0, а ≠0.

Первый

D=в 2 -4ас

способ( по общей формуле):

D0 ,

то х 1 =

х 2 =

D ,

то квадратное уравнение решений не имеет

D=0 , то

х 1,2 = -

С 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений

Задание 1: Решите квадратные уравнения :

х 1 = ½, х 2 =2.

решений нет.

х 1 =1,5, х 2 =1,5.

1. 2х 2 -5х+2=0,

3. 2х 2 -3х+2=0,

4. 4х 2 -12х+9=0 .

Второй способ( по т., обратной теореме Виета):

Уравнение, вида х 2 +pх+q=0 , называется приведённым. Его корни можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

х 1 +х 2 =-p,

х 1 ∙х 2 =q.

Например,

уравнение х 2 -3х+2=0

имеет корни х 1 =2, х 2 =1

так как х 1 +х 2 =3, х 1 ∙х 2 =2.

Задание 2. Решите приведённые квадратные уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

х 1 =-9,х 2 =-1.

х 1 =-4,х 2 =-3.

х 1 =12,х 2 =-2.

• х 2 +10х+9=0,

• х 2 +7х+12=0,
• х 2 -10х-24=0.

Третий способ( формула корней приведенного квадратного уравнения):

Корни уравнения вида х 2 +pх+q=0 можно найти по формуле:

Задание 3: Решите квадратные уравнения по данной формуле:

• х 2 -10х-24=0,
• х 2 -16х+60=0

Четвёртый способ( способ « переброски»):

Решить квадратное уравнение можно способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант - точный квадрат.

Например: Решим уравнение 2х 2 -11х+15=0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: у 2 -11у+30=0.

По теореме, обратной теореме Виета у 1 = 5,у 2 = 6. тогда х 1 =у 1 /2, х 2 =у 2 /2; т.е. х 1 =2,5 , х 2 =3.

Решаем, используя метод «переброски»

Получим уравнение

Корни 9 и (-2) .

Делим числа 9 и ( -2) на 6:

Ответ :

Задание 3: Решите уравнения, используя метод «переброски»:

1. 2х 2 -9х+9=0,

2. 10х 2 -11х+3=0,

3. 3х 2 +11х+6=0

х 1 =1,5 , х 2 =3.

х 1 =0,5 ,х 2 =0,6.

х 1 =-3,х 2 =- .

Пятый способ: « Способ коэффициентов»

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 +вх+с=0, где а≠0.

1.Если а+в+с=0(т.е.сумма коэффициентов

уравнения равна нулю), то х 1 =1,х 2 =с/а.

Например: 345х 2 -137х-208=0 (345-137-208=0), значит,

х 1 = 1,х 2 = - 208/345.

2.Если а-в+с=0 (или в=а+с), то х 1 =-1,х 2 = - с/а.

Например, 313х 2 +326х+13=0 (326=313+13), значит

х 1 =-1,х 2 =-13/313.

Задание 4: Решите квадратные уравнения методом «коэффициентов»:

х 1 =1,х 2 = .

х 1 =1,х 2 =- .

х 1 =1,х 2 =- .

х 1 =-1,х 2 =- .

х 1 =-1,х 2 =- .

1. 5х 2 -7х+2=0;

2. 3х 2 +5х-8=0;

3. 11х 2 +25х-36=0;

4. 11х 2 +27х+16=0;

5. 939х 2 +978х+39=0 .

Урок одной задачи.

4х 2 -12х+8=0

Решить данное уравнение:

• По общей формуле;
• По теореме, обратной теореме Виета;
• По формуле для нахождения корней приведенного квадратного уравнения;
• Способом « переброса»;
• Способом коэффициентов.

Выводы:

• данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках

математики;

• овладение данными приёмами поможет вам экономить время и эффективно решать уравнения;

• потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы выпускных экзаменов.