Урок алгебры "Числовые последовательности" 9 класс

Конспекты уроков

Урок алгебры. 9 класс Тема: "Числовые последовательности"

1. Учебная задача: Вместе с учащимися ввести понятие числовой последовательности, рассмотреть различные способы задания последовательности.

2. Диагностируемые цели:

В результате урока ученик:

знает:

• определение числовой последовательности;

• способы задания числовой последовательности;

• свойства монотонности числовой последовательности;

Умеет:

• формулировать определение числовой последовательности;

• задавать числовую последовательность аналитическим и рекуррентным способами

• определять возрастающей или убывающей является данная последовательность.

3. Типы урока: урок изучения нового.

4. форма обучения: фронтальная;

метод обучения: репродуктивный, частично-поисковый;

средства обучения: презентация.

Ход урока.

1. Мотивационно- ориентировочный этап

– Здравствуйте! Садитесь!

– Итак, ребята всем внимание на экран:

– Рассмотрим известные вами функцию у = х²

( на экране появляются графики)

–Давайте определим область определения этих функций ? (ученики: В первом случае D(f) = [0; 1]. Во втором — D(f) = [0; +°°).

В третьем —D(f) = (-°°; +°°).

– Наконец, в четвертом случае областью определения функции является что? (ученики: множество N натуральных чисел: D(f) = N.)

– Верно! Посмотрим на 4 случай, ее график состоит из отдельных точек, возникает вопрос , А нужно ли изучать такую функцию на множестве натуральных чисел ?

– Ответ на это вопрос дадим позже. А сейчас вспомним задачу из 7 класса.

(на экране) На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе через день, 2 дня, 3 дня, 15 дней и т. д.?

ученики : 500+30*2=560

500+30*3=590

500+30*15= 950

– А Если за х принять число дней, а за у — количество угля (в тоннах), то математической моделью ситуации будет линейная функция, заданная на множестве N натуральных чисел: у = 500 + ЗОх, х е N.

Видим что х принадлежит множеству натуральных чисел.

–Еще пример: На банковский счет положили a р., банк ежемесячно начисляет s%. Сколько денег на счету станет через месяц, 2 месяца, 12 месяцев и т. д.?

– Аналогичным образом считаем:

– Оказывается, математической моделью этой ситуации служит функция у = а • 2^кх, х е N; здесь у — сумма вклада (в рублях), х — число полных месяцев, прошедших с момента открытия счета, a k — некоторый положительный коэффициент, связанный с банковским процентом s (обычно используют приближенную формулу k ~ 0,014р).

–Итак, Ответ на поставленный вопрос мы получили: функции, заданные на множестве натуральных чисел (у = f(x), х е N), нужно изучать.

II. Содержательный этап

– Итак, например вместо записи у = f(x), х е N, обычно используют запись у = f(n), договорившись подразумевать в этой записи, что аргумент n — натуральное число ( n е N). В рассмотренных выше примерах:

вместо у = х², х е N, можно записать у = n²;

( учитель это пишет на доске)

– Следовательно, для этой функции имеем

у_х = 1² = 1;

У₂ = 2² = 4;

У₃ = З² = 9;

у₄ = 4² = 16 и т. д.

– Полученные значения можно записать последовательно одно за другим:

1, 4, 9, 16, ..., n², ... .

– Итак, ребята тема нашего урока "числовые последовательности", и цель наша изучить понятие числовой последовательности и рассмотреть способы задания последовательности.

– Открываем тетради, записываем число и тему урока.

– запишем определение: у = f(x), х е N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью обозначают у =f(n) или y₁ у₂, у₃, ..., у_n, ... .

– А еще ребята, последовательности можно задавать различными способами, особенно важно знать аналитический способ и рекуррентный.

– Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-ого члена у_n =f(n) .

Например: у_n = n². Это аналитическое задание последовательности 1, 4, 9, 16, ..., n², ...,

– Запишите этот пример, и подпишите способ задания.

– Можно и наоборот, угадывать возможную формулу n-ого члена последовательности, для которой указано несколько начальных членов:

Пример. 1, 3, 5, 7, 9, ... .

– Какие это числа ? ( нечетные)

– Тогда Какая это последовательность? ( это последовательность нечетных чисел)

Здесь у_n = 2п - 1 (последовательность нечетных чисел).

Пример. 2, 4, 6, 8, 10, ... .

Здесь у_n = 2n (последовательность четных чисел).

– А когда рекуррентно задана последовательность , тогда что вы думаете как?

– Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислишь n-й член последовательности у если известны ее предыдущие члены. 

Приведем примеры:

y₁ = 3; у_n = у_n-1 + 4, если n = 2, 3, 4, ... .

– Иными словами, n-й член последовательности получается из предыдущего (n - 1)-го члена прибавлением к нему числа 4.

Имеем:    у₁ = 3;

у₂ = у 1 + 4 = 3 + 4 = 7; ( ученики сами считают и говорят ответ)

у₃ = у₂ + 4 = 7 + 4 = 11;

у₄ = у₃ + 4 = 11 + 4 = 15 и т. д.

–Тем самым Какую получаем последовательность ? ( 3, 7, 11, 15, ... .

–Заметим, что эту последовательность нетрудно задать аналитически:

у_n= 4n- 1 (проверьте!).

– Молодцы!

– Вот еще пример:

у₁ = 1; у₂ = 1; у_n = у_n-2 + y_n-1 если n = 3, 4,5, ... .

–Другими словами, n-й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов. Имеем:  

(Ученики считают вместе с доской ) 

 у₁ = 1

у₂ =1

у₃ = y₁+ y₂ = 1+1=2

у₄ = у₂ + у₃ =1+2=3  

У5 = Уз⁺ y₄=2+3=5

У₆ = y₄ +y₅=5+3=8 и т.д.

– Тем самым получаем последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .

– Эту последовательность специально изучают в математике, поскольку она обладает целым рядом интересных свойств. Ее называют последовательностью Фибоначчи — по имени итальянского математика XIII в.

– Итак вот мы и рассмотрели разные способы задания числовых последовательностей. Но числовые последовательности это частный случай числовой функции, как мы с вами выяснили в начале урока , Поэтому рассмотрим некоторые свойства функции.

– Итак, записываем, Последовательность (y_n) называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

У1 n n ₊ 1

 – Последовательность (у_n) называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

У1  У2  Уз  У4  •••   У_n Уп ₊ 1  ... •

– Записали?!

– Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности.

– Рассмотрим наши примеры которые мы разбирали,

– Последовательность нечетных чисел 1, 3, 5, 7, ..., 2п - 1, ... .

– это какая последовательность ? ( Это возрастающая последовательность.)

– Верно! А вот такая : ( это убывающая )

– Молодцы!

– А теперь давайте решим пару задач. Отройте задачники, решаем номер 15.28 ( а,б) . 15.31 (а,б)

– Кто пойдет к доске ? ( ученик выходит к доске)

Записываем последовательность, давайте посмотрим, какие это числа ? ( не целые, это дроби)

– Верно! А можем ли 1 представить в виде дроби? ( да, как 1/1 )

– Да, верно, посмотрите теперь, что у нас в числителе этой последовательности? ( все единицы)

– А посмотрите на знаменатель ? ( это все нечетные числа)

– Верно, а как теперь можем составить формулу ? (y_n= )

– Верно! Решаем дальше!

( .... Далее аналогично)

Еще задачи 15.36(а) 15.37(а)

III. Рефлексивно-оценочный этап

– Вот мы с вами решили несколько задач на применение изученной теории! У кого-нибудь есть вопросы по задачам ? Запишите домашнее задание на экране № 15.28(в,г) 15.31(в,г) 15.36(б,в),15.37(б).

– Какова была цель нашего урока ? (изучить понятие числовой последовательности и рассмотреть способы задания последовательности. )

–Достигли мы ее ? (да)

– Урок окончен! До свидания!