Теория вероятности

Классическое определение вероятности

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий вероятно-статистические закономерности

Теория вероятностей

Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты .

Основатели теории вероятностей

Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский уч Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс еный Х. Гюйгенс Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс

П . Ферма

Б .  Паскаль

Х .  Гюйгенс

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.

СОБЫТИЕ

Под СОБЫТИЕМ понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного эксперимента.

ПРИМЕР. Бросаем шестигранный игральный кубик.

Определим события:

А {выпало четное число очков};

В {выпало число очков, кратное 3};

С {выпало более 4 очков}.



Эксперимент (опыт)



ЭКСПЕРИМЕНТ (или опыт) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений).

ПРИМЕРЫ

• сдача экзамена,
• наблюдение за дорожно-транспортными происшествиями,
• выстрел из винтовки,
• бросание игрального кубика,
• химический эксперимент,
• и т.п.

СТАТИСТИЧЕСКИЙ



Эксперимент называют СТАТИСТИЧЕСКИМ, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз.

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ



СЛУЧАЙНЫМ называют событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта). Обозначают заглавными буквами А, В, С, D,… (латинского алфавита).

Вопросы:

• Является ли случайным событие «Меня завтра спросят на уроке»?
• Является ли случайным событие «Летом у меня будут каникулы»?
• Является ли случайным событие «Мне сегодня встретится черная кошка»
• Вообразите, что вы отправились на рыбалку. Какие случайные события могут произойти при этом?
• Приведите примеры случайных событий из вашей школьной жизни.

Опыт 1:



Подбрасывание монеты.

Испытание – подбрасывание монеты; события – монета упала «орлом» или «решкой».

«решка» - лицевая сторона монеты (аверс)

«орел» - обратная сторона монеты (реверс)

Опыт 2:



Подбрасывание кубика.

Это следующий по популярности после монеты случайный эксперимент.

Испытание – подбрасывание кубика; события – выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков (и другие).

Опыт 3:



Выбор перчаток. В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вынимаются две перчатки.

«Завтра днем – ясная погода».

Здесь наступление дня – испытание, ясная погода – событие.

Опыт 4:



Типы событий

СОБЫТИЕ

НЕВОЗМОЖНОЕ

ДОСТОВЕРНОЕ

СЛУЧАЙНОЕ

14

Типы событий

НЕВОЗМОЖНОЕ

ДОСТОВЕРНОЕ

СЛУЧАЙНОЕ

Случайным

называют

событие которое может

произойти или не произойти в

результате

некоторого

испытания.

Событие называется

невозможным ,

если оно не

может произойти

в результате

данного испытания.

Событие

называется

достоверным ,

если оно обязательно произойдет в

результате

данного испытания.

14

Примеры событий

невоз-

досто-

слу-

верные

чайные

можные

1. НАЙТИ КЛАД.

• З0 ФЕВРАЛЯ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ.

1. ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА.

2. ПОСЛЕ НОЧИ ПРИХОДИТ УТРО.

2. БУТЕРБРОД ПАДАЕТ МАСЛОМ ВНИЗ.

2. ПРИ ПОДБРАСЫВАНИИ КУБИКА ВЫПАДАЕТ 7 ОЧКОВ.

3. КАМЕНЬ ПАДАЕТ ВНИЗ.

3. В ШКОЛЕ ОТМЕНИЛИ ЗАНЯТИЯ.

3. ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ С КАЖДЫМ ДНЕМ МОЛОЖЕ.

4. ВОДА СТАНОВИТСЯ ТЕПЛЕЕ ПРИ НАГРЕВАНИИ.

4. ПОЭТ ПОЛЬЗУЕТСЯ ВЕЛОСИПЕДОМ.

5. В ДОМЕ ЖИВЕТ КОШКА.

14

ТЕСТ

О каком событии идет речь? «Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 февраля»

а) достоверное

б) невозможное

в) случайное

2. Это событие является случайным:

А) слово начинается с буквы «ь»;

Б) ученику 9 класса 14 месяцев;

В) бросили две игральные кости: сумма выпавших на них очков равна 8.

3. Найдите достоверное событие:

А) на уроке математики ученики делали физические упражнения;

Б) сборная России по футболу не станет чемпионом мира 2005года;

В) подкинули монету и она упала на «Орла».

Вопросы:

• Укажите какие из перечисленных событий по вашему мнению являются достоверными, а какие невозможными:

• монета, брошенная на гладкую жесткую поверхность встала на ребро
• на игральном кубике кости выпало 7 очков
• на игральном кубике кости выпало о 1 до 6 очков
• номер открытой странице в книге дробное число
• Номер открытой страницы в книге не меньше 1
• 1 января в школе не будет уроков

Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные?

• Черепаха научится говорить;
• вода в чайнике, стоящим на горячей плите, закипит;
• ваш день рождения – 19 октября
• вы выигрываете, участвуя в лотерее;
• вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотерее;
• вы проиграете партию в шахматы;
• на следующей неделе испортится погода;
• после четверга будет пятница;
• после пятницы будет воскресенье.

Совместные и несовместные события.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те которые не могут происходить одновременно- несовместными.

Среди пар событий, найдите несовместные

А) В сыгранной Катей и Славой партии шахмат, Катя проиграла и Слава проиграл.

Б) Из набора домино вынута одна костяшка, на ней одно очко больше 3, другое число 5.

В) Наступило лето, на небе ни облачка.

Равновозможные события.

1) « появление орла» и «появление решки» при одном бросании монеты;

2) «появление 1 очка», «появление 2 очков»,.. « появление 6 очков» при одном бросании игральной кости;

3) « падение бутерброда маслом вверх» и

« падение бутерброда маслом вниз»;

4) «изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разными очками»

Решение задач

1. Каким является событие: невозможным, достоверным или случайным?

А) Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы К; 2) с буквы Ь.

2. Из списка журнала 8 класса( в котором есть и мальчики и девочки) случайным образом выбран один ученик:

1) это мальчик;

2) выбранному ученику 14 лет;

3) выбранному ученику 14 месяцев;

4) этому ученику больше 2 лет.

3. Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферно давление. При этом

1) вода в кастрюле закипает при t = 80 С;

2) когда температура упала до – 5 С, вода уже в луже замерзла.

4. Измерены длины сторон треугольника. Оказалась, что длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

5. Бросают две игральные кости:

1) на первой выпадает 3 очка, а на второй – 5;

2) сумма выпавших на двух костях очков равна 1;

3) сумма выпавших на двух костях очков равна 13;

4) на обеих костях выпало по 3 очка;

5) сумма очков на двух костях меньше 15.

2.Среди данных пар событий указать, какие являются совместными, а какие несовместными

Из набора домино вынута одна костяшка, на ней :

• Одно число меньше 6, другое число не больше 6;
• одно число 2, сумма обоих чисел равна 9;
• оба числа больше 3, сумма чисел равна 7.