Центральная симметрия и поворот

Центральная симметрия и поворот

Точки A и A1 называют симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка AA1 (рис. 1). Точку O считают симметричной самой себе.

Н апример, точки A и A1, у которых соответствующие абсциссы и ординаты — противоположные числа, симметричны относительно начала координат

Рассмотрим фигуру F и точку O. Каждой точке X фигуры F поставим в соответствие симметричную ей относительно точки O точку X1. В результате такого преобразования фигуры F получим фигуру F1. Описанное преобразование фигуры F

называют центральной симметрией относительно точки O и обозначают так: SO. Пишут: SO(F) = F1.Точку O называют центром симметрии. Также говорят, что фигуры F и F1 симметричны относительно точки O.

Свойства центральной симметрии

• Центральная симметрия является движением.

• Если SO(F) = F1, то F = F1.

Фигуру F называют симметричной относительно точки O, если SO(F) = F.

Т очку O называют центром симметрии фигуры.Также говорят, что фигура имеет центр симметрии.

Центром симметрии отрезка является его середина.

Т очка пересечения диагоналей

параллелограмма является его центром симметрии.

Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров симметрии. Например, каждая точка прямой является её центром симметрии.

Также бесконечно много центров симметрии имеет фигура, состоящая из двух параллельных прямых. Любая точка прямой, равноудалённой от двух данных, является центром симметрии рассматриваемой фигуры .

На рисунке изображены точки O, X, X1 и X2 такие, что OX1 = OX2 = OX, X1OX = X2OX = α. Говорят, что точка X1 является образом точки X при повороте вокруг центра O против часовой стрелки на угол . Также говорят, что точка X2 — это образ точки X при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол . Точку O называют центром поворота, угол — углом поворота.

Р ассмотрим фигуру F, точку O и угол . Каждой точке X фигуры F поставим в соответствие точку X1, являющуюся образом точки X при повороте вокруг центра O против часовой стрелки на угол (если точка O принадлежит фигуре F, то ей сопоставляется она сама). В результате такого преобразования фигуры F получим фигуру F1 Описанное преобразование фигуры F называют поворотом вокруг центра O против часовой стрелки на угол и обозначают так: . Пишут:

Точку O называют центром поворота.

Свойства поворота

1. Поворот является движением.

2. Если фигура F1 — образ фигуры F при повороте, то F = F1.

2