Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами.

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Разработала учитель математики ГБОУ школа № 1056: Мурадова В.П.

1. Углы с соответственно параллельными сторонами.

• Возьмём на плоскости две точки С и О и из этих точек проведём две пары лучей СА || ОМ и СВ || ОN так, чтобы углы АСВ и МОN были или оба острые, или оба тупые.

Теорема: Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют

Углы АСВ и МОN - углы с соответственно

параллельными сторонами.

Докажем, что эти углы равны между собой.

Пусть СВ пересекает ОМ в точке D. ∠АСВ = ∠МDВ, как соответственные углы при параллельных АС и МО и секущей СВ.

∠ МDВ = ∠МОN, как соответственные углы при параллельных СВ и ОN и секущей МО, но тогда и ∠АСВ = ∠МОN.

Следовательно,  углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

Построим два острых угла АСВ и МОN с соответственно параллельными сторонами: СА || МО и СВ || ОN, и продолжим за вершину О стороны угла МОN.

При вершине О образовались два тупых угла ЕОМ и FОN (так как смежный с ними угол МОN по построению острый).

Каждый из них в сумме с углом МОN составляет , а так как ∠МОN = ∠АСВ, то ∠АСВ+ ∠МОЕ =  и ∠АСВ+ ∠FОN = .

Следовательно,  углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют, если один из них острый, а другой тупой.

2. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

Теорема: Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют .

Построим произвольный острый угол АВС.

Проведём через вершину угла лучи, перпендикулярные к его сторонам,

так, чтобы они образовали острый угол.

BO ⊥ ВС и ВК ⊥ АВ.

Мы получим новый угол OBK.

Стороны углов AВС и ОВК взаимно перпендикулярны.

∠ АВС =  - ∠СВК; ∠ОВК =  - ∠СВК.

Отсюда следует, что ∠АBС = ∠ОВК

B

Построим произвольный тупой угол АОВ и через его вершину проведём лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали тупой угол.

ОК⊥ОА и ОС⊥ОВ, угол КОС - тупой.

Стороны углов АОВ и КОС взаимно перпендикулярны, поэтому

∠ АОВ =  + ∠КОВ; ∠КОС =    + ∠КОВ.

Отсюда следует, что ∠АОВ = ∠КОС.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если они оба острые или оба тупые.

Построим произвольный острый угол АОВ и проведём через его вершину перпендикуляры к его сторонам так, чтобы они образовали острый угол.

Получим: ∠КОМ = ∠АОВ. Продолжим сторону ОК за вершину О. Стороны угла ЕОМ перпендикулярны сторонам угла АОВ. При этом ∠ЕОМ - тупой, так как смежный с ним ∠МОК - острый. ∠КОМ + ∠ЕОМ =  (как углы смежные). Но ∠КОМ по ранее доказанному равен ∠АОВ. Следовательно, и ∠АОВ + ∠ЕОМ =.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами в сумме составляют , если один из них острый, а другой тупой.

Мы рассмотрели углы, составленные взаимно перпендикулярными сторонами, когда они имели общую вершину. Выведенные нами свойства будут справедливы и в том случае, когда углы не будут иметь общей вершины.

ЗАДАЧА 1 .

На рисунке изображены прямые  a ,  р ,  с . Данные прямые пересекает прямая  k . В результате образованы углы:

, ,

Определить, какие из перечисленных прямых являются параллельными.

Решение:

Перенесем условия задачи на рисунок:

Запишем их соотношения:

,(соответственные углы)

, 3

В результате можно сделать вывод о параллельности прямых  а  и  р . Т.е. можно сказать, что углы 1 и 3 являются углами с соответственно параллельными сторонами.

А прямые  а  и  с  не являются параллельными, так же как и прямые  р  и  с  — исходя из свойства параллельных прямых.

Ответ: a

Работа по учебнику

• Дано: , ,

Требуется определить, какие из прямых

являются параллельными.

Решение:

Запишем соотношения углов:

, ( односторонние углы)

Можно сказать, что два угла с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют

,

3 =

Следовательно прямые параллельны. А прямые , не являются параллельными — исходя из свойства параллельных прямых.

Ответ:

Задачи.

• Найдите все углы при параллельных прямых и секущей, если
• а) один из внутренних односторонних углов на меньше другого;
• б) сумма двух накрест лежащих углов равна
• в) найдите угол х и угол у;

• с) найдите угол х

Домашняя работа

• Читать пункт 30.
• Выучить теоремы и уметь их объяснить.
• Выполнить задания № 218, 222

В презентации использованы материалы:

• http:// razdupli.ru/teor/48_ugly-s-sootvetstvenno-parallelnymi-i-perpendikulyarnymi-storonami.php
• Учебник. Геометрия. 7-9 классы. Л.С. Атанасян и др.