Тематические конспекты по геометрии 7 класс

К-1 Основные понятия геометрии

Геометрия-«землемерие»(«гео»-земля, «метрио»-мерить).

Геометрия-это наука, изучающая свойства различных геометрических фигур.

Геометрия

Планиметрия Стереометрия

(изучает свойства фигур на плоскости) (изучает свойства фигур в пространстве)

Свойства фигур выражаются различными утверждениями: определениями, аксиомами, теоремами, следствиями.

Определение-это утверждение, которое разъясняет данное понятие через уже известные понятия.

Аксиома-это утверждение, которое принимают без доказательств.

Теорема-это утверждение, которое доказывают с помощью определений, аксиом и ранее доказанных теорем.

Следствие-это утверждение, которое вытекает из теоремы или аксиомы.

Простейшие фигуры на плоскости

Обозначения

Аа - точка А принадлежит прямой а

В а - точка В не принадлежит прямой а

Взаимное расположение двух прямых

Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками(концами отрезка). Концы отрезка также входят в отрезок . Отрезок АВ

Задание: Проведите прямую а и отметьте на ней:

1. Точки А и В, лежащие на ней

2. Точки C и D, не лежащие на ней

3. Точку Е, лежащую на прямой а , но не лежащую на отрезке АВ

4. Точку F, лежащую на отрезке CD

Всегда ли пересекаются прямые AB и CD?

Всегда ли отрезки AB и CD имеют общие точки?

К2 Луч и угол

Любой неразвёрнутый угол делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю области этого угла.

Луч ОС, исходящий внутри угла из вершины О, делит угол АОВ на два угла АОС и ВОС.

Угол обозначают большими латинскими буквами угол KMN  или малыми греческими буквами, например, α.

Угол KMN можно назвать также угол NMK, но буква вершины всегда пишется посередине.

Задание:

Проведите три луча ОА,ОВ и ОС так, чтобы угол АОВ – неразвёрнутый, угол АОС -развёрнутый. Проведите луч ОК, который делит угол ВОС на два угла. Запишите все неразвёрнутые углы

К3 Сравнение отрезков и углов

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Два отрезка равны, если их можно полностью совместить наложением.

Серединой отрезка называется точка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.

Два угла равны, если эти углы можно полностью совместить наложением.

Если эти углы наложением не совмещаются, то меньший тот, который составляет часть другого.

угол АОС ˂ угол АОВ

Развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого.

Любые два развёрнутых угла равны.

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

К4 Измерение отрезков и углов

Выбрав единицу измерения можно измерить любой отрезок, т.е. выразить длину некоторым положительным числом.

Равные отрезки имеют равные длины.

Меньший отрезок имеет меньшую длину.

Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Длина отрезка также называется расстоянием между концами этого отрезка.

Задание:

Точки А,В и С лежат на одной прямой. АВ=28см,ВС=18см. Какой может быть длина отрезка АС?

Единицы измерения углов - это градус, минута и секунда.

Градус-это часть развёрнутого угла.

Минута-это часть градуса.

Секунда-это часть минуты.

Положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называют градусной мерой угла.

Свойства измерения углов:

1. Равные углы имеют равные градусные меры

2. Меньший угол имеет меньшую градусную меру

3. Развёрнутый угол равен 180˚

4. Неразвёрнутый угол меньше 180˚

Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Виды углов

К5 Смежные углы

Определение. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180.

Дано: АОВ и ВОС – смежные.

Доказать: АОВ + ВОС = 180.

Доказательство

АОВ+ВОС=АОС, АОС – развёрнутый, значит, АОВ+ВОС = 180, что и требовалось доказать.

Следствие. Если смежные углы равны, то они прямые.

Дано: АОВ и ВОС – смежные. АОВ = ВОС.

Доказать: АОВ и ВОС – прямые.

Доказательство

АОВ + ВОС=180, АОВ = ВОС = = 90, значит, АОВ и ВОС – прямые, что и требовалось доказать.

К6 Вертикальные углы

Определение.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Дано: 1 и 3, 2 и 4 – вертикальные.

Доказать: 1 = 3, 2 = 4.

Доказательство:

1 и 2, 3 и 2 – смежные, значит

аналогично , ч. т. д.

Определение. Угловая мера меньшего из вертикальных углов называется углом между прямыми.

Угол между пересекающимися прямыми.

К7 Первый признак равенства треугольников

Треугольник -это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек ,не лежащих на одной прямой, и соединяющих их отрезков.

Точки это вершины треугольника, отрезки-стороны треугольника.

Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ABC; А1 В1С1

Доказать: ∆ABC = ∆А₁В₁С₁

Доказательство:

А = А₁, поэтому можно наложить ∆ABC на ∆А₁В₁С₁, так что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁.

Т. о., ∆ABC = ∆А₁В₁С₁ , ч. т. д.

К8 Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Теорема: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.

К9 Свойства равнобедренного треугольника

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Основание АС.

Боковые стороны АВ и ВС.

Периметр Р = 2АВ + АС.

Углы при основании А и В.

Угол при вершине В.

Определение. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

АВ = ВС = АС

Р=3АВ

Свойство 1 равнобедренного треугольника

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: АВС – равнобедренный (АВ = АС).

Доказать: В = С.

Доказательство

Проведем биссектрису AD (1 = 2).

ТЕОРЕМА О БИССЕКТРИСЕ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Свойство 2 равнобедренного треугольника

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано: АВС – равнобедренный, АВ = АС, AD – биссектриса.

Доказать: 1) AD – медиана, 2) AD – высота.

Доказательство

1. По условию AD – биссектриса АВС, поэтому 1 = 2.

3. BD = CD, AD – медиана АВС, ч. т. д.

4. 3 = 4

Поэтому AD – высота АВС, ч. т. д.

Мы установили, что медиана, биссектриса и высота треугольника совпадают.

Справедливы теоремы:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

К10 Второй признак равенства треугольников

Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВС, А₁В₁С₁, АВ = А₁В₁, А = А₁, В = В₁.

Доказать: АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство

АВ = А₁В₁, поэтому можно наложить АВС на А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ – со стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁.

Т. о., АВС = А₁В₁С₁, ч. т. д.

К11 Третий признак равенства треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВС, А₁В₁С₁, АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁.

Доказать: АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство

АВ = А₁В₁, поэтому можно приложить АВС к А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, вершина В – с вершиной В₁, а вершины С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁.

Возможны три случая: луч С₁С проходит внутри ; луч С₁С проходит вне А₁С₁В₁; луч С₁С совпадает с одной из сторон .

К12 Признаки параллельности прямых

Определение:

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: а с = А, b с = В, 1 и 2 накрест лежащие, 1 = 2

Доказать: а || b.

Доказательство

1. Если 1 = 2 = 90, то a  АВ и b АВ, тогда а || b.

1. Пусть углы 1 и 2 не прямые.

2. Разделим отрезок АВ пополам, получим О.

3. Проведем ОН  a.

4. На прямой b от точки В отложим ВН₁ = АН и проведем отрезок ОН₁.

5. ОНА = ОН₁В по двум сторонам и углу между ними (ОА = ОВ, АН = ВН₁, 1 = 2).

6. 3 = 4, 5 = 6 = 90

7. 3 = 4, поэтому точки Н₁, О₁, Н лежат на одной прямой.

8. а  НН₁ и b  НН₁, значит, а || b, ч. т. д.

Рассмотрим особо пункт 6.

Пусть точки Н, О и Н₁ не лежат на одной прямой, тогда продолжим ОН, получаем: НМ  АВ = О. НОА = ВОМ как вертикальные, но НОА = ВОН₁, значит, ВОМ = ВОН₁ и лучи ОН₁ и ОМ совпадают.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство

1. 2 = 3 как вертикальные.

1. 2 = 1 по условию.

2. Значит, 1 = 3.

3. Но 1 и 3 накрест лежащие, поэтому а || b, ч. т. д.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Доказательство

1. 3 и 4 – смежные, значит, 3 + 4 = 180.

1. 1 + 4 = 180 по условию.

2. Отсюда 1 = 3.

3. Но 1 и 3 накрест лежащие, поэтому а || b, ч. т. д.

К13 СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство

(методом от противного)

1. Пусть 12, тогда...

1. Отложим от луча МN угол РМN, равный углу 2 так, чтобы РМN и 2 были накрест лежащие при пересечении прямых РМ и в секущей МN.

РМN = 2 РМ || b. Мы получили, что РМ  а, РМ || b и а || b, что противоречит аксиоме параллельных.

1. Поэтому 1 = 2, ч. т. д.

Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Доказательство

1. с  а, а || b  с  b

1. 1 = 2 как накрест лежащие при параллельных a, b и секущей с.

2. 1 = 902=90, т. е. с  b, ч. т. д.

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Доказательство

1. а || b, поэтому 1 = 3 как накрест лежащие при параллельных а, b и секущей с.

1. 2 = 3 как вертикальные.

2. 1 = 2, ч. т. д.

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180.

Доказательство

1. а || b, поэтому 1 = 2 как соответственные при параллельных а, b и секущей с.

1. 2 и 4 – смежные, значит 2 + 4 = 180

К 14 УГЛЫ С СООТВЕТСТВЕННО
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТОРОНАМИ

Теорема. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180.

Доказательство

Рассмотрим три случая

1. Пусть стороны углов 1 и 2 имеют одинаковое направление. b₁ || b, a₁  b₁, значит, a₁  b, получаем 3.

3 = 1 и 3 = 2 как соответственные при параллельных, следовательно, 1 = 2.

1. Пусть стороны углов 1 и 4 имеют противоположное направление. Продолжим стороны 4, получим 2. 4 = 2 как вертикальные и 1 = 2, следовательно, 1 = 4.

2. Пусть две стороны углов 1 и 5 (1 и 6) имеют одинаковое направление, а две другие – противоположное. Продолжим одну сторону 5 (6), получим 2. 5 + 2 = 180 как смежные и 1 = 2, следовательно, 5 + 1 = 180.

3. Аналогично, 6 + 2 = 180 и 1 = 2, следовательно, 6 + 1 = 180, ч. т. д.

УГЛЫ С СООТВЕТСТВЕННО

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРОНАМИ

Теорема. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180.

Доказательство

Пусть 1 – один из данных углов, за другой данный угол возьмем один из четырех углов: 2, 3, 4 или 5, образованных прямыми РМ  РН.

1. Проведем BD  ВС и ВК  BA, получим 6.

1. Обозначим СВК = 7. 1 + 7 = 6 + 7 = 901 = 6.

4. По свойству углов с соответственно параллельными сторонами 6 = 2 = 4, 6 + 3 = 6 + 5 = 180.

5. Так как 1 = 6, то, заменив 6 равным ему углом 1, получим то, что требовалось доказать.

К15 Сумма углов треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180.

Доказательство

1. Проведем а || АС.

1. 1 и 4, 3 и 5 – накрест лежащие. АС || а, поэтому 1 = 4, 3 = 5.

2. 4 + 2 + 5 = 180, значит, 1 + 2 + 3 = 180, ч. т. д.

Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Следствие 1. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство

1. 4 + 3 = 180 по свойству смежных углов.

1. 1 + 2 + 3 = 180 по теореме о сумме углов треугольника.

2. 4 = 1 + 2, ч. т. д.

Следствие 2. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то и третьи углы равны.

К16 СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ

СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Теорема. В треугольнике: 1) против равных сторон лежат равные углы; 2) обратно, против равных углов лежат равные стороны.

Доказательство

1. АВ = ВС, значит, ∆АВС – равнобедренный, поэтому углы, лежащие против этих сторон, равны, А = С, как углы при основании.

1. Дано: ∆АВС, А = С.

Доказать: АВ = ВС.

Доказательство (методом от противного)

Пусть АВ  ВС, тогда либо АВ ВС, либо АВ .