Тема : «Объемы и площади поверхностей тел вращения. Решение задач».

План урока

Тема : «Объемы и площади поверхностей тел вращения. Решение задач».

Педагог: Немчинова Р.Н

Дата: 22.01.16г

Обучающая цель: научить применять формулы объемов и площадей поверхностей тел вращения в практических ситуациях.

Развивающая цель: продолжить формирование умений применять математические знания в практических ситуациях, описанных условием задачи.

Воспитательная цель: продолжить воспитание мотивации учения, раскрывая профессиональную и практическую значимость изучаемого материала.

Тип урока: урок совершенствования и закрепления знаний.

Вид урока: урок выполнения упражнений и решения познавательных задач.

Методы обучения: объяснение, обсуждение, упражнения, самостоятельная работа.

Межпредметная связь: физика, биология, материаловедение, спецтехнология для мастеров отделочных строительных работ.

Внутрипредметная связь: круговой сектор, длина окружности.

Методы контроля : фронтальный опрос, работа учащихся на доске, самостоятельная работа, лабораторная работа.

Материально-техническое оснащение: опорные конспекты, модели тел вращения и прямого параллелепипеда, микрокалькуляторы, штангенциркули, листы задачники по теме урока, слайды с иллюстрациями.

Литература: Геометрия 10-11, А.В. Погорелов- М.: Просвещение, 2006.

Использование задач с практическим содержанием на уроках математики, И.М. Шапиро- М.: Просвещение, 1996.

Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. А.А. Колосов.-М.: Высшая школа, 2002.

Энциклопедический словарь. 1986г.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

Задача 1. Требуется оштукатурить две колонны одинаковой высоты, но с различными поперечными сечениями: круглым и квадратным. Наружный диаметр круглого сечения и сторона наружного квадрата равны 30 см. На какую колонну расходуется штукатурки больше, и во сколько раз?

Решение:

раз

Задача 2. Во что обойдется окраска конического шпиля здания, диаметр окружности основания которого 8,8 м? Угол между образующими в осевом сечении 60⁰ , окраска 1 м² по ЕНИР стоит 55 руб.

s Дано: конус Решение:

D=8,8 м З_п= S_бок. k = R l  k

30⁰ ASС = 60⁰ ∆ SOC

8,8 k = 55 руб./м² l = 2R (катет против угла в 30⁰ )

Найти: З_п З_{п =} Rl  k = R 2R k =2R²  k

З_п  23,144,4²55 6686,9 руб.

4.4

A 0 C

1. Актуализация опорных знаний. Устные упражнения:

1. Назовите фигуру, соответствующую данным формулам нахождения объемов:

R² H 1/3 R² H R H 4/3R³ H

^{(цилиндр) (конус)}

1. Образующая конуса равна 5 см, высота 3 см. Найти радиус. Отв. 4 см.

2. Найти площадь поверхности шара, диаметр которого равен 10 см.Отв100 π см²

3. Найти объем цилиндра, если его осевое сечение квадрат и сторона квадрата

4 см. Отв. 16 π см³.

1. Формирование умений и навыков.

А) Решение задач.

Задача 1 (№ 2). Рабочий оштукатуривает вручную колонну улучшенной штукатуркой. Сколько времени ему понадобится, чтобы оштукатурить колонну высотой 6 м, диаметром 1 м, соблюдая норму времени 0,79 ч на 1 м²?

Дано: цилиндр Решение:

Н = 6 м t = S_бок.  k =2RH  k =

D = 1 м = D H k  3.14160.79 

К = 0,79 ч/м²  14.9 (час.)  14 час. 54 мин.

Найти: t

Задача 2 (№ 3).Маляру требуется покрыть поверхность общей площадью 200 м². Внутренний диаметр резервуара краскопульта ручного действия 178 мм, высота 715 мм. Известно, что при двукратном покрытии расходуется 480 г краски на 1 м². Рассчитайте, сколько раз и каким количеством водной краски придется наполнять рабочему резервуар, чтобы не оставалось излишков. Указание: Принять массу 1 л водной краски равной 1 кг.

Дано: цилиндр краскопульт Решение:

S = 200 м² Надо на 200м² краски:

D = 178 мм = 1,78 дм m_об. = S  К  200  0,48  96 (кг.)

H = 715 мм = 7,15 дм Объем краскопульта:

К = 480 г/ м² = 0,48 кг/ м² V_пр. = R²  H  3,14  0,89² 7,15 17,8 (дм³)

ρ = 1 кг/дм³ Масса краски к краскопульте

Найти: n, m_об. M_кр. = ρ  V_кр.  17,8 (кг).

96 : 17,8  5,39. В пять объёмов 96 кг не умещается.

Значит надо 6 раз наполнять резервуар по 16кг ( 96:6 = 16 кг)

Задача 3(№5).

На строительных площадках песок хранят в штабелях. После приёмки влажный песок уложили в штабель конической формы, размеры которого оказались следующими: длина

окружности основания 32 м, длина по откосу 7 м. Определить объём принимаемого песка, учитывая скидку на влажность воздуха 15.

S Дано: конус Решение:

C = 32м V = 0,85V_к =

7 l = 7м = 0,851/3R² H

n = 15 % C = 32

Найти: V 2R = 32

16/ R = 32/2 = 16/  5,09м

 ASO

A O B

V = 0.851/33.145.09²4,8  110.64 (м³ )

б) Самостоятельная работа.

I вариант

Задача № 6. Радиус круга, лежащего в основании конуса, равен 3 дм , а угол между образующей и основанием составляет 60⁰.

Найдите:

S а) образующую конуса

б) высоту конуса

в) площадь боковой поверхности конуса

г) площадь полной поверхности конуса

д) угол между образующими осевого сечения конуса

60⁰ е) объем конуса

А о В

Дано: R = 3дм Решение:

 SAO = 60⁰ а) l = 2R = 6 (дм)

Найти: б)  ASO

а) l г) S_полн. H² = AS² - AO² = 6² - 3² = 36 – 9 = 27

б) H д)  ASB H = 27 = 93 = 33 (дм)

в) S_бок е) V_к в) S_бок. = R l = 36 = 18(дм²)

г) S_полн. = S_бок + S_осн. = 18 + 9 = 27 (дм²)

д)  60⁰

е) V = 1/3 S_осн H = 1/39 3√3 = 9√3 (дм³)

II вариант.

Задача №7. Длина окружности основания цилиндра составляет 8см, высота равна 6см.

Найдите:

а) радиус основания цилиндра

б) площадь основания цилиндра

в) площадь боковой поверхности цилиндра

г) площадь полной поверхности цилиндра

д) площадь осевого сечения цилиндра

е) объем цилиндра

Решение:

а) C = 2R = 8

Дано: цилиндр R = 8/2 = 4/

D C C = 8 б) S_осн. = R² = 16/² = 16/ (см²)

H = 6см в) S_бок. = 2RH= 24/6= 48(см²)

Найти: г) S_полн.= S_бок + S_осн. = 48+ 16/(см²)

6 а) R г) S_полн. д) S_{ос. сеч.} = DH= 8/6= 48/ (см²)

б) S_осн. д) S_{ос. сеч.} е) V= R²H= 16/²6 = 96/ (см³)

в) S_бок е) V

A O B

в) Практическая индивидуальная работа по карточкам– заданиям.

Задача. Провести необходимые измерения штангенциркулем и вычислить площадь полной поверхности и объем данных тел вращения (трое).

1. Информация о конусе ( устные сообщения учащихся с показом слайдов).

1) По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случилось, если бы везде были громоотводы, т.к. вокруг громоотвода образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Люди пытаются спрятаться от разрядов под

деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются, поэтому дерево становится источником напряжения.

2) В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

3) «Конусами» называется и семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2-16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как сувениры, украшения.

VI. Домашнее задание:

1. № 50 стр. 119 учебника.

2. Задача. К электромешалке для приготовления гипсоопилочной мастики прилагаются четыре цилиндрических бачка. За каждый цикл работы заполняются все четыре бачка, каждый из бачков имеет диаметр 350 мм и высоту 430 мм. Продолжительность цикла приготовления мастики, включая засыпку и выгрузку, составляет примерно 10 мин. Какое количество мастики можно приготовить в течение одного часа непрерывной работы?

ДАНО: 4 цилиндра V_общ = πRH·4·6D²/4H46

D=350мм =3,5дм  D² H²6  3,143,5²4,36

H=430мм =4,3дм  3,1412,254,36  992,4 (дм³)

t=10 мин 992,4 (л)  0,99 м³

t_об =1ч = 60мин

Найти: V_общ.

1) № 50. Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметром оснований 25см и 30см и образующей 27,5см, если на 1м² требуется 150 гр. олифы?

ДАНО: усеченный конус РЕШЕНИЕ:

n=100 m=(Sбок + Sосн) · К · 100

d₁=25см Sбок + Sосн=П (R + r ) · e +Пr²  3,14·

D=30см ·((15+12,5)·27,5+12,5²)  3,14(27,5²+

е=27,5см +12,5²)  3,14(756,25+156,25)  3,14 ·

к=150г/м² · 912,5  2865см²  0,2865м²

НАЙТИ: m m  0,2865·150·100  4297(г)  4,3кг.

1. Подведение итогов. Выставление оценок.

Ян Амос Коменский: “Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего и ничего не прибавил к своему образованию“.

Педагог: Р.Н.Немчинова

10