Урок алгебры в 9 классе по теме "Арифметическая прогрессия"

Алгебра, 9 класс.

УРОК №59

«ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ. ФОРМУЛА п-ГО ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ»

Цели:

Обучающие:

- ввести понятия арифметической прогрессии и разности арифметической прогрессии;

- вывести рекуррентную формулу п-го члена арифметической прогрессии;

- формировать умения нахождения разности и нескольких первых членов арифметической прогрессии по первому члену и разности, а также п-го члена по формуле;

- подготовка к ОГЭ.

Развивающие:

- развитие логического мышления у учащихся;

- развитие интереса к предмету у учащихся.

Воспитательные:

- воспитание воли и упорства в достижении поставленной цели.

Оборудование:

Учебник «Алгебра 9» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др., Москва, «Просвещение», 2012г.; тетрадь.; CD «Виртуальная школа Кирилла и Мефодия: уроки алгебры Кирилла и Мефодия 9 класс».

Тип урока:

Комбинированный.

ХОД УРОКА:

1. Организационный момент.

Притча.

Эта история произошла давным – давно. В древнем городе жил добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошёл он на луг, поймал бабочку, сжал между сомкнутыми ладонями и подумал: « Спрошу – ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка – живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони – бабочка улетит, а если скажет, что живая, я сомкну ладони, и бабочка умрёт». Так завистник и сделал. Поймал бабочку, посадил между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «Какая у меня бабочка живая или мертвая»? Мудрец ответил: «Всё в твоих руках!»

Как часто, ребята, нам кажется, что ничего не понимаю, ничего не знаю, ничего не решу! Но я хочу повторить слова мудреца «все в твоих руках». Пусть эти слова будут девизом нашего урока.

Открыли тетради и записываем число.

1. Проверка домашнего задания.

2. Устная работа.

1-й б л о к. Актуализация знаний.

Назовите первые три члена последовательности:

а) a_n = ; б) b_n = 3n – 1; в) с_п = п² + 1.

Для последовательности, заданной первым членом и рекуррентной формулой, найдите второй и третий члены:

г) x₁ = 2, x_{п + 1} = ;

д) у₁ = 3, у_{п + 1} = у_п² – 5.

2-й б л о к. Актуализация знаний и создание проблемной ситуации.

Задать последовательность с помощью формулы п-го члена или рекуррентной формулы.

После заполнения таблицы анализируем полученные результаты и замечаем, что последовательности а), в), е) и ж) – одинакового вида, а именно: задаются рекуррентным способом и каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числа (2; 0,5; 10; 3).

Учащиеся «открыли» определенный вид последовательности. Следует сказать, что такие последовательности называются «арифметическая прогрессия», и попросить учащихся попробовать самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии на основе выделенных ими характеристических свойств.

1. Объяснение нового материала.

1. Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

(ап) – арифметическая прогрессия, если для любого п N выполняется условие ап + 1 = ап + d, где d – некоторое число. Число d называется «разностью арифметической прогрессии», так как из определения следует, что ап + 1 – ап = d.

Далее следует привести примеры арифметических прогрессий, причем следует варьировать значение d (положительные числа; отрицательные; нуль; дробные).

П р и м е р ы арифметических прогрессий:

1) а1 = 1, d = 1.

1; 2; 3; 4; … (последовательные натуральные числа).

2) а1 = 1, d = 2.

1; 3; 5; 6; … (последовательность положительных нечетных чисел).

3) а1 = –2, d = –2.

–2; –4; –6; –8; –10; … (последовательность отрицательных четных чисел).

4) а1 = 7, d = 0.

7; 7; 7; 7; … (постоянная последовательность).

5) а1 = 1, d = 0,3.

1; 1,3; 1,6; 1,9; 2,2; …

Обращаем внимание, что если d 0, то арифметическая прогрессия возрастающая, если d

2. Итак, учащиеся знают, что для того чтобы найти любой член арифметической прогрессии (или задать ее), достаточно знать ее первый член и разность. Следует подвести их к мысли, что это очень трудоемко, например:

(ап) – арифметическая прогрессия, где а1 = 2, d = 27. Найти сотый член.

Пользуясь определением, нам нужно сделать 100 шагов. Это громоздко. Хотелось бы знать формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии только по первому члену, разности и порядковому номеру искомого члена.

Для вывода формулы пользуемся определением арифметической прогрессии:

а1

а2 = а1 + d

а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d

а4 = а3 + d = (а1 + 2d) + d = а1 + 3d

а5 = а4 + d = (а1 + 3d) + d = а1 + 4d

а6 = … = а1 + 5d

… …

– формула п-го члена арифметической прогрессии.

П р и м е р 1. (сп) – арифметическая прогрессия,

с1 = 0,62, d = 0,24; с50 –?

с50 = с1 + d (50 – 1) = 0,62 + 0,24 · 49 = 12,38.

Этот пример на «прямое» использование формулы п-го члена арифметической прогрессии.

П р и м е р 2. Выяснить, является ли число –122 членом арифметической прогрессии (хп):

23; 17,2; 11,4; 5,6; …

При рассмотрении этого примера пояснить, что для решения надо доказать, что существует п N, при котором будет верна формула п-го члена:

–122 = 23 + (п – 1) · (–5,8), где –5,8 = 17,2 – 23 – разность арифметической прогрессии.

1. Формирование умений и навыков.

1. Решить устно:

а) Является ли последовательность арифметической прогрессией:

–3,5; –7; –10,5; –14; –17,5; … (Да.)

5; 5; 5; 5; … (Да.)

2; 12; 22; 23; 32; … ? (Нет.)

б) Найти члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:

–10; –7; с3; с4; с5; с6

–3,4; –1,4; а3; а4

12; у2; 20; у4.

в) (ап) – арифметическая прогрессия. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

12а1; 12а2; …; 12ап; …

3а1 + 1; 3а2 + 1; …; 12ап + 1; … ?

2. № 575 (а, б), № 576 (а, в, д). Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ 577. Решение у доски с объяснением.

№ 579. Самостоятельное решение и одновременно на скрытых досках с проверкой.

3. № 584. Задание на «не прямое» применение формулы. Еще раз подчеркнуть, что с помощью этой формулы можно находить следующие величины: ап; а1; d; п.

1. Подготовка к ОГЭ.

Решить задачу №6, вариант 3 из сборника для подготовки к ОГЭ.

1. Разноуровневая самостоятельная работа.

1 уровень

1. У арифметической прогрессии первый член 4, второй член 6. Найдите разность d.

2. В арифметической прогрессии (b_п) известны b₁ = –0,8, d = 4. Найдите b₃; b₂₄.

2 уровень

1. Зная первые два члена арифметической прогрессии 2,8; –0,4; …, найдите следующие за ними четыре ее члена.

2. Мастерская изготовила в январе 106 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 12 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в июне?

3 уровень

1. В арифметической прогрессии (х_п) известны х₁ = 14 и d = 0,5. Найдите номер члена прогрессии, равного 34.

2. Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в августе?

1. Итог урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется арифметической прогрессией?

– Как задается арифметическая прогрессия?

– Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

1. Оценка знаний учащихся.

1. Рефлексия.